Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков (1105116), страница 5
Текст из файла (страница 5)
.+λk Fk (x)+Gk+1 (λx), Gk+1 (λx) ∈ mk+10 .Íàáîð îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ {Fk }k∈N ÿâëÿåòñÿ íàáîðîì ïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ ôóíêöèè f .Ïðèìåð 3. Ðàññìîòðèì ðàçðåøèìóþ àëãåáðó Ëè r3 (K) èç ïðèìå-ðà 2. Êàê óæå áûëî ñêàçàíî, ýòà àëãåáðà íå èìååò ïîëèíîìèàëüíûõèíâàðèàíòîâ, íî èìååò ðîâíî îäèí (ò.ê. ind r3 = 1) ðàöèîíàëüíûé èíâàðèàíò f = x3 /x2 ∈ K(g∗ )G . Ýëåìåíò a = (0, 1, 0) ∈ r∗3 (K) ÿâëÿåòñÿðåãóëÿðíûì äëÿ f è ïîëèíîìû u1 = x1 , u2 = x2 −1, u3 = x3 îáðàçóþòñèñòåìó ëîêàëüíûõ ïàðàìåòðîâ â òî÷êå a. Ïîëüçóÿñü Çàìå÷àíèåì 2,âû÷èñëèì ôîðìàëüíûé ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè f â òî÷êå a:24F0 = 0,Fs (u) = (−1)s−1 (s − 1)!u3 us−12 , äëÿ s = 1, . . .
, k,∞XkGk+1 (u) = u3 u2(−1)s s!us2 ∈ mk+10 ,s=0x3= x3 − x3 (x2 − 1) + 2x3 (x2 − 1)2 + . . . + (−1)k k!x3 (x2 − 1)k + . . .x2Òàêèì îáðàçîì, ïîëèíîìû F1 = x3 F2 = x2 x3 (èëè äëÿ ïðîñòîòûF̃1 = x3 F̃2 = x2 ) îáðàçóþò ïîëèíîìèàëüíûé íàáîð a-ñäâèãîâ ðàöèîíàëüíîãî èíâàðèàíòà x3 /x2 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòîò êîììóòàòèâíûéíàáîð ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, òàê êàê 12 (dim r3 + ind r3 ) = 2.Ïóñòü Fa (K(g∗ )G ) íàáîð ïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ ðàöèîíàëüíûõ èíâàðèàíòîâ àëãåáðû Ëè g, ïîñòðîåííûé îïèñàííûì ñïîñîáîì. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé êðèòåðèé ïîëíîòû íàáîðà Fa (K(g∗ )G ).Òåîðåìà 5.
Ïóñòü g êîíå÷íîìåðíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ àëãåáðà Ëèíàä ïîëåì K õàðàêòåðèñòèêè íóëü è a ∈ g∗reg . Êîììóòàòèâíûé íàáîð ïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ ðàöèîíàëüíûõ èíâàðèàíòîâ Fa (K(g∗ )G )ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàcodim(gK̄ )∗sing ≥ 2.Ýòà òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì áîëåå îáùåãî óòâåðæäåíèÿ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì ðåçóëüòàòîì ýòîé ðàáîòû è áóäåòñôîðìóëèðîâàíî è äîêàçàíî íèæå.1.5 Êðèòåðèé ïîëíîòû: îáùèé ñëó÷àé ýòîì ðàçäåëå ìû îòêàçûâàåìñÿ îò óñëîâèÿ àëãåáðàè÷íîñòè àëãåáðû Ëè g è ðàññìàòðèâàåì ïðîèçâîëüíûå êîíå÷íîìåðíûå àëãåáðû Ëèíàä ïîëåì íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè. îáùåì ñëó÷àå, â îòëè÷èå îò âåùåñòâåííûõ, êîìïëåêñíûõ èëèàëãåáðàè÷åñêèõ àëãåáð, îòñóòñòâóåò ãðóïïà (Ëè èëè àëãåáðàè÷åñêàÿ),â ÷àñòíîñòè, íåò íè êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû, íè25èíâàðèàíòîâ ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.
Òåì íå ìåíåå, îêàçûâàåòñÿ, ìîæíî åñòåñòâåííûì ñïîñîáîì îïðåäåëèòü îáúåêòû, èãðàþùèå ðîëü èíâàðèàíòîâ. Åñëè K = R èëè C, òî õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f ∈ A(g∗ ) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ad∗df (x) x = 0.  ýòîìîïðåäåëåíèè ó÷àñòâóþò òîëüêî ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû àëãåáðû Ëèg, ïîýòîìó îíî èìååò ñìûñë äëÿ ëþáîãî ïîëÿ K.  ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ íàäî ëèøü äîãîâîðèòüñÿ, ÷òî ïîíèìàòü ïîä f . Îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî ðàöèîíàëüíûìè ôóíêöèÿìè K(g∗ ), êàê ýòî ïîçâîëÿëà ñäåëàòü òåîðåìà Ðîçåíëèõòà â àëãåáðàè÷åñêîì ñëó÷àå, íåëüçÿ,òàê êàê òåïåðü àëãåáðà Ëè íå îáÿçàòåëüíî àëãåáðàè÷åñêàÿ, è â ýòîìñëó÷àå ðàöèîíàëüíûõ èíâàðèàíòîâ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîëíîãî íàáîðàìîæåò íå õâàòèòü.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî â âåùåñòâåííîì èëè êîìïëåêñíîì ñëó÷àå èíâàðèàíòû ìîãóò áûòü ãëîáàëüíî íå îïðåäåëåíû è òîãäà ìû âûíóæäåíû ðàññìàòðèâàòü ëîêàëüíûåèíâàðèàíòû, êîòîðûå ïî ñâîåé ñóòè ÿâëÿþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ ðÿäàìè. Ýòè ñîîáðàæåíèÿ ïðèâîäÿò ê ñëåäóþùåé åñòåñòâåííîé èäåå: ïîäèíâàðèàíòîì (òî÷íåå ôîðìàëüíûì èíâàðèàíòîì) êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìû áóäåì ïîíèìàòü ôîðìàëüíûé ðÿä èç êîëüöàK[[g∗ ]], óäîâëåòâîðÿþùèé íåêîòîðîìó åñòåñòâåííîìó óñëîâèþ (òèïàad∗df (x) x = 0). Òîãäà îäíîðîäíûå ÷àñòè òàêèõ ôîðìàëüíûõ èíâàðèàíòîâ áóäóò àíàëîãàìè ñäâèãîâ êëàññè÷åñêèõ èíâàðèàíòîâ. ýòîì ðàçäåëå ìû ðåàëèçóåì îïèñàííóþ èäåþ. Ñíà÷àëà ìû äîêàçûâàåì íåîáõîäèìûé òåõíè÷åñêèé ðåçóëüòàò ôîðìàëüíóþ òåîðåìó Ôðîáåíèóñà.
Äàëåå, ìû ââîäèì ïîíÿòèå ôîðìàëüíîãî èíâàðèàíòà äëÿ ëþáîãî (íå îáÿçàòåëüíî êîïðèñîåäèíåííîãî) ïðåäñòàâëåíèÿàëãåáðû Ëè è äîêàçûâàåì ñóùåñòâîâàíèå ìàêñèìàëüíîãî íàáîðàòàêèõ èíâàðèàíòîâ. Çàòåì ìû äîêàçûâàåì êîììóòàòèâíîñòü íàáîðàïîëèíîìîâ â P (g), ñîñòàâëåííîãî èç îäíîðîäíûõ ÷àñòåé ôîðìàëüíûõèíâàðèàíòîâ ïðåäñòàâëåíèÿ ad∗ : g → gl(g∗ ).
Êðèòåðèé ïîëíîòû ýòîãî íàáîðà ïî÷òè àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò èç äâóõ ëåìì èç ëèíåéíîéàëãåáðû.Ñóùåñòâîâàíèå ìàêñèìàëüíîãî íàáîðà ôîðìàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ôîðìàëüíîé òåîðåìû Ôðîáåíèóñà ôîðìàëüíîãî àíàëîãà êëàññè÷åñêîé òåîðåìû îá èíòåãðèðóåìîñòèðàñïðåäåëåíèé.261.5.1Ôîðìàëüíàÿ òåîðåìà ÔðîáåíèóñàÊëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà Ôðîáåíèóñà äàåò íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè (ò.å.
ñóùåñòâîâàíèÿ ìàêñèìàëüíîãîíàáîðà ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé) ñèñòåìû ëèíåéíûõîäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõïåðâîãî ïîðÿäêà. Ïåðâîíà÷àëüíî òåîðåìà Ôðîáåíèóñà ôîðìóëèðîâàëàñü äëÿ ïôàôôîâûõ ñèñòåì [38]. Ñîâðåìåííàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿâåðñèÿ òåîðåìû Ôðîáåíèóñà ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì èíòåãðèðóåìîñòèðàñïðåäåëåíèé íà ìíîãîîáðàçèè è ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà âòåðìèíàõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðì èëè íà áîëåå èíòóèòèâíîì ÿçûêå âåêòîðíûõ ïîëåé [16, 27].Ïóñòü M ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè n.
Ãëàäêèì k ìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì D íà M íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî k -ìåðíûõïîäïðîñòðàíñòâ Dx ⊂ Tx M , ãëàäêî çàâèñÿùåå îò òî÷êè x. ×èñëî kòàêæå íàçûâàþò ðàíãîì ðàñïðåäåëåíèÿ. Èíòåãðàëîì ðàñïðåäåëåíèÿD íàçûâàåòñÿ âëîæåíèå F : N ,→ M òàêîå, ÷òî Im dy F ⊂ DF (y)äëÿ âñåõ y ∈ N . Ãîâîðÿò, ÷òî ãëàäêîå k -ìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåãðèðóåìî, åñëè äëÿ êàæäîé òî÷êè x ∈ M ñóùåñòâóåò èíòåãðàëF : N ,→ M òàêîé, ÷òî x ∈ F (N ) è dim N = k . Äðóãèìè ñëîâàìè, ðàñïðåäåëåíèå D íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìûì, åñëè äëÿ êàæäîéòî÷êè x ∈ M ñóùåñòâóåò ïîäìíîãîîáðàçèå N ⊂ M , íàçûâàåìîå èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç x òàêîå, ÷òî Ty N = Dyäëÿ âñåõ y ∈ N .Ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîðíîå ïîëå v íà M êàñàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ D,åñëè v(x) ∈ Dx äëÿ âñåõ x ∈ M .Òåîðåìà 6 (Òåîðåìà Ôðîáåíèóñà).
Ãëàäêîå ðàñïðåäåëåíèå D íà ìíî-ãîîáðàçèè M èíòåãðèðóåìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîæåñòâî âåêòîðíûõ ïîëåé, êàñàþùèõñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ D, çàìêíóòîîòíîñèòåëüíî êîììóòàòîðà âåêòîðíûõ ïîëåé.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ôîðìàëüíûé àíàëîã òåîðåìû Ôðîáåíèóñà, íóæíî ëèøü âìåñòî ãëàäêèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ ðàññìîòðåòü èõ ôîðìàëüíûå àíàëîãè. Îïèøåì ñîîòâåòñòâóþùóþ êîíñòðóêöèþ áîëåå ïîäðîáíî.Ïóñòü Kn àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì K õàðàêòåðèñòèêè íóëü. Ôîðìàëüíîå âåêòîðíîå ïîëå íà Kn ýòî âåêòîð, êîìïîíåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ôîðìàëüíûå ñòåïåííûå ðÿäû:v = (v 1 (x), . .
. , v n (x)), v i ∈ K[[x1 , . . . , xn ]].27Ôîðìàëüíûé êîììóòàòîð ôîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé îïðåäåëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè ñòàíäàðòíîé ôîðìóëû äëÿ êîììóòàòîðà:i∂v ij ∂u−v.∂xj∂xjÒàê êàê ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôîðìàëüíûõ ðÿäîâ õîðîøî îïðåäåëåíû íàä ëþáûì ïîëåì, òî êîììóòàòîð ôîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåéñíîâà ÿâëÿåòñÿ ôîðìàëüíûì âåêòîðíûì ïîëåì.[u, v]i = ujÎïðåäåëåíèå 5. Ôîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì D íà Kn íàçûâàåòñÿëèíåéíàÿ îáîëî÷êà íàä K[[x1 , .
. . , xn ]] íàáîðà ôîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé:D = span {v1 , . . . , vk }.Ðàíã ôîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ýòî ðàíã (âû÷èñëÿåìûé íàäK[[x1 , . . . , xn ]]) ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîé èç êîìïîíåíò ôîðìàëüíûõâåêòîðíûõ ïîëåé, ïîðîæäàþùèõ ðàñïðåäåëåíèå:v11 (x) . . . v1n (x).. .rank D = rank Ξ(x), Ξ(x) = ....1nvk (x) . . . vk (x)Ïî îïðåäåëåíèþ, óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà ðàíãà ðàñïðåäåëåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî ðàíã ôîðìàëüíîé ìàòðèöû Ξ(x) íàä êîëüöîì ôîðìàëüíûõðÿäîâ ðàâåí ðàíãó ÷èñëîâîé ìàòðèöû Ξ(0), ïîëó÷åííîé çàíóëåíèåì âñåõ ïåðåìåííûõ.
 ôîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè D ïîñòîÿííîãîðàíãà r âñåãäà ìîæíî âûáðàòü áàçèñ, ò.å. ñóùåñòâóþò ôîðìàëüíûåâåêòîðíûå ïîëÿ u1 , . . . , ur òàêèå, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò èç D åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè u1 , . . . , urñ êîýôôèöèåíòàìè èç K[[x1 , . . . , xn ]].Îïðåäåëåíèå 6. Ôîðìàëüíûì èíòåãðàëîì ôîðìàëüíîãî ðàñïðå-äåëåíèÿ D = span {v1 , . . . , vk } íàçûâàåòñÿ ôîðìàëüíûé ðÿä F ∈K[[x1 , . . .
, xn ]], ïðîèçâîäíûå êîòîðîãî âäîëü âñåõ ôîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé, îïðåäåëÿþùèõ ðàñïðåäåëåíèå D, ðàâíû íóëþ:X∂F= 0, äëÿ âñåõ α = 1, . . . , k.(1.5)∂xiÎïðåäåëåíèå 7. Ôîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå D íà Kn ïîñòîÿííîãî ðàíãà k íàçûâàåòñÿ ôîðìàëüíî èíòåãðèðóåìûì, åñëè ñóùåñòâóåò(n − k) ôîðìàëüíûõ èíòåãðàëîâ D, äèôôåðåíöèàëû êîòîðûõ ëèíåéíî íåçàâèñèìû â íóëå.vα (F ) :=vαi28Òåîðåìà 7 (Ôîðìàëüíàÿ òåîðåìà Ôðîáåíèóñà). Ôîðìàëüíîå ðàñïðå-äåëåíèå D = span {v1 , . .
. , vk } íà Kn ïîñòîÿííîãî ðàíãà k ôîðìàëüíî èíòåãðèðóåìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå êîììóòàòîðû[vi , vj ] ëèíåéíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç v1 , . . . , vk c êîýôôèöèåíòàìè èçK[[x1 , . . . , xn ]] (ò.å. ðàñïðåäåëåíèå D çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî êîììóòàòîðà).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ôîðìàëüíîé òåîðåìû Ôðîáåíèóñà äî ïîñëåäíåãî øàãà ñîâïàäàåò ñ ãëàäêèì ñëó÷àåì.Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâînâ K , ïîðîæäåííîå ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè âåêòîðàìè v1 (0), . .
. , vk (0),ñîâïàäàåò ñ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ïåðâûõ k âåêòîðîâ ñòàíäàðòíîãîáàçèñà â Kn . Òàê êàê rank D = k , òî ôîðìàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿv1 (x), . . . , vk (x) îáðàçóþò áàçèñ ðàñïðåäåëåíèÿ D. Ïåðåéäåì ê áîëååóäîáíîìó áàçèñó. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì k × k ìàòðèöó A, îáðàçîâàííóþ ïåðâûìè k ñòðîêàìè è ñòîëáöàìè ìàòðèöû 1v1 . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
