Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков (1105116)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-Ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÇóåâ Êîíñòàíòèí Ìèõàéëîâè÷ÓÄÊ 514.74, 517.927.25Ôîðìàëüíûé ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà èãåîìåòðèÿ èíòåãðèðóåìûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿÄèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè: àêàäåìèê ÐÀÍ À. Ò.
Ôîìåíêî,ä.ô.-ì.í. À. Â. ÁîëñèíîâÌÎÑÊÂÀ 2008ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå31 Ôîðìàëüíûé ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà1.11.21.31.41.51.61.7Ãèïîòåçà ÌèùåíêîÔîìåíêî . . . . . . . . . . . . . .Ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà . . . . . . . . . . . . . . . . .Êðèòåðèé ïîëíîòû: ïîëèíîìèàëüíûé ñëó÷àé . .
. . .Êðèòåðèé ïîëíîòû: àëãåáðàè÷åñêèé ñëó÷àé . . . . . .1.4.1 Ñäâèãè ðàöèîíàëüíûõ èíâàðèàíòîâ . . . . . .Êðèòåðèé ïîëíîòû: îáùèé ñëó÷àé . . . . . . . . . . .1.5.1 Ôîðìàëüíàÿ òåîðåìà Ôðîáåíèóñà . . . . . . . .1.5.2 Ôîðìàëüíûå èíâàðèàíòû ïðåäñòàâëåíèé . . .1.5.3 Îïðåäåëåíèå è êîììóòàòèâíîñòü Fa (I(g)) . . .1.5.4 Ëåììà îá èåðàðõèè, ïîðîæäàåìîé ïàðîé áèëèíåéíûõ ôîðì . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .1.5.5 Ëåììà î ïàðå êîñîñèììåòðè÷åñêèõ áèëèíåéíûõôîðì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.6 Êðèòåðèé ïîëíîòû Fa (I(g)) . . . . . . . . . . .Êîíñòðóêöèÿ Áîëñèíîâà . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7.1 Âåùåñòâåííûå àëãåáðû Ëè ìàëîé ðàçìåðíîñòè2 Ãåîìåòðèÿ èíòåãðèðóåìûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ2.12.22.32.4Íàäñòðîéêè àâòîìîðôèçìîâ òîðîâ .
. . . . . . . . . .Ïîñòðîåíèå ðèìàíîâîé ìåòðèêè íà MAn+1 . . . . . . .Îïåðàòîð ÁåëüòðàìèËàïëàñà íà MAn+1 . . . . . . . .Ñïåêòð è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà ÁåëüòðàìèËàïëàñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Áèáëèîãðàôèÿ111114182122252734404244495256576263646667782ÂâåäåíèåÍàñòîÿùàÿ äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ âïîëíå èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì è ñîñòîèò èç äâóõ íåçàâèñèìûõ ÷àñòåé.Ïåðâàÿ ÷àñòü äèññåðòàöèè ìîòèâèðîâàíà ãåîìåòðè÷åñêèì äîêàçàòåëüñòâîì ãèïîòåçû ÌèùåíêîÔîìåíêî [24], ïîëó÷åííûì À. Â.
Áîëñèíîâûì [7].Ãèïîòåçà ÌèùåíêîÔîìåíêî óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿ êàæäîé âåùåñòâåííîé èëè êîìïëåêñíîé àëãåáðû Ëè ñóùåñòâóåò ïîëíûé êîììóòàòèâíûé íàáîð ïîëèíîìîâ íà åå äâîéñòâåííîì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ ñëó÷àÿ ïîëóïðîñòûõ àëãåáð Ëè ýòà ãèïîòåçà áûëà äîêàçàíà À. C. Ìèùåíêî è À. Ò. Ôîìåíêî ïðè ïîìîùè ðàçðàáîòàííîãî èìè ìåòîäàñäâèãà àðãóìåíòà [23].  îáùåì ñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâî áûëî âïåðâûå ïîëó÷åíî Ñ. Ò. Ñàäýòîâûì [26]. Îêàçàëîñü, ÷òî äîêàçàòåëüñòâîñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì, äàæå åñëè âìåñòî ïîëÿ âåùåñòâåííûõ èëèêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ðàññìàòðèâàòü àëãåáðû Ëè íàä àáñòðàêòíûì ïîëåì.
À èìåííî, òåîðåìà Ñàäýòîâà ãîâîðèò, ÷òî ãèïîòåçà ÌèùåíêîÔîìåíêî ñïðàâåäëèâà äëÿ ïðîèçâîëüíîé êîíå÷íîìåðíîé àëãåáðû Ëèíàä ïîëåì íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè. À. Â. Áîëñèíîâ â ðàáîòå [7] èçëîæèë ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî Ñàäýòîâà íà áîëåå ÿâíîìÿçûêå ïóàññîíîâîé ãåîìåòðèè, ÷òî ñäåëàëî äîêàçàòåëüñòâî êîíñòðóêòèâíûì è ïîçâîëèëî ýôôåêòèâíî ðàáîòàòü ñ êîíêðåòíûìè àëãåáðàìè Ëè. îñíîâå äîêàçàòåëüñòâà ëåæèò êîíñòðóêöèÿ, êîòîðàÿ ñâîäèò çàäà÷ó ê àëãåáðå Ëè ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè íàä íîâûì ïîëåì, ÿâëÿþùèìñÿ ðàñøèðåíèåì èñõîäíîãî.
Ýòî ïîçâîëÿåò äåéñòâîâàòü ïî èíäóêöèè: íà êàæäîì øàãå ìû ñâîäèì çàäà÷ó ê ïîñòðîåíèþ ïîëíîãîêîììóòàòèâíîãî íàáîðà ïîëèíîìîâ äëÿ àëãåáðû ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè è äåéñòâóåì òàê äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïîëó÷èì àáåëåâó èëèïîëóïðîñòóþ àëãåáðó Ëè.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå îñòàåòñÿ ïðèìåíèòüìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà [23]. Îäíàêî, õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ìåòîä3ñäâèãà àðãóìåíòà äàåò ïîëíûé êîììóòàòèâíûé íàáîð ïîëèíîìîâ íåòîëüêî â ïîëóïðîñòîì ñëó÷àå, íî è äëÿ ìíîãèõ äðóãèõ êëàññîâ àëãåáð Ëè.
Ïîýòîìó, åñòåñòâåííî áûëî áû ïðèìåíÿòü åãî íå òîëüêî êïîëóïðîñòûì, à âîîáùå êî âñåì âîçíèêàþùèì â ïðîöåññå èíäóêöèèàëãåáðàì. Òåõíè÷åñêàÿ ïðîáëåìà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî êðèòåðèéïîëíîòû äëÿ êîììóòàòèâíîãî íàáîðà, ïîñòðîåííîãî ìåòîäîì ñäâèãààðãóìåíòà, èçâåñòåí òîëüêî â âåùåñòâåííîì è êîìïëåêñíîì ñëó÷àÿõ[5].
Èìåÿ òàêîé êðèòåðèé äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ, ìîæíî áûëî áûñóùåñòâåííî óïðîñòèòü îïèñàííóþ ïðîöåäóðó ïîñòðîåíèÿ ïîëíîãîêîììóòàòèâíîãî íàáîðà. À èìåííî, äåëàòü èíäóêòèâíûé øàã, ïîíèæàþùèé ðàçìåðíîñòü àëãåáðû, òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà êîììóòàòèâíûé íàáîð, ïîñòðîåííûé ìåòîäîì ñäâèãà àðãóìåíòà, íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ñîãëàñíî íîâîìó êðèòåðèþ.  ïåðâîé ÷àñòè äèññåðòàöèèìû ñòðîèì îáîáùåíèå ìåòîäà ñäâèãà àðãóìåíòà (ôîðìàëüíûé ìåòîäñäâèãà àðãóìåíòà) äëÿ àëãåáð Ëè íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì õàðàêòåðèñòèêè íóëü è äîêàçûâàåì êðèòåðèé ïîëíîòû äëÿ êîììóòàòèâíîãîíàáîðà ïîëèíîìîâ, ïîñòðîåííîãî ýòèì ìåòîäîì.Ïåðåéäåì ê êðàòêîìó èçëîæåíèþ ñòðóêòóðû è ãëàâíûõ ðåçóëüòàòîâ ïåðâîé ÷àñòè äèññåðòàöèè.  ðàçäåëå 1.1 ìû íàïîìèíàåì îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ, ôîðìóëèðóåì ãèïîòåçó ÌèùåíêîÔîìåíêî â òåðìèíàõ ïóàññîíîâîé àëãåáðû P (g) è îáñóæäàåì öåíòðàëüíóþ èäåþåå äîêàçàòåëüñòâà.
 ðàçäåëå 1.2 ìû íàïîìèíàåì ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà [23] è êðèòåðèé ïîëíîòû äëÿ âåùåñòâåííîãî è êîìïëåêñíîãîñëó÷àåâ [5].Íà÷èíàÿ ñ ðàçäåëà 1.3 ìû ðàññìàòðèâàåì àëãåáðû Ëè íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì K íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òîèíâàðèàíòû êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåîáÿçàíû áûòü ïîëèíîìàìè.
 âåùåñòâåííîì è êîìïëåêñíûõ ñëó÷àÿõýòîò íåäîñòàòîê ìîæíî ëåãêî óñòðàíèòü, ðàçëîæèâ èíâàðèàíò f âðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè a ∈ g∗f (a + λx) = f (a) + λfa,1 (x) + λ2 fa,2 (x) + . . .è âçÿâ âìåñòî ñàìîãî èíâàðèàíòà ïîëèíîìû {fa,k }k∈N . Îäíà èç òðóäíîñòåé, ñ êîòîðîé ìû ñòàëêèâàåìñÿ ïðè ïåðåõîäå ê àáñòðàêòíîìóïîëþ, ýòî îòñóòñòâèå íà ïîëå K àïðèîðíî çàäàííîé òîïîëîãèè,è, êàê ñëåäñòâèå, îòñóòñòâèå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèé íà g∗ ,ðàçëîæåíèÿ èõ â ðÿä è ò.ä.  ðàçäåëå 1.3 âìåñòî êîëüöà âñåõ èíâàðèàíòîâ àëãåáðû Ëè I(g) ìû ðàññìàòðèâàåì öåíòð åå ïóàññîíîâîé4àëãåáðû Z(g). Òàêèì îáðàçîì, ìû îãðàíè÷èâàåìñÿ ðàññìîòðåíèåìòîëüêî ïîëèíîìèàëüíûõ ôóíêöèé íà g∗ , à â ýòîì ñëó÷àå äèôôåðåíöèðîâàíèå ìîæíî îïðåäåëèòü ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêè (ôîðìàëüíî),áåç ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè.
Íåäîñòàòêîì òàêîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿòî, ÷òî íàì ìîæåò ïðîñòî íå õâàòèòü ïîëèíîìîâ èç öåíòðà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîëíîãî íàáîðà. Ïîýòîìó ìû äîëæíû ïîòðåáîâàòü, ÷òîáûìåíüøåå, âîîáùå ãîâîðÿ, ìíîæåñòâî Z(g) ñîâïàäàëî ñî ìíîæåñòâîìâñåõ èíâàðèàíòîâ I(g) â ñìûñëå ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè. Âðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùèé êðèòåðèé ïîëíîòû äëÿ ïîëèíîìèàëüíîãî ñëó÷àÿ (ñì.
òàêæå [45]):Òåîðåìà 4. Ïóñòü g êîíå÷íîìåðíàÿ àëãåáðà Ëè íàä ïîëåì K õàðàêòåðèñòèêè íóëü, trdeg Z(g) = ind g è a ∈ g∗reg . Êîììóòàòèâíûé íàáîð ïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ öåíòðàëüíûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàcodim(gK̄ )∗sing ≥ 2.Çäåñü g∗reg îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî ðåãóëÿðíûõ ýëåìåíòîâ (îòíîñèòåëüíî êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáðû Ëè g), g∗sing =g∗ \ g∗reg ìíîæåñòâî ñèíãóëÿðíûõ ýëåìåíòîâ è gK̄ = g ⊗K K̄ îáîçíà÷àåò àëãåáðó Ëè íàä àëãåáðàè÷åñêèì çàìûêàíèåì K̄ îñíîâíîãîïîëÿ (àíàëîã êîìïëåêñèôèêàöèè äëÿ âåùåñòâåííîãî ñëó÷àÿ). Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå ïîëíîòû codim(gK̄ )∗sing ≥ 2 äîïóñêàåò åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ áåç èñïîëüçîâàíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî çàìûêàíèÿîñíîâíîãî ïîëÿ (ñì. Çàìå÷àíèå 13). ðàçäåëå 1.4 ìû îòêàçûâàåìñÿ îò óñëîâèÿ trdeg Z(g) = ind g èèññëåäóåì áîëåå øèðîêèé êëàññ àëãåáð Ëè êëàññ àëãåáðàè÷åñêèõàëãåáðû Ëè.
 ýòîì ñëó÷àå èç òåîðåìû Ðîçåíëèõòà [50, 12] ñëåäóåò, ÷òî ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ðàöèîíàëüíûõ èíâàðèàíòîâ. Äàëåå, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñäâèãîâ ðàöèîíàëüíûõ èíâàðèàíòîâíàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì K, ìû èñïîëüçóåì àëãåáðî-ãåîìåòðè÷åñêèéôîðìàëèçì [31], ïîçâîëÿþùèé êàæäîé ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè è ååðåãóëÿðíîé òî÷êå ñîïîñòàâëÿòü âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì îáðàçîì ôîðìàëüíûé ðÿä Òåéëîðà.  èòîãå, äëÿ àëãåáðàè÷åñêèõ àëãåáð Ëè êðèòåðèé ïîëíîòû èìååò ñëåäóþùèé âèä:5Òåîðåìà 5. Ïóñòü g êîíå÷íîìåðíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ àëãåáðàËè íàä ïîëåì K õàðàêòåðèñòèêè íóëü è a ∈ g∗reg .
Êîììóòàòèâíûé íàáîð ïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ ðàöèîíàëüíûõ èíâàðèàíòîâÿâëÿåòñÿ ïîëíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàcodim(gK̄ )∗sing ≥ 2. ðàçäåëå 1.5 ìû îòêàçûâàåìñÿ îò óñëîâèÿ àëãåáðàè÷íîñòè è ðàññìàòðèâàåì ïðîèçâîëüíûå êîíå÷íîìåðíûå àëãåáðû Ëè.  ýòîì ñëó÷àå, â îòëè÷èå îò âåùåñòâåííûõ, êîìïëåêñíûõ èëè àëãåáðàè÷åñêèõàëãåáð, îòñóòñòâóåò ãðóïïà (Ëè èëè àëãåáðàè÷åñêàÿ), â ÷àñòíîñòè,íåò íè êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû, íè èíâàðèàíòîâýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Òåì íå ìåíåå, îêàçûâàåòñÿ, ìîæíî åñòåñòâåííûì ñïîñîáîì îïðåäåëèòü îáúåêòû, èãðàþùèå ðîëü èíâàðèàíòîâ.
Åñëè K = R èëè C, òî õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿf ∈ A(g∗ ) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ad∗df (x) x = 0.  ýòîì îïðåäåëåíèè ó÷àñòâóþò òîëüêî ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû àëãåáðû Ëè g, ïîýòîìó îíîèìååò ñìûñë äëÿ ëþáîãî ïîëÿ K.  ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ íàäîëèøü äîãîâîðèòüñÿ, ÷òî ïîíèìàòü ïîä f .
Îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî ðàöèîíàëüíûìè ôóíêöèÿìè K(g∗ ), êàê ýòî ïîçâîëÿëà ñäåëàòü òåîðåìàÐîçåíëèõòà â àëãåáðàè÷åñêîì ñëó÷àå, íåëüçÿ, òàê êàê òåïåðü àëãåáðà Ëè íå îáÿçàòåëüíî àëãåáðàè÷åñêàÿ, è â ýòîì ñëó÷àå ðàöèîíàëüíûõ èíâàðèàíòîâ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîëíîãî íàáîðà ìîæåò íå õâàòèòü.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî â âåùåñòâåííîì èëè êîìïëåêñíîì ñëó÷àå èíâàðèàíòû ìîãóò áûòü ãëîáàëüíî íå îïðåäåëåíû,è òîãäà ìû âûíóæäåíû ðàññìàòðèâàòü ëîêàëüíûå èíâàðèàíòû, êîòîðûå ïî ñâîåé ñóòè ÿâëÿþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ ðÿäàìè.
Ýòè ñîîáðàæåíèÿïðèâîäÿò ê ñëåäóþùåé åñòåñòâåííîé èäåå: ïîä èíâàðèàíòîì (òî÷íååôîðìàëüíûì èíâàðèàíòîì) êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìûáóäåì ïîíèìàòü ôîðìàëüíûé ðÿä èç êîëüöà K[[g∗ ]], óäîâëåòâîðÿþùèé íåêîòîðîìó åñòåñòâåííîìó óñëîâèþ (òèïà ad∗df (x) x = 0). Òîãäàîäíîðîäíûå ÷àñòè òàêèõ ôîðìàëüíûõ èíâàðèàíòîâ áóäóò àíàëîãàìèñäâèãîâ êëàññè÷åñêèõ èíâàðèàíòîâ. ðàçäåëå 1.5 ìû ðåàëèçóåì îïèñàííóþ èäåþ.  ïàðàãðàôå 1.5.1ìû äîêàçûâàåì íåîáõîäèìûé òåõíè÷åñêèé ðåçóëüòàò ôîðìàëüíóþòåîðåìó Ôðîáåíèóñà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ôîðìàëüíûì àíàëîãîì êëàññè÷åñêîé òåîðåìû îá èíòåãðèðóåìîñòè ðàñïðåäåëåíèé.6Òåîðåìà 7 (Ôîðìàëüíàÿ òåîðåìà Ôðîáåíèóñà).
Ôîðìàëüíîå ðàñïðå-äåëåíèå D = span {v1 , . . . , vk } íà Kn ïîñòîÿííîãî ðàíãà k ôîðìàëüíî èíòåãðèðóåìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå êîììóòàòîðû[vi , vj ] ëèíåéíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç v1 , . . . , vk ñ êîýôôèöèåíòàìè èçK[[x1 , . . . , xn ]]. ïàðàãðàôå 1.5.2 ìû ââîäèì ïîíÿòèå ôîðìàëüíîãî èíâàðèàíòàäëÿ ëþáîãî (íå îáÿçàòåëüíî êîïðèñîåäèíåííîãî) ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáðû Ëè è äîêàçûâàåì ñóùåñòâîâàíèå ìàêñèìàëüíîãî íàáîðà òàêèõ èíâàðèàíòîâ. Ñóùåñòâîâàíèå ìàêñèìàëüíîãî íàáîðà ôîðìàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ôîðìàëüíîé òåîðåìû Ôðîáåíèóñà.Òåîðåìà 8. Äëÿ ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ρ : g → gl(V ) è ëþáîãîðåãóëÿðíîãî ýëåìåíòà a ∈ V ñóùåñòâóåò íàáîð {F (1) , .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
