В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Свойства 3 и 4 установлены выше.T1) Рассмотрим произвольный набор {Fα } , α ∈ A замкнутых множеств в (X; d) и F =Fα . Тогда C F =α∈ASX rF =(X r Fα ) и X r Fα = Gα — открытые множества. Согласно предыдущей теореме — свойство 1α∈A S— множество(X r Fα ) = C F — открытое множество, следовательно, по определению 2, множество F —α∈Aзамкнутое.2) Рассмотрим произвольные замкнутые множества F1 и F2 в (X; d) и F = F1 ∪F2 . Тогда Gi = X rFi (i = 1, 2),согласно определению 2 — открытые множества и G1 ∩G2 = X r(F1 ∪F2 ) — открытое множество, следовательно,F — замкнутое множество.
Рассмотрим произвольное метрическое пространство (X; d), точку a ∈ X и произвольное число r > 0.Множество S(a, r) = {x ∈ X | d(x, a) = r} называют сферой с центром a и радиусом r. Так как X r S(a; r) =U(a; r) ∪ G(a; r) и множества U(a; r) и G(a; r) — открытые, то S(a; r) — замкнутое множество.4.2.6.Критерий замкнутости множестваОпределение 1. Точка a метрического пространства (X; d) называется точкой прикосновения для множества E ⊂ X, если любая её окрестность U(a) пересекает множество E, то есть U(a) ∩ E 6= ∅.Теорема.
Множество F метрического пространства (X; d) замкнуто тогда и только тогда, когда оносодержит все свои точки прикосновения. Необходимость. Рассмотрим произвольное замкнутое множество F в метрическом пространстве (X; d),так что его дополнение G — открытое множество. Следовательно, G — окрестность каждой своей точки x ∈ Gи G ∩ F = ∅. Согласно обращению определения 1, каждая точка x ∈ G не является точкой прикосновениямножества F , другими словами — F содержит все свои точки прикосновения.Достаточность.
Пусть множество F ⊂ X содержит все свои точки прикосновения. Обозначим X r F = G.Так как F ∩G = ∅, то все точки x ∈ G не являются точками прикосновения множества F . Согласно определению1, для любой x ∈ G существует такая окрестность U1 (x), что U1 (x) ∩ F = ∅. Но U1 (x) ⊂ X и, следовательно,U1 (x) ⊂ G, так что G — окрестность каждой своей точки, то есть открытое множество, следовательно, F —замкнутое множество. 4.2.7.Кубические окрестности в пространстве RmВ метрическом пространстве (X; d) = (Rm , dm ) = Rm , m > 1, кроме открытых шаров используются открытые кубы. Рассмотрим произвольную точку a = (a1 , .
. . , am ) ∈ Rm и произвольное число h > 0. Множество Q(a; h) = x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm | xi ; ai < h, i = 1, m = x ∈ Rm | d1m (x; a) < hназывают открытым кубом с центром в точке a и стороной 2h. Если m = 1, это интервал (a − h, a + h).
Еслиm = 2, то Q((a, b), h) = (x, y) ∈ R2 | a − h < x < a + h; b − h < y < b + h — квадрат на R2 . Если m = 3, тоQ((a, b, c), h) — куб.Так как справедлива формула√d1m (x, y) 6 dm (x, y) 6 md1m (x, y),(1)49где x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm , y = (y 1 , . . . , y m ) ∈ Rm , то Q(a, h) ⊃ U(a, h), так как dm (x, h) влечёт d1m (x, a) < h.Следовательно, каждый открытый куб Q(a, h) есть окрестность каждой своей точки a ∈ X.Так же, как и в случае открытого шара, можно доказать, что каждый открытый куб есть окрестность каждой1mсвоей точки. Неравенство (1) определяет свойство√√ эквивалентности dm и d1m в R , так что каждый открытыйшар Q(a, r) содержится в открытом шаре Q(a, mh), так как неравенство dm (x, a) < h влечёт dm (x, a) < m · h.4.2.8.Компакты в метрическом пространствеРассмотрим метрическое пространство (X; d) и непустой набор {Gα } , α ∈ A открытыхмножеств Gα ⊂ X.SНабор Gα , α ∈ A называют открытым покрытием множества E ⊂ X, если E ⊂Gα , то есть для любойα∈Aточки x ∈ E ∃ Gα , α ∈ A, что x ∈ Gα .
Если множество индексов A — конечно, то открытое покрытие Gα , α ∈ Aмножества E называют конечным открытым покрытием множества E.Определение 2. Множество C из (X; d) называют компактом (или компактным множеством), если любое открытое покрытие Gα , α ∈ A множества C содержит конечное множество множеств G1 , . . . , Gn , котороеnSобразует конечное покрытие множества C, то есть C ⊂Gk .k=1Примеры:1) любое конечное множество в пространстве (X; d) — компакт.2) если (X; d) = R1 , то любой отрезок [a, b] — компакт в R1 .Если (X; d) = Rm и существуют точкиa = (a1 , . . . , am ), b = (b1 , . . . , bm ), где ai < bi , i = 1, m, то множествоI = x ∈ Rm | ai 6 xi 6 bi , i = 1, m называют m–мерным параллелепипедом (или m–мерным брусом).Утверждение 4.1.
Любой m–мерный брус — компакт. Предположим,что существует брус I и бесконечное открытое покрытие его множествами Gα , α ∈ A,Sто есть I ⊂Gα , такие, что I не допускает конечного покрытия множествами Gα .α∈AРазделим каждый [ai , bi ] на два равных отрезка, так что брус I разобьётся на 2m равных m–мерных бруса, изкоторых выберем такой брус, который обладает свойством исходного бруса I и обозначим его I1 ⊂ I. С брусом I1поступим так же, как и с брусом I и выберем брус I2 такой, что I2 ⊂ I1 ⊂ I и I2 обладает свойством брусом I иI1 . Продолжая эту процедуру, получим набор брусов I ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ . .
. ⊃ In ⊃ . . ., обладающих свойством бруса Iи имеющих диаметры diam In → 0 при n → +∞. Если обозначим In = x ∈ Rm | ain 6 xi 6 bin , i = 1, m , n ∈ N,то для каждого i, 1 6 i 6 m отрезки [ain ; bin ], n ∈ N образуют систему стягивающихсяT i i отрезков. По теореме осистеме стягивающихся отрезков, для каждого i, 1 6 i 6 m существует ζ i ∈[an ; bn ], 1 6 i 6 m. Рассмотримn∈NTζ = (ζ 1 , . . . , ζ m ) и убеждаемся, что ζ ∈In .
Так как ζ ∈ I, то существует открытое множество Gα , α ∈ An∈Nтакое, что ζ ∈ Gα . Открытое множество Gα содержит открытый шар Um (ζ, δ), δ > 0 такое, что ζ ∈ U(ζ, δ) ⊂ Gα .Так как diam In → 0, то для δ > 0 существует N = Nδ , N ∈ N такое, что IN ⊂ U(ζ; δ) для любого n > N . Такчто In ⊂ U(ζ; δ) ⊂ Gα , n > N , что противоречит свойству бруса In . 4.2.9.Ограниченные множества метрического пространстваРассмотрим произвольное метрическое пространство (X; d) и произвольное множество E ⊂ X.
Обозначимd(E) = sup {d(x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈ E} и назовём d(E) диаметром множества E, если d(E) < +∞.Определение 3. Множество E метрического пространства (X; d) называют ограниченным, если E имеетконечный диаметр.Утверждение. E ограничено в метрическом пространстве (X; d) тогда и только тогда, когда ∃ M > 0такое, что d(x, a) 6 M для всех x ∈ E и некоторого a ∈ X. Фиксируем a ∈ X. Тогда d(x1 , x2 ) 6 d(x1 , a) + d(x2 , a) 6 2M для любых x1 , x2 ∈ E и применяемопределение 3.
Теорема. Любой компакт в метрическом пространстве есть ограниченное множество. Рассмотрим произвольный компакт C в (X; d) и фиксируем произвольную точку a ∈ X. Для любойS x∈Cчисло d(x; a) > 0 и ∃ n ∈ N такое, что n > d(x, a), так что точка x ∈ U(a, n). Следовательно, C ⊂U(a; n).Так как C — компакт, то ∃ n1 , n2 , . . .
, np ∈ N, что C ⊂U(a; nj ) ⊂ U(a, q), j = 1, p и, следовательно, C ⊂pSj=1pSj=1n∈NU(a; nj ). Обозначим q = max(n1 , . . . , np ) ∈ N. ТогдаU(a; nj ) ⊂ U(a; q), то есть C — ограниченное множество. 504.2.10.Компактность и замкнутостьТеорема 1. Всякий компакт метрического пространства есть замкнутое множество. Рассмотрим произвольный компакт C в (X; d), C ⊂ X и рассмотрим произвольную точку a ∈ X rC. Таккак x 6= a для всех x ∈ C и метрическое пространство (X;Sd) — отделимое пространство, то существуют открытыешары U(x) и O(a), не пересекающиеся. Поскольку C ⊂U(x), то система шаров образует покрытие компактаx∈CC, которое обязано содержать некоторое конечное покрытие U1 (x1 ), .
. . , U(xn ), xj ∈ C, j = 1, n и C =nSj=1U(xj ).nTДля каждого U(xj ) рассмотрим Oj (a), что U(xj ) ∩ Oj (a) = ∅. Так какOj (a) = O(a) — окрестность точкиj=1 nSa (по свойству окрестностей) и O(a) ∩ U(xj ) = ∅, то O(a) ∩U(xj ) = ∅ и, следовательно, O(a) ∩ C = ∅.j=1Итак, O(a) ⊂ X r C и, следовательно, X r C — открытое, тогда C — замкнутое множество. Теорема 2. Всякое замкнутое подмножество любого компакта в метрическом пространстве есть компакт. Рассмотрим произвольный компакт C в метрическом пространстве (X; d), произвольное замкнутое множество F ⊂ C и произвольное открытое покрытие {Gα } , α ∈ A множества F .Добавляя к Gα , α ∈ A открытое X r F = G, получим открытое покрытие всего множества X, и, в частности,nSкомпакта C ⊂ X. Так как C — компакт, существует конечное его покрытие множествами G1 , .
. . , Gn ; C ⊂Gk .k=1Если множество G входит в набор этих множеств G1 , . . . , Gn , то после его удаления из этого набора получимконечное покрытие множества F ⊂ C, так что F — компакт по определению. Теорема 3 (критерий компакта в Rm ). Множество C метрического пространства Rm , m > 1 являетсякомпактом только и только тогда, когда C ограничено и замкнуто в Rm . Необходимость. Если C — компакт в метрическом пространстве (X; d), то по теореме 1 и теоремепункта 2.9, множество C замкнуто и ограничено.Достаточность.
Рассмотрим произвольное замкнутое и ограниченное множество C в Rm , m > 1. Согласносвойствам метрик dm и d1m в Rm , существует m–мерный брус I, который содержит ограниченное множество C,C ⊂ U(a; r) ⊂ I. Так как брус I — компакт в Rm , то C — компакт в Rm по теореме 2. Пример 2.1. Все замкнутые шары и кубы в Rm — компакты.Пример 2.2. Все сферы в Rm — компакты.4.3. Предел и непрерывность4.3.1.Сходящиеся последовательности в метрическом пространствеРассмотрим произвольное метрическое пространство (X; d).
Всякое отображение ϕ : N → X определяет последовательность (xn ) точек xn = ϕ(n), n ∈ N в (X; d). Последовательность (xn ) назовём сходящейся в (X; d),если существует некоторый элемент a ∈ X, что lim d(xn , a) = 0. Точка a ∈ X называется пределом последоваn→∞тельности (xn ) и обозначается a = lim xn . Если (X; d) = R1 , то (xn ) становится числовой последовательностьюn→∞— a ∈ R — число и d(x, y) = |x − y| , x, y, ∈ R1 , так что свойство lim d(xn , a) = 0 принимает вид lim |xn − a| = 0,n→∞n→∞что равносильно свойству a = lim xn (число a есть предел числовой последовательности (xn )).n→∞Теорема. Всякая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве имеет единственный предел.
Предположим, что в метрическом пространстве (X; d) последовательность (xn ) имеет lim xn = a,n→∞lim xn = b и a 6= b. Так как d(a, b) > 0, то для числа δ = 12 d(a, b) > 0, по определению, существуют натуральныеn→∞числа Ni ∈ N, i = 1, 2, что d(xn , a) < δ для всех n ∈ N, n > N1 и d(b, xn ) < δ для всех n ∈ N, n > N2 . В частности,для N = max(N1 , N2 ) справедливо d(xN , a) < δ и d(xN , b) < δ.Поэтому расстояние d(a; b) 6 d(xN , a) + d(xN , b) < 2δ = d(a, b), что невозможно. 4.3.2.Сходящиеся последовательности в RmmПусть (X; d) = Rm , m > 1.
Тогда для любой последовательности (xn ) точек xn = (x1n , . . . , xmn ) ∈ R ,n ∈ Niопределены координатные числовые последовательности (xn ), i = 1, m. Последовательность (xn ) будет сходя-51щейся в Rm , если существует точка a = (a1 , . . . , am ) ∈ Rm , что lim dm (xn , a) = 0, то естьn→∞vumuXlim t (xi − ai )2 = 0.n→∞i=1Теорема 1 (критерий сходимости последовательности). Последовательность (xn ), xn = (x1n , . . . , xmn)∈R , n ∈ N, сходится к точке a = (a1 , . . . , am ) ∈ Rm тогда и только тогда, когда каждая координатная числовая последовательность (xin ), i = 1, m, имеет lim xin = ai .mn→∞Необходимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
