Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков (1105116), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Êðîìå òîãî,(λ1 + λ2 µi (= λ2 , åñëè µi = ∞), mi = 1,Aλ1 ,λ2 (eimi , eimi +1 ) =0,mi ≥ 2.Ñëåäîâàòåëüíî, dim Ker (Aλ1 ,λ2 |Ker Ci ) = r äëÿ âñåõ i = 1, . . . , s òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà â êàíîíè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè ïàðû (A1 , A2 )íåò ïàð H2k,µ , H2k,∞ äëÿ âñåõ k ≥ 2.f0 òîãäà è òîëüÒàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì, ÷òî L = Lêî òîãäà, êîãäà dim Ker (Aλ1 ,λ2 |Ker Ci ) = r äëÿ âñåõ i = 1, . .
. , s. Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî r = n − R0 . Ëåììà äîêàçàíà.f0 äëÿ âñåõ i = 1, . . . , q .Ñëåäñòâèå 2. Ker Ci ⊂ LÑëåäñòâèå 3. Åñëè âñå íåòðèâèàëüíûå ôîðìû èìåþò ìàêñèìàëüf0 = L = L0 .íûé ðàíã, ò.å. S0 = S \ {0}, òî L1.5.6Êðèòåðèé ïîëíîòû Fa(I(g))Ïîíÿòèå ïîëíîòû êîììóòàòèâíîãî íàáîðà ïîëèíîìîâ F ⊂ P (g) =(S(g), {·, ·}), äàííîå â Îïðåäåëåíèè 1, èìååò ïîëåçíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Ïóñòü x ∈ g∗ è dx F ⊂ Tx∗ (g∗ ) ∼= g ïîäïðîñòðàíñòâî ïîðîæäåííîå äèôôåðåíöèàëàìè ôóíêöèé èç F :dx F = span {df (x), f ∈ F}.Îáîçíà÷èì ÷åðåç dgx F êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê dx F â g îòíîñèòåëüíî êîñîñèììåòðè÷åñêîé ôîðìû Ax : g × g → K, Ax (·, ·) =hx, [·, ·]i, ïîðîæäåííîé ñêîáêîé Ïóàññîíà-Ëè:dgx F = {ξ ∈ g | Ax (ξ, dx F) = 0}.Êîììóòàòèâíîñòü íàáîðà F îçíà÷àåò, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî dx F èçîòðîïíî îòíîñèòåëüíî ôîðìû Ax , ò.å.
dx F ⊂ dgx F , à ïîëíîòà íàáîðà49F îçíà÷àåò, ÷òî dim dx F = 12 (dim g + ind g) ïî÷òè âñþäó íà g∗ (ò.å.íà îòêðûòîì ïî Çàðèññêîìó ìíîæåñòâå). Ñ äðóãîé ñòîðîíû õîðîøîèçâåñòíî, ÷òî 21 (dim g + ind g) ýòî â òî÷íîñòè ðàçìåðíîñòü ìàêñèìàëüíîãî èçîòðîïíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà â òî÷êå x ∈ g∗ îáùåãîïîëîæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîòà êîììóòàòèâíîãî íàáîðà F ýêâèâàëåíòíà òîìó, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî dx F ìàêñèìàëüíî èçîòðîïíîîòíîñèòåëüíî ôîðìû Ax äëÿ òî÷åê x ∈ g∗ îáùåãî ïîëîæåíèÿ , ò.å.dx F = dgxFäëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ g∗ .(1.26) òîì ñëó÷àå êîãäà ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî â òî÷êå x0 , ìû áóäåìãîâîðèòü, ÷òî êîììóòàòèâíûé íàáîð F ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì â òî÷êå x0 .Ðàññìîòðèì àëãåáðó Ëè gK̄ = g ⊗K K̄, ïîëó÷åííóþ èç g ðàñøèðåíèåì îñíîâíîãî ïîëÿ K äî åãî àëãåáðàè÷åñêîãî çàìûêàíèÿ K̄, èìíîæåñòâî ñèíãóëÿðíûõ ýëåìåíòîâ â êîàëãåáðå (gK̄ )∗ :(gK̄ )∗sing = {x ∈ (gK̄ )∗ | dim Ann(x) > ind g}.Îòâåò íà âîïðîñ, â êàêîì ñëó÷àå íàáîð Fa (I(g)) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, äàåòñÿ ñëåäóþùèì êðèòåðèåì.Òåîðåìà 11.
Ïóñòü g êîíå÷íîìåðíàÿ àëãåáðà Ëè íàä ïîëåì Kõàðàêòåðèñòèêè íóëü è a ∈ g∗reg ðåãóëÿðíûé ýëåìåíò.1. Êîììóòàòèâíûé íàáîð Fa (I(g)), ïîñòðîåííûé ôîðìàëüíûììåòîäîì ñäâèãà àðãóìåíòà, ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàcodim(gK̄ )∗sing ≥ 2.2.
Êîììóòàòèâíûé íàáîð Fa (I(g)) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì â ðåãóëÿðíîé òî÷êå x ∈ g∗reg òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðÿìàÿ{x + λa | λ ∈ K̄} íå ïåðåñåêàåò ìíîæåñòâî (gK̄ )∗sing .Äîêàçàòåëüñòâî.  êàæäîé òî÷êå x ∈ g∗ ñòàíäàðòíàÿ ñêîáêà ËèÏóàññîíà {·, ·} è ñêîáêà {·, ·}a , ïîëó÷åííàÿ çàìîðàæèâàíèåì àðãóìåíòà (ñì. Çàìå÷àíèå 9), èíäóöèðóþò ñåìåéñòâî êîñîñèììåòðè÷åñêèõ áèëèíåéíûõ ôîðì íà g, S x = span {Ax , Aa }.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç S0x ïîäìíîæåñòâî â S x , ñîñòîÿùåå èç ôîðì ìàêñèìàëüíîãî ðàíãàR0 = dim g − ind g, è ïóñòü Lx0 ⊂ g ïîäïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäåííîåÿäðàìè ôîðì îáùåãî ïîëîæåíèÿ:S0x = {Aλ1 x+λ2 a | λ1 x + λ2 a ∈ g∗reg },50Lx0 = span {Ker A | A ∈ S0x }.Èç ëåììû 6 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ g∗dx Fa (I(g)) = Lx0 .(1.27)Äåéñòâèòåëüíî, Fa (I(g)) ñîñòîèò èç s áèãàìèëüòîíîâûõ èåðàðõèé(j)(j){f1 , f2 , . . .}, j = 1, .
. . , s (ñì. Çàìå÷àíèå 9).  òî÷êå x êàæäàÿáèãàìèëüòîíîâà èåðàðõèÿ èíäóöèðóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ(j)(j){df1 , df2 , . . .} ⊂ g, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ èåðàðõèåé âèäà (1.20) îòíîñè(s)(1)òåëüíî ôîðì Ax è Aa . Êðîìå òîãî, â ñèëó (1.16), âåêòîðà df1 , . . . , df1ïîðîæäàþò Ann(a) = Ker Aa . Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî Aa ∈ S0x (ò.ê.a ðåãóëÿðåí), è ìû ïîïàäàåì â óñëîâèÿ ëåììû 6, ãäå ðîëü L0 èãðàåòïîäïðîñòðàíñòâî dx Fa (I(g)) ⊂ g.Òàêèì îáðàçîì, èç ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè óñëîâèÿ ïîëíîòû (1.26) è ðàâåíñòâà (1.27) ñëåäóåò, ÷òî ïîëíîòà íàáîðà Fa (I(g))ýêâèâàëåíòíà òîìó, ÷òî äëÿ òî÷åê x ∈ g∗ îáùåãî ïîëîæåíèÿfx .Lx0 = L0Òåïåðü, ÷òîáû ïðèìåíèòü ê ïîäïðîñòðàíñòâó Lx0 Ëåììó 7, ðàññìîòðèì àëãåáðó Ëè g è âñå âîçíèêàþùèå ïîäïðîñòðàíñòâà íàä àëãåáðàè÷åñêèì çàìûêàíèåì K̄ îñíîâíîãî ïîëÿ K.
Èòàê, êîììóòàòèâíûéíàáîð Fa (I(g)) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿòî÷åê x ∈ (gK̄ )∗ îáùåãî ïîëîæåíèÿfx )K̄ = (Lx )K̄ .(L00(1.28)Ïóñòü C1 , . . . , Cq âñå, ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, íåòðèâèàëüíûå ôîðìû (S x )K̄ òàêèå, ÷òî rank Ci < R0 . Òîãäà èç Ëåììû 7ñëåäóåò, ÷òîfx )K̄ ,1. Ker Ci ⊂ (L0i = 1, . . .
, q , (Ñëåäñòâèå 2);2. Åñëè âñå íåòðèâèàëüíûå ôîðìû èìåþò ìàêñèìàëüíûé ðàíã,fx )K̄ = (Lx0 )K̄ (Ñëåäñòâèå 3).ò.å. (S0x )K̄ = (S x )K̄ \ {0}, òî (L0Òàêèì îáðàçîì, (1.28) âûïîëíåíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñåíåòðèâèàëüíûå ôîðìû Aλ1 x+λ2 a ñ êîýôôèöèåíòàìè λ1 , λ2 ∈ K̄ èìåþò ìàêñèìàëüíûé ðàíã R0 .  òåðìèíàõ àëãåáðû Ëè gK̄ ýòî óñëîâèå51ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî âñå ýëåìåíòû âèäà λ1 a + λ2 x (çà èñêëþ÷åíèåì òðèâèàëüíîé êîìáèíàöèè) ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè.
Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äâóìåðíàÿ ïëîñêîñòü, ïîðîæäåííàÿ êîâåêòîðàìè x è a â (gK̄ )∗ , ïåðåñåêàåò ìíîæåñòâî ñèíãóëÿðíûõ òî÷åê (gK̄ )∗singëèøü â íóëå. Ïîëíîòà íàáîðà Fa (I(g)) îçíà÷àåò âûïîëíåíèå ýòîãîãåîìåòðè÷åñêîãî óñëîâèÿ äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ (gK̄ )∗ . ßñíî, ÷òî ýòîïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà codim(gK̄ )∗sing ≥ 2.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïóíêòà 2 òåîðåìû îñòàåòñÿ ëèøü çàìåòèòü,÷òî åñëè x ∈ g∗reg , òîspan {x, a} ∩ (gK̄ )∗sing = 0 ⇔ {x + λa | λ ∈ K̄} ∩ (gK̄ )∗sing = ∅.Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 13. Óñëîâèå ïîëíîòû codim(gK̄ )∗sing ≥ 2 äîïóñêàåò åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ áåç èñïîëüçîâàíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî çàìûêàíèÿ îñíîâíîãî ïîëÿ.
Äåëî â òîì, ÷òî ìíîæåñòâà ñèíãóëÿðíûõ ýëåìåíòîâ â g∗ è â (gK̄ )∗ çàäàþòñÿ îäíîé è òîé æå ñèñòåìîé ïîëèíîìèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîëèíîìàìè ÿâëÿþòñÿ ìèíîðû ïîðÿäêà (dim g − ind g) ìàòðèöû êîñîñèììåòðè÷åñêîé ôîðìûAx , ýëåìåíòû êîòîðîé èìåþò âèä (Ax )ij = ckij xk . ßñíî, ÷òî ýòè ìèíîðû ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè ñòåïåíè (dim g − ind g) îò x1 , . . . , xn ñêîýôôèöèåíòàìè èç K, à óñëîâèå ïîëíîòû â òî÷íîñòè îçíà÷àåò, ÷òîíàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ òðèâèàëåí. Î÷åâèäíî, ÷òî íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ìíîãî÷ëåíîâ íå ìåíÿåòñÿ ïðèðàñøèðåíèè ïîëÿ.
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî íàõîæäåíèå íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî ïðè ïîìîùè àëãîðèòìàÅâêëèäà.1.6 Êîíñòðóêöèÿ ÁîëñèíîâàÏåðåä òåì êàê ïåðåéòè ê ïðèìåðàì ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû 11, íàïîìíèì êàê óñòðîåíî ãåîìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû ÌèùåíêîÔîìåíêî [7], ïîçâîëÿþùåå ñòðîèòü ïîëíûå êîììóòàòèâíûå íàáîðûïîëèíîìîâ íà äâîéñòâåííûõ ïðîñòðàíñòâàõ ïðîèçâîëüíûõ êîíå÷íîìåðíûõ àëãåáð Ëè. Çäåñü ìû îïèøåì ñîîòâåòñòâóþùóþ êîíñòðóêöèþ â àëãîðèòìè÷åñêîì äóõå, îïóñêàÿ ïîäðîáíûå îáúÿñíåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî íàéòè â [7] (ñì.
òàêæå [33]).52Êàê óæå îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 1.1, â îñíîâå ãåîìåòðè÷åñêîãîäîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ñàäýòîâà, ïðåäëîæåííîãî Áîëñèíîâûì, ëåæèò ñëåäóþùàÿ ëåììà:Ëåììà 1. Ëþáàÿ àëãåáðà Ëè g íàä ïîëåì K õàðàêòåðèñòèêè íóëüóäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:1. Ñóùåñòâóåò êîììóòàòèâíûé èäåàë h C g, íå ÿâëÿþùèéñÿîäíîìåðíûì öåíòðîì g (ò.å. ëèáî dim h > 1, ëèáî [h, g] 6= 0);2. Ñóùåñòâóåò èäåàë hm C g, èçîìîðôíûé àëãåáðå Ãåéçåíáåðãà,è ïðè ýòîì öåíòð g ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì hm , Z(g) = Z(hm );3. Àëãåáðà Ëè g ïîëóïðîñòà èëè g = g0 ⊕ K, ãäå g0 ïîëóïðîñòà.Ðàçáåðåì êàæäûé èç ýòèõ ñëó÷àåâ ïî îòäåëüíîñòè.1. Ïóñòü h C g êîììóòàòèâíûé èäåàë. Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå (ad|h )∗ : g → gl(h∗ ), ÿâëÿþùååñÿ äâîéñòâåííûì ê ïðèñîåäèíåííîìó ïðåäñòàâëåíèþ ad|h : g → gl(h) è äëÿ êàæäîãîýëåìåíòà h ∈ h∗ îáîçíà÷èì ÷åðåç St(h) ⊂ g åãî ñòàöèîíàðíóþïîäàëãåáðó, St(h) = {ξ ∈ g | (ad|h )∗ξ h = 0}.
Îáîçíà÷èì ÷åðåçL(g, (ad|h )∗ , h∗ ) ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ñå÷åíèé ðàññëîåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ïîäàëãåáð íàä h∗ :½¾Ψ−ðàö.îòîáðàæåíèå,L(g, (ad|h )∗ , h∗ ) = Ψ : h∗ → g |Ψ(h) ∈ St(h) ∀h ∈ h∗ .Ìíîæåñòâî L(g, (ad|h )∗ , h∗ ) ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé Ëè íàä ïîëåìK(h∗ ) = Frac(S(h)) ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íà h∗ ñî ñëåäóþùåé åñòåñòâåíîé ñêîáêîé: [Ψ1 , Ψ2 ](h) = [Ψ1 (h), Ψ2 (h)].Ðàññìîòðèì òåïåðü ìíîæåñòâîAnnf rac (h) = {f /g | f ∈ Ann(h), g ∈ S(h)} ,ãäå Ann(h) = {f ∈ S(g) | {f, η} = 0 ∀η ∈ h}. Ëåãêî ïîêàçàòü,÷òî Annf rac (h) òîæå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé Ëè (ñî ñêîáêîé ÏóàññîíàËè) íàä ïîëåì K(h∗ ).Îòîáðàæåíèåκ : L(g, (ad|h )∗ , h∗ ) → Annf rac (h),53Ψ 7→ fΨ ,fΨ (x) = hx, Ψ(πh∗ x)i,ãäå πh∗ : g∗ → h∗ åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿ, ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì àëãåáð Ëè, ò.å.
{fΨ1 , fΨ2 }(x) = f[Ψ1 ,Ψ2 ] (x). Îáîçíà÷èì÷åðåç Lh îáðàç ýòîãî ãîìîìîðôèçìà:Lh = Im κ.Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîdimK(h∗ ) Lh = dimK St(h) − dimK h + 1,ãäå St(h) ñòàöèîíàðíàÿ ïîäàëãåáðà îáùåãî ïîëîæåíèÿ.Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè êîíå÷íîìåðíóþ ïîäàëãåáðó ËèLh ⊂ Annf rac (h) íàä ðàñøèðåííûì ïîëåì K(h∗ ). Çàìåòèì, ÷òîdimK(h∗ ) Lh < dimK g. Ïóñòü F(Lh , K(h∗ )) ïîëíûé êîììóòàòèâíûé íàáîð ïîëèíîìîâ â S(Lh ) â ñìûñëå ïîëÿ K(h∗ ). Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàáîð F(Lh , K(h∗ )) çàìêíóò îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ è ñîäåðæèò âñå êîíñòàíòû, ò.å.ýëåìåíòû ïîëÿ K(h∗ ). Ôóíêöèè èç íàáîðà F(Lh , K(h∗ )) èìåþòâèä f /g , ãäå f ∈ Ann(h) è g ∈ S(h) ⊂ K(h∗ ). Íà ðÿäó ñ f /gíàáîð F(Lh , K(h∗ )) ñîäåðæèò ïîëèíîìû f è g ïî îòäåëüíîñòè.Äîìíîæèâ êàæäóþ ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ èç F(Lh , K(h∗ ))íà åå çíàìåíàòåëü, ìû ïîëó÷èì íàáîð ïîëèíîìîâ â Ann(h):Fpol (Lh , K(h∗ )) = {f | f /g ∈ F(Lh , K(h∗ ))} ⊂ Ann(h).Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íàáîð Fpol (Lh , K(h∗ )) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûìêîììóòàòèâíûì íàáîðîì â S(g).2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
