Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков (1105116), страница 8
Текст из файла (страница 8)
ôîðì ìàêñèìàëüíîãî ðàíãàR0 = max rank A. Îáîçíà÷èì ÷åðåç L0 ïîäïðîñòðàíñòâî â V , ïîðîæA∈Säåííîå ÿäðàìè ôîðì îáùåãî ïîëîæåíèÿ:L0 = span {Ker A, A ∈ S0 }.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A1 ÿâëÿåòñÿ ôîðìîé îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ò.å. A1 ∈S0 , è âåêòîðû e01 , . . . , e0r îáðàçóþò áàçèñ â Ker A1 . Ïóñòü âåêòîðû ejióäîâëåòâîðÿþò ðåêóðåíòíûì ñîîòíîøåíèÿìA1 (e0i ) = 0,A1 (e1i ) = A2 (e0i ),A1 (e2i ) = A2 (e1i ),...(1.20)Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ {e0i , e1i , . .
.}, îïðåäåëåííàÿ ýòîé ïðîöåäóðîé, íàçûâàåòñÿ èåðàðõèåé, ïîðîæäåííîé ïàðîé ôîðì A1 è A2 .42Îáîçíà÷èì ÷åðåç L0 ïîäïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäåííîå âåêòîðàìè âñåõr èåðàðõèé:L0 = span {eji ; i = 1, . . . , r, j = 0, 1, 2, . . .}.Ëåììà 6. L0 = L0 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà ìû äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî âåêòîðûêàæäîé èåðàðõèè {ej , j = 0, 1, . . .} ïðèíàäëåæàò ïîäïðîñòðàíñòâóL0 è, ñëåäîâàòåëüíî, L0 ⊂ L0 . Áàçèñ èíäóêöèè î÷åâèäåí: e0 ∈ L0òàê êàê e0 ∈ Ker A1 è A1 ∈ S0 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ej ∈ L0 , òîãäàñóùåñòâóþò âåêòîðû v1 , . . . , vm òàêèå, ÷òî ej = v1 + . . . + vm è vi ∈Ker (A2 + λi A1 ) ⊂ L0 . Èñïîëüçóÿ èåðàðõè÷åñêîå ñâîéñòâî (1.20):A1 (ej+1 ) = A2 (ej ) = A2 (v1 + . . . + vm ) = −λ1 A1 (v1 ) − . . . − λm A1 (vm ).Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ej+1 +λ1 v1 +. . .+λm vm ∈ Ker A1 è, ñëåäîâàòåëüíî,ej+1 ∈ L0 .Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü îáðàòíîå âêëþ÷åíèå, ïîêàæåì ñíà÷àëà,÷òî äëÿ ëþáîãî λ ∈ KA1 (L0 ) = (A2 + λA1 )(L0 ).(1.21)Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ej èåðàðõèè (A2 + λA1 )(ej ) = A1 (ej+1 + λej ) ∈A1 (L0 ), ïîýòîìó (A2 + λA1 )(L0 ) ⊂ A1 (L0 ).
Ïóñòü âåêòîðà e0 , e1 , . . . , elîáðàçóþò áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà span {ej , j = 0, 1, . . .} ⊂ L0 . Ëåãêîïðîâåðèòü,÷òî äëÿ êàæäîãî áàçèñíîãî âåêòîðà ej ñóùåñòâóåò âåêòîðPlw = i=0 αi ei ∈ L0 òàêîé, ÷òîA1 (ej ) = (A2 + λA1 )(w).(1.22)Äåéñòâèòåëüíî:(A2 + λA1 )(w) =lXiαi A2 (e ) + λi=0==lXi=0lXαi A1 (ei+1)+λlXαi A1 (ei )i=1lXiαi A1 (e ) =i=1lXi=1(αi−1 + λαi + αl βi )A1 (ei ),i=143(αi−1 + λαi )A1 (ei ) + αl A1 (el+1 )ãäå (βi )li=0 êîîðäèíàòû âåêòîðà el+1 â áàçèñå {ei }li=0 . Òàêîì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü (1.22) äîñòàòî÷íî íàéòè α0 , . .
. , αl−1(ñ αl = 1) òàêèå, ÷òîαi−1 + λαi + βi = δij , i = 1, . . . , l.Ýòà ëèíåéíàÿ ñèñòåìà, î÷åâèäíî, èìååò ðåøåíèå (ò.ê. åå ìàòðèöàíåâûðîæäåíà). Èòàê, (1.21) äîêàçàíî. Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî äëÿëþáîãî λ ∈ Kdim Ker A1 = dim(L0 ∩ Ker A1 ) = dim(L0 ∩ Ker (A2 + λA1 )). ïåðâîì ðàâåíñòâå ìû ïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî Ker A1 ⊂ L0 , à âîâòîðîì èñïîëüçîâàëè (1.21) è ñëåäóþùèé ïðîñòîé ôàêò: äëÿ ëþáîãîëèíåéíîãî îïåðàòîðà A : V → W , dim ImA + dim Ker A = dim V .Òåïåðü åñëè ôîðìà A2 + λA1 â îáùåì ïîëîæåíèè, òî dim Ker (A2 +λA1 ) = dim Ker A1 , ïîýòîìó Ker (A2 + λA1 ) ⊂ L0 .
Òàêèì îáðàçîì,L0 ⊂ L0 , ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû.1.5.5Ëåììà î ïàðå êîñîñèììåòðè÷åñêèõáèëèíåéíûõ ôîðìÏóñòü, êàê è ïðåæäå, V êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåìK íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè, dim V = n, (A1 , A2 ) ïàðà áèëèíåéíûõôîðì íà V , S = span {A1 , A2 }, S0 ⊂ S ïîäìíîæåñòâî ôîðì ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà. Òîëüêî òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, ïîëåK àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòî è, âî-âòîðûõ, ôîðìû A1 è A2 ÿâëÿþòñÿêîñîñèììåòðè÷åñêèìè.Îáîçíà÷èì ÷åðåç L ïîäïðîñòðàíñòâî â V , ïîðîæäåííîå ÿäðàìèâñåõ íåòðèâèàëüíûõ ôîðì, à ÷åðåç L0 ïîäïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäåííîå ÿäðàìè ôîðì îáùåãî ïîëîæåíèÿ:L = span {Ker A, A ∈ S \ {0}},L0 = span {Ker A, A ∈ S0 }.f0 êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê L0 â V îòíîñèòåëüíîåÏóñòü Líåêîòîðîé íåòðèâèàëüíîé ôîðìû B ∈ S :f0 = {v ∈ V | B(v, L0 ) = 0}.L44Ëåììà 7.
Ïóñòü C1 , . . . , Cq ∈ S\{0} âñå ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîïîð-öèîíàëüíîñòè ôîðìû íåìàêñèìàëüíîãî ðàíãà. Ïóñòü A ∈ S0 ôèêf0 = L èìåñèðîâàííàÿ ôîðìà ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà R0 . Ðàâåíñòâî Låò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà dim Ker (A|Ker Ci ) = n − R0 .f0 ⊂ L. ïðîòèâíîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî ñòðîãîå âêëþ÷åíèå LÇàìå÷àíèå 11.
 îáîçíà÷åíèÿõ ëåììû L = L0 +qPi=1Ker Ci .Îðèãèíàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ äëÿ êîìïëåêñíîãî ñëó÷àÿ K = C, êîòîðîå áåç òðóäà ïåðåíîñèòñÿ íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîãî ïîëÿ, ìîæíî íàéòè â ðàáîòå [6].Çäåñü ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàííîå íà òåîðåìå î ïðèâåäåíèè ïàðû êîñîñèììåòðè÷åñêèõ ôîðì ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.Ïóñòü Ik îáîçíà÷àåò åäèíè÷íóþ ìàòðèöó ðàçìåðà k , à Jk,µ æîðäàíîâó êëåòêó ðàçìåðà k è ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì µ, ãäå k ∈ N,µ ∈ K.Òåîðåìà 10.
Ëþáàÿ ïàðà (A1 , A2 ) êîñîñèììåòðè÷åñêèõ áèëèíåéíûõ ôîðì íà êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå íàä àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ïðÿìóþ ñóììó ïàðôîðì, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èçîìîðôíà îäíîé èç ñëåäóþùèõ ïàð:(k,µ)1. H2k,µ = (H1(k,µ)H1(k,∞)2. H2k,∞ = (H1(k,∞)H1(k,µ), H2 ), ãä嵶0 Ik=,−Ik 0¶0Jk,µ.t−Jk,µ0µ(k,µ)H2=(k,∞), H2), ãä嶵0Jk,0,=t−Jk,00µ(k,∞)H2(2k−1)=¶0 Ik.−Ik 0(2k−1)3. Ïàðà Êðîíåêåðà K2k−1 = (K1, K2).
Ýòà ïàðà ôîðìîïðåäåëåíà íà (2k−1)-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, â áàçèñå (v0 , . . . , v2k−2 )íåíóëåâûìè ÿâëÿåòñÿ òîëüêî ñëåäóþùèå ñïàðèâàíèÿ:A1 (v2l , v2l+1 ) = 1 A2 (v2l+1 , v2l+2 ) = 1,45l = 0, . . . , k − 2.Çàìå÷àíèå 12. Ýòîò çàìå÷àòåëüíûé àëãåáðàè÷åñêèé ôàêò èãðàåòâàæíóþ ðîëü â òåîðèè áèãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì (ñì. [39]). Åãî äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî íàéòè â ðàáîòå È. Ì. Ãåëüôàíäà è È. Ñ. Çàõàðåâè÷à [14], ñì. òàêæå [51].  ìîíîãðàôèÿõ [13] è [52] äèñêóññèÿïîäõîäèò î÷åíü áëèçêî, òåì íå ìåíåå, äàííîå óòâåðæäåíèå ÿâíî íåôîðìóëèðóåòñÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 10 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå ïðîñòðàíñòâà V :V = U12m1 ⊕ .
. . ⊕ Us2ms ⊕ W12k1 −1 ⊕ . . . ⊕ Wr2kr −1è áàçèñ íà V1r),(e11 , . . . , e12m1 , . . . , es1 , . . . , es2ms , f11 , . . . , f2k, . . . , f1r , . . . , f2k1 −1| {z } |{z}{z r −1}| {z }|2m1Us2msU1Wr2kr −12k1 −1W1â êîòîðîì ôîðìû A1 è A2 èìåþò ñëåäóþùèé êàíîíè÷åñêèé âèä :(m1 ,µ1 )⊕ . . . ⊕ H1(m1 ,µ1 )⊕ . . . ⊕ H2A1 = H 1A2 = H 2(ms ,µs )⊕ K1(2k1 −1)⊕ .
. . ⊕ K1(ms ,µs )⊕ K2(2kr −1),(2k1 −1)⊕ . . . ⊕ K2(2kr −1),ãäå µi ∈ K ∪ {∞}. ßäðî ëèíåéíîé êîìáèíàöèè Aλ1 ,λ2 = λ1 A1 + λ2 A2â ýòîì áàçèñå çàïèñûâàåòñÿ òàê:Ker Aλ1 ,λ2³´³´(m1 ,µ1 )(m1 ,µ1 )(2kr −1)(2kr −1)= Ker λ1 H1+ λ2 H2⊕ . . . ⊕ Ker λ1 K1+ λ 2 K2.Ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî µ ∈ K ÿäðîíåòðèâèàëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè(span {em , em+1 },0,(³´span {em , em+1 },(m,∞)(m,∞)Ker λ1 H1+ λ2 H2=0,³´(m,µ)(m,µ)Ker λ1 H1+ λ2 H2=åñëè (λ1 : λ2 ) = (−µ : 1),èíà÷å.åñëè (λ1 : λ2 ) = (1 : 0),èíà÷å.Ïîýòîìó, äëÿ ëþáîãî µ ∈ K ∪ {∞}n³´o(m,µ)(m,µ)2span Ker λ1 H1+ λ2 H2, λ ∈ K \ {0} = span {em , em+1 }.46Äàëåå, äëÿ ëþáîé êðîíåêåðîâîé ïàðû K2k−1 íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåé(2k−1)(2k−1)íàÿ êîìáèíàöèÿ λ1 K1+λ2 K2âñåãäà èìååò îäíîìåðíîå ÿäðî:³Kerwλ =¶ik−1 µXλ1i=0λ2(2k−1)λ1 K1+(2k−1)λ2 K2´= span {wλ },Ãf2i+1 =µ ¶2µ ¶k−1 !λ1λ1λ11, 0, , 0,, 0, .
. . , 0,.λ2λ2λ2Êðèâàÿ {wλ , λ ∈ KP1 } íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé êðèâîé ïàðû K2k−1 .Òàêèì îáðàçîì, ïîäïðîñòðàíñòâî L ⊂ V , ïîðîæäåííîå âñåìè ÿäðàìèíåòðèâèàëüíûõ ôîðì Aλ1 ,λ2 èìååò âèä:L = U12 ⊕ . . . ⊕ Us2 ⊕ W1k1 ⊕ . . . ⊕ Wrkr ,ãäåUi2 = span {eimi , eimi +1 } ⊂ Ui2mi ,(1.23)i = 1, . . . , s.iWiki = span {f1i , f3i , . .
. , f2k} ⊂ Wi2ki −1 ,i −1i = 1, . . . , r.Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîäïðîñòðàíñòâî L0 ⊂ L, ïîðîæäåííîå ÿäðàìèôîðì îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Èç îïèñàíèÿ ÿäåð ëèíåéíûõ êîìáèíàöèéôîðì, ñîñòàâëÿþùèõ ïàðû H2k,µ , H2k,∞ è K2k−1 , ñëåäóåò, ÷òî ðàíãôîðìû Aλ1 ,λ2 ìîæåò óïàñòü òîëüêî çà ñ÷åò ïàð ïåðâûõ äâóõ òèïîâ.(m,µ)(m,µ)Äëÿ ëþáîãî µ ∈ K ∪ {∞} ÿäðî ôîðìû λ1 H1+ λ2 H2â îáùåì ïîëîæåíèè òðèâèàëüíî.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Λi = (−µi : 1) òî÷êó(m,µ )ïðîåêòèâíîãî ïðîñòðàíñòâà KP1 , â êîòîðîé ÿäðî ôîðìû λ1 H1 i +(m,µ )λ2 H2 i âûðîæäàåòñÿ â äâóìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, òîãäàL0 = span {Ker Aλ1 ,λ2 , λ ∈ KP1 \ ∪si=1 Λi } = W1k1 ⊕ . . . ⊕ Wrkr . (1.24)f0 ê L0 â V îòíîñèòåëüíî íåêîÊîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå Lòîðîé íåòðèâèàëüíîé ôîðìû Aλ1 ,λ2 ∈ S èìååò âèäf0 = {v ∈ V | Aλ ,λ (v, L0 ) = 0} = U 2m1 ⊕ . . . ⊕ U 2ms ⊕ Wf1 ⊕ . . . ⊕ Wfr ,Ls1 21fi êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê W ki â W 2ki −1 .ãäå Wii ðàáîòå [14] äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ëþáîé ïàðû êîñîñèììåòðè÷åñêèõôîðì (A1 , A2 ) íà êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå W ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå ýòîãî ïðîñòðàíñòâà â âèäå W = S ⊕ T ∗ , ïàðà îïåðàòîðîâ47X1 , X2 : S → T è ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå P : W → S ⊕ T ∗ òàêèå,÷òî Ai = P ∗ AXi P , ãäåAXi (w1 , w2 ) = AXi (s1 + t∗1 , s2 + t∗2 ) = t∗2 (Xi s1 ) − t∗1 (Xi s2 ).Áîëåå òîãî, åñëè ïàðà (A1 , A2 ) ÿâëÿåòñÿ ïàðîé Êðîíåêåðà K2k−1 , òîïðîñòðàíñòâî S ñîâïàäàåò ñ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ñïåêòðàëüíîé êðèâîé, S = span {wλ } = W k , à îïåðàòîðû X1 , X2 : W k → T ñþðúåêòèâíû.Ïóñòü ξ = ξW k + ξT ∗ ∈ W k ⊕ T ∗ = W 2k−1 , òîãäàAλ1 ,λ2 (ξ, W k ) = −ξT ∗ ((λ1 X1 + λ2 X2 )W k ) = 0 ⇔ ξT ∗ = 0.fi = W ki èÑëåäîâàòåëüíî, Wif0 = U 2m1 ⊕ .
. . ⊕ U 2ms ⊕ W k1 ⊕ . . . ⊕ W kr .Lsr11(1.25)f0 íå çàâèñèò îò âûáîðà ôîðìû Aλ ,λ ∈ S . ÈçÒàêèì îáðàçîì, L1 2(1.23)(1.25) ñëåäóåò, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî L0 ÿâëÿåòñÿ èçîòðîïíûìf0 .è L0 ⊂ L ⊂ LÊîëè÷åñòâî q âñåõ, ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, ôîðìñåìåéñòâà S , êîòîðûå èìåþò íå ìàêñèìàëüíûé ðàíã, íå ïðåâîñõîäèòs è èõ ñïèñîê âûãëÿäèò òàê:(−µi A1 + A2 , åñëè µi ∈ K,Ci =A1 ,åñëè µi = ∞.i = 1, .
. . , sßäðî ôîðìû Ci èìååò ñëåäóþùèé âèä:Ker Ci =MUj2 ⊕ span {wΛ1 i } ⊕ . . . ⊕ span {wΛr i }.j:µj =µif0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàÈç (1.23) è (1.25) ñëåäóåò, ÷òî L = L2mUi2 = Ui i äëÿ âñåõ i = 1, . . . , s, ò.å. êîãäà êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ïàðû (A1 , A2 ) ñîäåðæèò òîëüêî ïàðû ñëåäóþùèõ òèïîâ: H2,µ ,H2,∞ è K2k−1 .Ïóñòü òåïåðü Aλ1 ,λ2 ∈ S0 ôîðìà îáùåãî ïîëîæåíèÿ. ÒîãäàKer Aλ1 ,λ2 = span {wλ1 } ⊕ . . .
⊕ span {wλr }.48Ðàçìåðíîñòü ÿäðà ôîðìû îáùåãî ïîëîæåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ïàðÊðîíåêåðà â êàíîíè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè ïàðû (A1 , A2 ):dim Ker Aλ1 ,λ2 = r.Ðàññìîòðèì òåïåðü ÿäðî îãðàíè÷åíèÿ ôîðìû Aλ1 ,λ2 íà Ker Ci . Î÷åâèäíî, wΛ1 i , . . . , wΛr i ∈ Ker (Aλ1 ,λ2 |Ker Ci ), ïîýòîìó dim Ker (Aλ1 ,λ2 |Ker Ci ) ≥r.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
