Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков (1105116), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. v1k v1k+1 . . . v1n.... .Ξ = ... . . . .....k+11kvk . . . v k vk. . . vknÒàê êàê det A(0) 6= 0, òî îáðàòíàÿ ìàòðèöà A−1 õîðîøî îïðåäåëåíà. Ïîýòîìó ïåðåõîä Ξ → Ξ0 = A−1 Ξ ýêâèâàëåíòåí çàìåíå áàçèñà:íîâûå áàçèñíûå ôîðìàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ v10 (x), . . . , vk0 (x) ÿâëÿþòñÿ ñòðîêàìè ìàòðèöû1 . . . 0 (v 0 )k+1. . . (v 0 )n11.... .Ξ0 = ...
. . . .....k+10 . . . 1 (v 0 )k. . . (v 0 )nkßñíî, ÷òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû ìîæíî èñïîëüçîâàòü âåêòîðíûå ïîëÿ v10 (x), . . . , vk0 (x) âìåñòî v1 (x), . . . , vk (x).Ôîðìàëüíûå êîììóòàòîðû [vi0 , vj0 ] ëèíåéíî çàâèñèò îò v10 , . . . , vk0òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôîðìàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ v10 , . .
. , vk0ïîïàðíî êîììóòèðóþò. Äåéñòâèòåëüíî, ïåðâûå k êîìïîíåíò êîììóòàòîðà [vi0 , vj0 ] âñåãäà íóëåâûå. Ïîýòîìó [vi0 , vj0 ] ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ÷åðåç v10 , . . . , vk0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà [vi0 , vj0 ] åñòü òîæäåñòâåííûé íóëü.Çàìåòèì òàêæå, ÷òî íåòðèâèàëüíûå (ò.å. ñ íîìåðàìè ≥ k + 1)êîìïîíåíòû ôîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé v10 , . . . , vk0 íå èìåþò ïîñòîÿííûõ ÷ëåíîâ, òàê êàê ïî íàøåìó ñîãëàøåíèþ âåêòîðà v10 (0), . . . ,29vk0 (0) ïîðîæäàþò ïîäïðîñòðàíñòâî Kn íàòÿíóòîå íà ïåðâûå k âåêòîðîâ ñòàíäàðòíîãî áàçèñà.Òåïåðü ìû, äëÿ óäîáñòâà, íåìíîãî èçìåíèì îáîçíà÷åíèÿ:1. Ïåðåìåííûå x1 , . .
. , xk , xk+1 , . . . , xn áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ ÷åðåçx1 , . . . , xk , y 1 , . . . , y n−k .2. Ëàòèíñêèå èíäåêñû áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ïåðåìåííûõ x,à ãðå÷åñêèå äëÿ ïåðåìåííûõ y .3. Íåòðèâèàëüíûå êîìïîíåíòû (v 0 )k+1, . . . , (v 0 )ni ôîðìàëüíîãî âåêiòîðíîãî ïîëÿ vi0 áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ ÷åðåç u1i , . . . , un−k(âåðõíèåièíäåêñû áóäóò ãðå÷åñêèìè). Òàêèì îáðàçîì,1 . . . 0 u11 .
. . un−k1.. ....0.....Ξ = .. . ..n−k10 . . . 1 uk . . . ukÒîò ôàêò, ÷òî ôîðìàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ vi0 è vj0 êîììóòèðóþòçàïèñûâàåòñÿ â êîîðäèíàòàõ (ñ ó÷åòîì íîâûõ îáîçíà÷åíèé) ñëåäóþùèì îáðàçîì:(∂xj uαi + uγj ∂yγ uαi ) − (∂xi uαj + uγi ∂yγ uαj ) = 0,α = 1, . . . , n − k. (1.6)Òàêèì îáðàçîì, íàøà öåëü äîêàçàòü, ÷òî èíòåãðèðóåìîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ D = span {v10 , . .
. , vk0 } ýêâèâàëåíòíà óñëîâèþ (1.6).Ôîðìàëüíûé ðÿä F ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ðàñïðåäåëåíèÿ D òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäàΞ0 dF = 0.Àíàëèç ýòîãî ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ â íóëå ïîêàçûâàåò, ÷òî áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìû ìîæåì èñêàòü ôîðìàëüíûå èíòåãðàëû â ñëåäóþùåì âèäå:F = y β + G(x, y),ãäå G(0, y) = 0.ßñíî, ÷òî ïîëó÷åííûå òàêèì îáðàçîì (n − k) ôîðìàëüíûõ èíòåãðàëîâ áóäóò àâòîìàòè÷åñêè èìåòü íåçàâèñèìûå â íóëå äèôôåðåíöèàëû, ÷òî áóäåò îçíà÷àòü èíòåãðèðóåìîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ôîðìàëüíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íà G â êîîðäèíàòàõ èìååò ñëåäóþùèé âèä:∂xi G + uαi ∂yα G + uβi = 0,30i = 1, . . . , k.(1.7)Ñ äèôôåðåíöèàëüíî ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ (1.7) ýòî ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, êîòîðàÿ,ïðè âûïîëíåíèè íåêîòîðûõ óñëîâèé ñîâìåñòíîñòè (êîòîðûå êàê ðàçýêâèâàëåíòíû òîìó, ÷òî âåêòîðíûå ïîëÿ, îïðåäåëÿþùåå ðàñïðåäåëåíèå, êîììóòèðóþò), ìîæåò áûòü ðåøåíà ìåòîäîì õàðàêòåðèñòèê.Îäíàêî, â íàøåì ôîðìàëüíîì ñëó÷àå ìû, êîíå÷íî, íå ìîæåì èñïîëüçîâàòü ýòè ñîîáðàæåíèÿ. Íà ñàìîì äåëå, ôîðìàëüíûé ñëó÷àéîêàçûâàåòñÿ äàæå ïðîùå ãëàäêîãî: ïîñëå íåêîòîðîé ïîäãîòîâèòåëüíîé ðàáîòû, óðàâíåíèÿ (1.7) çàïèñûâàþòñÿ â âèäå áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ áëî÷íî-òðåóãîëüíîé ìàòðèöåé, êîòîðàÿìîæåò áûòü ëåãêî ðåøåíà ïðè ïîìîùè ðåêóðñèè.Ñ ýòîãî ìîìåíòà ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òîëüêî ëèíåéíóþ àëãåáðó.Äëÿ ïðîñòðàíñòâà ôîðìàëüíûõ ðÿäîâ, ÷åðåç F (m) ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ñòàíäàðòíóþ ïðîåêöèþ ðÿäà F íà ïîäïðîñòðàíñòâî ïîëèíîìîâ ñòåïåíè ≤ m.
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòà ñòàíäàðòíàÿ ïðîåêöèÿîáëàäàåò ñëåäóþùèìè ïðîñòûìè ñâîéñòâàìè:(a) (F (m+r) )(m) = F (m) , äëÿ r ≥ 0;(b) ∂xi F (m) = (∂xi F )(m−1) ;(c) (uαi F )(m) = (uαi F (m−1) )(m) (òàê êàê uαi íà÷èíàåòñÿ ñ ëèíåéíûõ÷ëåíîâ);(d) (uαi ∂xj F )(m) = (uαi ∂xj F (m) )(m) (ïî òîé æå ïðè÷èíå).Ñ ó÷åòîì ýòèõ ñâîéñòâ íå òðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà (1.7), ïîñëåïðèìåíåíèÿ îïåðàòîðà ïðîåöèðîâàíèÿ, èìååò ñëåäóþùèé âèä:èëè∂xi G(m) = −(uαi (∂yα G + δαβ ))(m−1) ,(1.8)∂xi G(m) = −(uαi (∂yα G(m−1) + δαβ ))(m−1) ,(1.9)èëè, ÷òî òîæå ñàìîå,∂xi G(m) = −(uαi (∂yα G(m) + δαβ ))(m−1) .(1.10)Óðàâíåíèå (1.9) ïîêàçûâàåò, ÷òî ñèñòåìà (1.7) èìååò î÷åíü ïðîñòóþñòðóêòóðó: åñëè ìû ðåøàåì åå ïîñëåäîâàòåëüíî (ò.å.
ñíà÷àëà äëÿ31m = 1, ïîòîì äëÿ m = 2, çàòåì 3, 4 è òàê äàëåå), òî íà êàæäîìñëåäóþùåì øàãå íàøà ñèñòåìà çàïèñûâàåòñÿ òàê:∂xi G(m) = Pi (x, y),ãäå ïîëèíîì Pi (x, y) óæå èçâåñòåí èç ïðåäûäóùåãî øàãà.Ëåììà 2. Ïóñòü íàì äàíà ñèñòåìà óðàâíåíèé ∂xi f (x, y) = Pi (x, y),i = 1, . . . , k , ãäå Pi (x, y) èçâåñòíûå ïîëèíîìû è f (x, y) óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ f (0, y) = 0. Òîãäà1. Ðåøåíèå ñèñòåìû ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàâûïîëíåíû óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè ∂xj Pi (x, y) = ∂xi Pj (x, y);2.
Åñëè ðåøåíèå ñóùåñòâóåò, òî îíî åäèíñòâåííî.Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå èìååò ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêóþ ïðèðîäó è ïîýòîìó íå çàâèñèò îò ïîëÿ K. Äëÿ K = R Ëåììà 2 õîðîøîèçâåñòíà, ñëåäîâàòåëüíî, îíà âåðíà è äëÿ ëþáîãî ïîëÿ íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè.Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî åñëè G(m) ðåøåíèå ñèñòåìû (1.9), òî íà÷àëüíûé îòðåçîê ñòåïåíè m − 1 ýòîãî ïîëèíîìà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìñèñòåìû (1.9) íà ïðåäûäóùåì øàãå (ñëåäñòâèå ëåììû 2).Âûïîëíåíèå óñëîâèé ñîâìåñòíîñòè äëÿ ñèñòåìû (1.9) ýêâèâàëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ è åäèíñòâåííîñòè G(m) äëÿ êàæäîãî m, ò.å. ñóùåñòâîâàíèþ è åäèíñòâåííîñòè G êàê ôîðìàëüíîãî ðÿäà. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû, íàì íóæíî òîëüêî ïðîâåðèòü,÷òî óñëîâèå êîììóòàòèâíîñòè ôîðìàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé (1.6)âûïîëíåíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñèñòåìà (1.9) óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèÿì ñîâìåñòíîñòè³∂xjuαi (∂yα G(m−1)+´(m−1)δαβ )³= ∂xiuαj (∂yα G(m−1)+´(m−1)δαβ ).Çäåñü ìû ðàññìàòðèâàåì ïîëèíîì G(m−1) êàê èçâåñòíóþ ôóíêöèþ,êîòîðàÿ, êðîìå òîãî, óäîâëåòâîðÿåò (1.9) ãäå m çàìåíåíî íà m − 1.
Âïîñëåäóþùèõ âû÷èñëåíèÿõ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñâîéñòâà (a)(d)è (1.9) â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå (1.10). Èìååì:32³³ ³ ³´´´(m−2)α(m−1)β+ δα∂xj+= ∂xj ui ∂yα G³´(m−2)α(m−1)βα(m−1)= ∂xj ui (∂yα G+ δα ) + ui ∂xj ∂yα G³³´´(m−2)α(m−1)βα(m−1)= ∂xj ui ∂yα G+ δα + ui ∂yα ∂xj G³³´´(m−2)γα(m−1)βα(m−1)β (m−2)ααγj= ∂x ui ∂y G+ δα − ui ∂y (uj (∂y G+ δγ ))³³´´(m−2)γα(m−1)βα(m−1)β= ∂xj ui ∂yα G+ δα − ui ∂yα (uj (∂yγ G+ δγ ))³³´´(m−2)γα(m−1)βα(m−1)βα γ(m−1)= ∂xj ui ∂yα G+ δα − ui ∂yα uj (∂yγ G+ δγ ) − ui uj ∂yα ∂yγ G³³´´(m−2)γγ αα(m−1)βα(m−1)β(m−1)αγαγαj= ∂x ui ∂y G+ δα − ui ∂y uj (∂y G+ δα ) − ui uj ∂y ∂y G´(m−2)³´³γ αγ(m−1)(m−1)βαα.+ δα − ui uj ∂yγ ∂yα G= (∂xj ui − ui ∂yγ uj ) ∂yα Guαi (∂yα G(m−1)´(m−1)δαβ )Ìû õîòèì, ÷òîáû ýòî âûðàæåíèå áûëî ñèììåòðè÷íûì ïî i è j .Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå, î÷åâèäíî, ñèììåòðè÷íî.
Ïîýòîìó äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèé ñîâìåñòíîñòè íåîáõîäèìî äîñòàòî÷íî ÷òîáû∂xj uαi − uγi ∂yγ uαj = ∂xi uαj − uγj ∂yγ uαi .Íî ýòî óñëîâèå â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ (1.6) è ïðîñòî îçíà÷àåò, ÷òîôîðìàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ vi0 è vj0 êîììóòèðóþò. Ýòî çàâåðøàåòäîêàçàòåëüñòâî ôîðìàëüíîé òåîðåìû Ôðîáåíèóñà.Çàìå÷àíèå 3. Ïðèâåäåííîå äîêàçàòåëüñòâî ôîðìàëüíîé òåîðåìû Ôðîáåíèóñà ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíûì: îíî ïðåäúÿâëÿåò àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ôîðìàëüíûõ èíòåãðàëîâ ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûé ïðèâîäèò ê óñïåõó ïðè âûïîëíåíèè íåêîòîðûõ óñëîâèé ñîâìåñòíîñòè (ò.å.êîãäà ôîðìàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ, îïðåäåëÿþùèå ðàñïðåäåëåíèå,êîììóòèðóþò).331.5.2Ôîðìàëüíûå èíâàðèàíòû ïðåäñòàâëåíèéÏóñòü R : G → GL(V ) ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû Ëè G â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V . Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòîì ïðåäñòàâëåíèÿ R, åñëè îíà ïîñòîÿííà íà îðáèòàõýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, ò.å.
f (R(g)x) = f (x) äëÿ âñåõ g ∈ G, x ∈ V .Ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû Ëè G èíäóöèðóåò ïðåäñòàâëåíèå åå àëãåáðûËè g, de R = ρ : g → gl(V ). Ïóñòü ρ(ξi )ej = akij ek , ãäå {ei } áàçèñ V ,a {ξi } áàçèñ g. Ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ïðåäñòàâëåíèÿR òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàakij xj∂f= 0,∂xki = 1, . . . , dim g.(1.11)Çàìå÷àíèå 4. Åñëè R = Ad∗ êîïðèñîåäèíåííîå ïðåäñòàâëåíèå,jòî ρ = ad∗ è akij = −cik , ãäå ckij ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû àëãåáðûËè g îòíîñèòåëüíî áàçèñà {ξi }, ò.å.
[ξi , ξj ] = ckij ξk .  ýòîì ñëó÷àåñèñòåìà óðàâíåíèé (1.11) ñîâïàäàåò ñ ñèñòåìîé (1.1), îïðåäåëÿþùåéèíâàðèàíòû êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.Ñèñòåìó óðàâíåíèé (1.11) ìîæíî ïåðåïèñàòü â èíâàðèàíòíîì âèäå:hdx f, ρ(ξ)xi = 0, äëÿ âñåõ ξ ∈ g.Ýòî ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó åñòåñòâåííîìó îïðåäåëåíèþ.Ïóñòü g àëãåáðà Ëè íàä ïîëåì K íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè èρ : g → gl(V ) åå ëþáîå êîíå÷íîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå â ëèíåéíîìïðîñòðàíñòâå V , dim g = m, dim V = n.Îïðåäåëåíèå 8. Ôîðìàëüíûé ðÿä F ∈ K[[x1 , .
. . , xn ]] íàçûâàåòñÿôîðìàëüíûì èíâàðèàíòîì ïðåäñòàâëåíèÿ ρ â òî÷êå a ∈ V , åñëè äëÿâñåõ ξ ∈ g âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ôîðìàëüíîå òîæäåñòâî:hdx F, ρ(ξ)(a + x)i = 0.(1.12)Çàìå÷àíèå 5. Ïóñòü F (x) = f0 +f1 (x)+f2 (x)+. . . , ãäå fi ∈ K[x1 , . . . , xn ]îäíîðîäíûé ïîëèíîì ñòåïåíè i. Òîãäà ëåâóþ ÷àñòü (1.12) ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:hdx F, ρ(ξ)(a + x)i = h∞Xdx fi , ρ(ξ)a + ρ(ξ)xii=1=∞X(hdx fi , ρ(ξ)ai + hdx fi−1 , ρ(ξ)xi) .i=134Âûðàæåíèå ïîä çíàêîì ñóììû åñòü îäíîðîäíûé ïîëèíîì ñòåïåíèi − 1. Ïîýòîìó ëåâàÿ ÷àñòü (1.12) ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííûì ôîðìàëüíûì ðÿäîì ïî ïåðåìåííûì x1 , . . . , xn è, ñëåäîâàòåëüíî,(1.12) êîððåêòíî îïðåäåëåííîå ôîðìàëüíîå òîæäåñòâî.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè F ôîðìàëüíûé èíâàðèàíò, òî åãîäèôôåðåíöèàë â íóëå df1 ∈ V ∗ âñåãäà îðòîãîíàëåí ïîäïðîñòðàíñòâóVa = {ρ(ξ)a | ξ ∈ g}, ò.å. äëÿ âñåõ ξ ∈ ghdf1 , ρ(ξ)ai = 0.Íàïîìíèì, ÷òî ýëåìåíò a ∈ V íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì, åñëè åãîñòàöèîíàðíàÿ ïîäàëãåáðà St(a) = {ξ ∈ g | ρ(ξ)a = 0} èìååò ìèíèìàëüíóþ ðàçìåðíîñòü.
Ìíîæåñòâî ðåãóëÿðíûõ ýëåìåíòîâ îòêðûòî èâñþäó ïëîòíî â V .Çàìå÷àíèå 6. Âñþäó äàëåå, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, âñå òîïîëîãè÷åñêèå ïîíÿòèÿ òèïà îòêðûòîñòè (çàìêíóòîñòè) ìíîæåñòâà èëèíåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ ïîíèìàþòñÿ â ñìûñëå òîïîëîãèè Çàðèñêîãî. Íàïîìíèì, ÷òî â ýòîé òîïîëîãèè âûðàæåíèå äëÿ ïî÷òè âñåõx îçíà÷àåò, ÷òî x ïðèíàäëåæèò äîïîëíåíèþ ê àëãåáðàè÷åñêîìó ìíîãîîáðàçèþ ïîëîæèòåëüíîé êîðàçìåðíîñòè.Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ôîðìàëüíîé òåîðåìû Ôðîáåíèóñà.Òåîðåìà 8.
Äëÿ ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ρ : g → gl(V ) è ëþáîãîðåãóëÿðíîãî ýëåìåíòà a ∈ V ñóùåñòâóåò íàáîð {F (1) , . . . , F (s) } èçs = dim V − dim g + dim St(a) ôîðìàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ïðåäñòàâëåíèÿ ρ â òî÷êå a, äèôôåðåíöèàëû êîòîðûõ â íóëå ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Ñëåäñòâèå 1. Äèôôåðåíöèàëû ôîðìàëüíûõ èíâàðèàíòîâ â íóëåîáðàçóþò áàçèñ â îðòîãîíàëüíîì äîïîëíåíèè ê ïîäïðîñòðàíñòâóVa = {ρ(ξ)a | ξ ∈ g}.(1)(s)Äåéñòâèòåëüíî, df1 , . . . , df1òåëüíî,ëèíåéíî íåçàâèñèìû è, ñëåäîâà-(1)(s)dim span {df1 , . . . , df1 } = s.(j)Êðîìå òîãî, df1 ∈ Va⊥ äëÿ âñåõ j = 1, . . . , s, ïîýòîìó(1)(s)span {df1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
