Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков (1105116), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . , df1 } ⊂ Va⊥ .35Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òîdim Va⊥ = dim V − codim St(a) = s.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a ∈ V ðåãóëÿðíûé ýëåìåíò è codim St(a) =k . Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü òåîðåìó, äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü k ïîëèíîìèàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé v1 , . . . , vk íà V , óäîâëåòâîðÿþùèõñëåäóþùèì óñëîâèÿì:(a) Âåêòîðà v1 (0), . . . , vk (0) ëèíåéíî íåçàâèñèìû;(b) Âñå ôîðìàëüíûå êîììóòàòîðû [vi , vj ] ëèíåéíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç v1 , . . . , vk ñ êîýôôèöèåíòàìè èç K[[V ]];(c) span {v1 (x), . .
. , vk (x)} = Va+x , äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ V .Äåéñòâèòåëüíî, èç (a), (b) è ôîðìàëüíîé òåîðåìû Ôðîáåíèóñàñëåäóåò, ÷òî ôîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå D = span {v1 , . . . , vk } èíòåãðèðóåìî, ò.å. ñóùåñòâóþò s = n−k ôîðìàëüíûõ ðÿäîâ F (1) , . . . , F (s)òàêèõ, ÷òîhdx F (i) , vj (x)i = 0,äëÿ âñåõ i = 1, . . . , s è j = 1, . .
. , k . Ñâîéñòâî (c) ãàðàíòèðóåò,÷òî âñå ôîðìàëüíûå ðÿäû F (1) , . . . , F (s) , íà ñàìîì äåëå, ÿâëÿþòñÿôîðìàëüíûìè èíâàðèàíòàìè ïðåäñòàâëåíèÿ ρ â òî÷êå a. Èç ôîðìàëüíîé òåîðåìû Ôðîáåíèóñà ñëåäóåò òàêæå, ÷òî äèôôåðåíöèàëûdx F (1) , . . . , dx F (s) ëèíåéíî íåçàâèñèìû â íóëå.Îáîçíà÷èì ÷åðåç h ïîäïðîñòðàíñòâî àëãåáðû Ëè g òàêîå, ÷òîg = St(a) ⊕ h,è ïóñòü h1 , .
. . , hk êàêîé-íèáóäü áàçèñ â h. Îïðåäåëèì k âåêòîðíûõïîëåé íà V ñëåäóþùèì îáðàçîì:vi (x) = ρ(hi )(a + x),i = 1, . . . k.(1.13)Ïîêàæåì, ÷òî ýòè âåêòîðíûå ïîëÿ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (a), (b),(c).Ëåììà 3. Âåêòîðà v1 (0), . . . , vk (0) ëèíåéíî íåçàâèñèìû.36Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå íå âåðíî, ò.å.âåêòîðà ρ(hi )a ëèíåéíî çàâèñèìû.
Òîãäà ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ρ(hPi )a ðàâíàÿ íóëþ, α1 ρ(h1 )a+. . .+αk ρ(hk )a =0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîαi hi ∈ St(a). Ïðîòèâîðå÷èå.Ëåììà 4. Ïóñòü H1 , . . . , Hk ëèíåéíûå îïåðàòîðû íà âåêòîðíîìïðîñòðàíñòâå V íàä ïîëåì K. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ýëåìåíò a ∈ V òàêîé, ÷òî âåêòîðà H1 a, . . . , Hk a ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Òîãäà äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ V âåêòîðà H1 x, . .
. , Hk x ëèíåéíîíåçàâèñèìû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî W = V ×V ×. . .×V (kðàç) è îòîáðàæåíèå H : V → W , x 7→ (H1 x, . . . , Hk x). Î÷åâèäíî, ÷òîýòî ëèíåéíîå è, ñëåäîâàòåëüíî, íåïðåðûâíîå (â òîïîëîãèè Çàðèññêîãî) îòîáðàæåíèå. Ðàññìîòðèì ïîäìíîæåñòâî W0 ⊂ W , ñîñòîÿùåå èçâñåõ íàáîðîâ èç k ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ. Òàê êàê óñëîâèåëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñèñòåìû ïîëèíîìèàëüíûõ óðàâíåíèé, òî ïîäìíîæåñòâî W0 îòêðûòî.
Ñëåäîâàòåëüíî,ïðîîáðàç H −1 (W0 ) îòêðûò â V . Ïî óñëîâèþ ëåììû Ha ∈ W0 , ò.å.ìíîæåñòâî H −1 (W0 ) íå ïóñòî. Òàêèì îáðàçîì, H −1 (W0 ) ÿâëÿåòñÿäîïîëíåíèåì ê àëãåáðàè÷åñêîìó ìíîãîîáðàçèþ ïîëîæèòåëüíîé êîðàçìåðíîñòè, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ V (êîãäà a + x ðåãóëÿðåí) ïîäïðîñòðàíñòâîVa+x èìååò ìàêñèìàëüíóþ ðàçìåðíîñòü dim Va+x = k è, ïî îïðåäåëåíèþ, vi (x) ∈ Va+x .
 ñèëó Ëåììû 3, ëèíåéíûå îïåðàòîðû Hi = ρ(hi )óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ëåììû 4. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïî÷òè âñåõx ∈ V âåêòîðà v1 (x), . . . , vk (x) ëèíåéíî íåçàâèñèìû è îáðàçóþò áàçèñ Va+x . Òàêèì îáðàçîì, ñâîéñòâî (c) äîêàçàíî.Äîïîëíèì âåêòîðû h1 , . . . , hk äî áàçèñà ξ1 = h1 , . . . , ξk = hk , ξk+1 ,. . . , ξm â àëãåáðå Ëè g. Íàïðèìåð, ëþáîé áàçèñ â St(a) ìîæåò áûòüâûáðàí â êà÷åñòâå âåêòîðîâ ξk+1 , . . .
, ξm . Îïðåäåëèì âåêòîðíûå ïîëÿvk+1 , . . . , vm íà V àíàëîãè÷íî (1.13):vj (x) = ρ(ξj )(a + x),j = k + 1, . . . m.Ëåììà 5. Ñóùåñòâóþò ôîðìàëüíûå ðÿäû Rji ∈ K[[x1 , . . . , xn ]] òàêèå, ÷òîvj (x) = Rj1 (x)v1 (x) + · · · + Rjk (x)vk (x),37j = k + 1, . . . , m.(1.14)Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê dim span {v1 (x), .
. . , vn (x)} = dim Va+x =k ïî÷òè âñþäó íà V , òî ñóùåñòâóþò ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè Rji , óäîâëåòâîðÿþùèå (1.14). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòè ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèèõîðîøî îïðåäåëåíû â x = 0 è ïîýòîìó ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû ââèäå ôîðìàëüíûõ ðÿäîâ.Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî îòîáðàæåíèå ξ 7→ ρ(ξ)(x+a)ÿâëÿåòñÿ àíòèãîìîìîðôèçìîì àëãåáðû Ëè g â àëãåáðó Ëè ôîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà V , ò.å.[vi (x), vj (x)] = −ρ([ξi , ξj ])(a + x).Òåïåðü, ïîëüçóÿñü ëåììîé 5, áóäåì èìåòü:[vi (x), vj (x)] = −ρ([ξi , ξj ])(a + x)à m!mXXαcαij ρ(ξα )(a + x)= −ρcij ξα (a + x) = −α=1α=1=−mXcαij vα (x)=−α=1=−kX=−α=1=−kXα=1cαij vα (x)α=1cαij vα (x) −α=1kXkXmXcαijα=k+1cαij vα (x)cαij −−mXcαij vα (x)α=k+1kXRαβ (x)vβ (x)β=1cβijβ=k+1mX−mXkXRβα (x)vα (x)α=1cβij Rβα (x) vα (x).β=k+1Òàê êàê cαij ∈ K êîíñòàíòû, òî êîýôôèöèåíòû ïðè vα (x) ÿâëÿþòñÿ õîðîøî îïðåäåëåííûìè ôîðìàëüíûìè ðÿäàìè.
Òàêèì îáðàçîì,ñâîéñòâî (b), à âìåñòå ñ íèì è Òåîðåìà 8, äîêàçàíû.Çàìå÷àíèå 7. Äîêàçàòåëüñòâî ôîðìàëüíîé òåîðåìû Ôðîáåíèóñà ïîçâîëÿåò ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèòü îäíîðîäíûå ÷àñòè ôîðìàëüíûõèíâàðèàíòîâ ïðåäñòàâëåíèé ëþáîãî êîíå÷íîãî ïîðÿäêà ïóòåì ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.38Ïðèìåð 4.
Ðàññìîòðèì àëãåáðó Ëè g = so(3, R) ñ áàçèñîì0 0 0e1 = 0 0 −1 ,0 1 00 0 1e2 = 0 0 0 ,−1 0 00 −1 0e 3 = 1 0 0 ,0 0 0è åå åñòåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå ρ = id : so(3, R) ,→ gl(R3 ), èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, ñòàíäàðòíîå äåéñòâèå íà R3 . Ïóñòü a ∈ R3 ðåãóëÿðíûé ýëåìåíò, òîãäà åãî ñòàöèîíàðíàÿ ïîäàëãåáðà èìååò ñëåäóþùèéâèä:aa 0 − a31 a21 0 1 ,St(a) = span aa31a2− a1 −1 0dim St(a) = 1.Ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íà âåêòîðà e2 è e3 , ìîæåò áûòü âûáðàíîâ êà÷åñòâå ïîäïðîñòðàíñòâà h ⊂ g òàêîãî, ÷òî g = St(a) ⊕ h:h = span {e2 , e3 },dim h = 2.Òî÷êà a = (1, 0, 0) ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé.
Ôîðìàëüíûå èíâàðèàíòûïðåäñòàâëåíèÿ ρ òî÷êå a ýòî â òî÷íîñòè ôîðìàëüíûå èíòåãðàëûèíòåãðèðóåìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ D = span {v2 , v3 }, ãäåx3v2 (x) = 0 −x1 − 1−x2è v3 (x) = x1 + 1 .0Åäèíñòâåííûé ôîðìàëüíûé èíâàðèàíò ìîæíî âû÷èñëèòü ñëåäóÿ àëãîðèòìó ïðèâåäåííîìó â äîêàçàòåëüñòâå Òåîðåìû 7:11F = x1 + (x22 + x23 ) − x1 (x22 + x23 ) + . . .22Îòìåòèì, ÷òî ðÿä F ýòî (ñ òî÷íîñòüþ äî ñâîáîäíîãîp ÷ëåíà) ðÿäÒåéëîðà â íóëå ôóíêöèè Ia (x) = I(x + a), ãäå I(x) = x21 + x22 + x23 õîðîøî èçâåñòíûé èíâàðèàíò ñòàíäàðòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïûËè SO(3, R) ,→ GL(R3 ).391.5.3Îïðåäåëåíèå è êîììóòàòèâíîñòü Fa(I(g))Äëÿ àëãåáðû Ëè g íàä ïîëåì K íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè ðàññìîòðèì åå êîïðèñîåäèíåííîå ïðåäñòàâëåíèå ad∗ : g → gl(g∗ ).
Ïóñòüa ∈ g∗ ðåãóëÿðíûé ýëåìåíò, ò.å. åãî àííóëÿòîð Ann(a) = {ξ ∈g | ad∗ξ a = 0} èìååò ìèíèìàëüíóþ ðàçìåðíîñòü s = ind g. Òîãäà, ïîÒåîðåìå 8 î ôîðìàëüíûõ èíâàðèàíòàõ, ñóùåñòâóåò s ôîðìàëüíûõðÿäîâ F (1) , . . . , F (s) ∈ K[[g∗ ]] òàêèõ, ÷òî äëÿ âñåõ ξ ∈ ghdx F (j) , ad∗ξ (a + x)i = 0.(1.15)Êðîìå òîãî, äèôôåðåíöèàëû dF (1) , . . . , dF (s) ëèíåéíî íåçàâèñèìû â(j)(j)íóëå è îáðàçóþò áàçèñ â Ann(a). Ïóñòü F (j) = f1 + f2 + . . . , ãäå(j)fi ∈ K[g∗ ] åñòü îäíîðîäíûé ïîëèíîì ñòåïåíè i. Òîãäà (1.15) ìîæíîýêâèâàëåíòíûì îáðàçîì ïåðåïèñàòü íà ÿçûêå ïîëèíîìîâ:(1)(s)span {df1 , .
. . df1 } = Ann(a),(1.16)ad∗df (j) a + ad∗df (j) x = 0,(1.17)ii+1äëÿ i = 1, 2, . . . è j = 1, . . . , s. Ïóñòü Fa (I(g)) îáîçíà÷àåò ïîäìíîæåñòâî â ïóàññîíîâîé àëãåáðå P (g), ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýòèõ ïîëèíîìîâ,(j)Fa (I(g)) = {fi | j = 1, . . . , s, i = 1, 2, . . .} ⊂ P (g).(1.18)Çàìå÷àíèå 8. Åñëè K = R èëè C, òî ðÿä F , óäîâëåòâîðÿþùèéòîæäåñòâó (1.15), ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà â íóëå ôóíêöèè fa (x) =f (a + x), ãäå f (x) ∈ I(g) ëîêàëüíî àíàëèòè÷åñêèé èíâàðèàíò êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.
Åñëè àëãåáðà Ëè g àëãåáðàè÷åñêàÿ,òî ðÿä F , óäîâëåòâîðÿþùèé òîæäåñòâó (1.15), ÿâëÿåòñÿ ôîðìàëüíûì ðÿäîì Òåéëîðà (ïîñòðîåííûì ïðè ïîìîùè êîíñòðóêöèè, îïèñàííîé â ðàçäåëå 1.4.1) ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè fa (x) = f (a + x), ãäåf (x) ðàöèîíàëüíûé èíâàðèàíò.  ýòèõ ñëó÷àÿõ íàáîð ïîëèíîìîâFa ñ òî÷êè çðåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè ýêâèâàëåíòåí ñåìåéñòâó ñäâèãîâ èíâàðèàíòîâ {f (x + λa) | f ∈ I(g), λ ∈ K}, ñì. [23].Ïîýòîìó ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íàáîð Fa (I(g)) ⊂ P (g) ïîëó÷åíôîðìàëüíûì ìåòîäîì ñäâèãà àðãóìåíòà.Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ïåðåôîðìóëèðîâêîé òåîðåìûî êîììóòàòèâíîñòè ñäâèãîâ èíâàðèàíòîâ êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, äîêàçàííîé À. Ñ.
Ìèùåíêî è À. Ò. Ôîìåíêî â [23].40Òåîðåìà 9. Íàáîð Fa (I(g)) êîììóòàòèâåí.(α)(β)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü fi , fjè (1.17), áóäåì èìåòü:(α)(β)(α)∈ Fa (I(g)), òîãäà, èñïîëüçóÿ (1.16)(β)(α){fi , fj }(x) = hx, [dfi , dfj ]i = (ad∗df (β) x)dfij=(α)−(ad∗df (β) a)dfi=(α)(ad∗df (β) x)dfi−1j+1=j+1i+j−1i=(α)= (ad∗df (β) x)df1(β)(ad∗df (α) a)dfj+1(α)(β){fi−1 , fj+1 }(x)(β)= −(ad∗df (α) x)dfj+1i−1= ...
=(α)= −(ad∗df (β) a)df1i+j(β)(α){f1 , fi+j−1 }(x)(1.19)(β)= (ad∗df (α) a)dfi+j = 0.1Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 9. Íà ñàìîì äåëå, êîììóòàòèâíîñòü íàáîðà Fa (I(g)) ñëåäóåò èç áîëåå îáùåé è î÷åíü âàæíîé êîíñòðóêöèè, íàçûâàåìîé ñõåìîé Ëåíàðà [49]. Ïóñòü {·, ·}1 è {·, ·}2 äâå ñîãëàñîâàííûå ñêîáêèÏóàññîíà, ò.å. êàæäàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ α{·, ·}1 + β{·, ·}2 ñíîâà ÿâëÿåòñÿ ñêîáêîé Ïóàññîíà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {fi }i∈Níàçûâàåòñÿ áèãàìèëüòîíîâîé èåðàðõèåé, åñëè{fi , ·}1 = −{fi+1 , ·}2 .Íà S(g) âìåñòå ñî ñòàíäàðòíîé ñêîáêîé Ëè-Ïóàññîíà {·, ·} ìû ìîæåìðàññìîòðåòü ñêîáêó {·, ·}a , ïîëó÷åííóþ çàìîðàæèâàíèåì àðãóìåíòà:∂f ∂g, f, g ∈ S(g).∂xi ∂xjÏðÿìîå âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ñêîáêè {·, ·} è {·, ·}a ñîãëàñîâàíû. Ñîîòíîøåíèÿ (1.16) è (1.17), â ñóùíîñòè, îçíà÷àþò, ÷òî ïî(j)ëèíîìû {fi }i∈N ôîðìèðóþò áèãàìèëüòîíîâó èåðàðõèþ äëÿ âñåõ(1)(s)j = 1, .
. . , s, ïðè÷åì f1 , . . . , f1 ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè Êàçèìèðàñêîáêè {·, ·}a :(j){f1 , ·}a = 0,(1.160 ){f, g}a = ckij ak(j)(j){fi+1 , ·}a + {fi , ·} = 0.(1.170 )Òàêèì îáðàçîì, íàáîð Fa (I(g)) ñîñòîèò èç s ðàçëè÷íûõ áèãàìèëü(α)(β)òîíîâûõ èåðàðõèé. Åñëè fi , fj ∈ Fa (I(g)), òî(α)(β)(α)(β)(α)(β){fi , fj } = −{fi+1 , fj }a = {fi+1 , fj−1 }(α)(β)(α)(β)= −{fi+2 , fj−1 }a = . . . = −{fi+j , f1 }a = 0.41Âû÷èñëåíèÿ â (1.19) ýòî â òî÷íîñòè ïîäðîáíî ðàñïèñàííàÿ ïîñëåäíÿÿ öåïî÷êà ðàâåíñòâ.Çàìå÷àíèå 10. Èç äîêàçàòåëüñòâà ôîðìàëüíîé òåîðåìû Ôðîáåíèóñàñëåäóåò, ÷òî íàáîð ïîëèíîìîâ Fa (I(g)) ìîæíî ñòðîèòü ñëåäóþùèìêàíîíè÷åñêèì ñïîñîáîì.
Âîçüìåì ëþáîé ëèíåéíûé ïîëèíîì f1 ∈Ann(a). Òîãäà ðåøåíèå ñèñòåìû (íàáîð ïîëèíîìîâ f2 , f3 , . . . ∈ P (g),deg fi = i)ad∗dfi+1 a + ad∗dfi x = 0,ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåìπ ◦ fi ≡ 0, i ≥ 2,ãäå π : Ann∗ (a) → g∗ ñòàíäàðòíàÿ ïðîåêöèÿ, ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì ìîæíî ïîñòðîèòü dim Ann(a) ðàçëè÷íûõèåðàðõèé, ñîñòàâëÿþùèõ Fa (I(g)).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà êðèòåðèÿ ïîëíîòû íàáîðà Fa (I(g)) íàì ïîòðåáóþòñÿ äâà óòâåðæäåíèÿ èç ëèíåéíîé àëãåáðû.1.5.4Ëåììà îá èåðàðõèè, ïîðîæäàåìîé ïàðîéáèëèíåéíûõ ôîðìÏóñòü V êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì K íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè, dim V = n, è S äâóìåðíîå ëèíåéíîå ñåìåéñòâî áèëèíåéíûõ ôîðì íà V , ïîðîæäåííîå äâóìÿ ôèêñèðîâàííûìè ôîðìàìè A1 è A2 , S = span {A1 , A2 }. Âûäåëèì â ñåìåéñòâå S ïîäìíîæåñòâî S0 ôîðì îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
