Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков (1105116), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè f1 , . . . , fn ∈Z(g) àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìû, òî n ≤ ind g. Ïîýòîìó ìû äîëæíûïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ìåíüøåå, âîîáùå ãîâîðÿ, ìíîæåñòâî Z(g) ñîâïàäàëî ñî ìíîæåñòâîì âñåõ èíâàðèàíòîâ â ñìûñëå ôóíêöèîíàëüíîéçàâèñèìîñòè. Ýòî òðåáîâàíèå ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ñòåïåíü òðàíñöåíäåíòíîñòè (ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîâ) öåíòðà ïóàññîíîâîé àëãåáðû ñîâïàäàëà ñ èíäåêñîì àëãåáðûËè, trdeg Z(g) = ind g. Êàê áûëî óêàçàíî â [45], ñëåäóÿ äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 3 â [6], ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 4.
Ïóñòü g êîíå÷íîìåðíàÿ àëãåáðà Ëè íàä ïîëåì Kõàðàêòåðèñòèêè íóëü, trdeg Z(g) = ind g è a ∈ g∗reg . Êîììóòàòèâíûé íàáîð ïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ öåíòðàëüíûõ ôóíêöèéFa (Z(g)) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàcodim(gK̄ )∗sing ≥ 2.Çäåñü gK̄ = g ⊗K K̄ îáîçíà÷àåò àëãåáðó Ëè íàä àëãåáðàè÷åñêèìçàìûêàíèåì K̄ îñíîâíîãî ïîëÿ (àíàëîã êîìïëåêñèôèêàöèè äëÿ âåùåñòâåííîãî ñëó÷àÿ). Íàïîìíèì, ñëåäóÿ [15], êàê ñòðîèòñÿ àëãåáðàËè gK̄ .19Ïóñòü V êîíå÷íîìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì K.e êàêîå-íèáóäü ðàñøèðåíèå ïîëÿ K, òî ÷åðåç V Ke ìû áóäåìÅñëè Ke , ïîëó÷åííîå èç ïðîñòðàíîáîçíà÷àòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä Kee .
Ïóñòü òåïåðüñòâà V ðàñøèðåíèåì îñíîâíîãî ïîëÿ: V K = V ⊗K Kg àëãåáðà Ëè íàä ïîëåì K è K̄ àëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå ïîëÿK. Ðàñøèðÿÿ K äî K̄, ìû ïîëó÷èì âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî gK̄ íàäK̄. Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ [·, ·]K : g × g → g ïîðîæäàåò ëèíåéíûåîòîáðàæåíèÿ g ⊗ g → g è gK̄ ⊗ gK̄ → gK̄ , à òåì ñàìûì áèëèíåéíîåîòîáðàæåíèå óìíîæåíèÿ [·, ·]K̄ : gK̄ × gK̄ → gK̄ . Ôàêòè÷åñêè, åñëè{X1 , . . . , Xn } áàçèñ g íàä K, òîhXαi Xi ,Xiβj X jK̄=Xαi βj [Xi , Xj ]K ,äëÿ âñåõ αi , βj ∈ K̄. Îïðåäåëåííûé òàêèì îáðàçîì êîììóòàòîð íàgK̄ ïðåâðàùàåò gK̄ â àëãåáðó Ëè íàä K̄. ðàáîòå [45] áûëî ïîëó÷åíî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîäàëãåáðà Ìèùåíêî-Ôîìåíêî K[Fa (Z(g))] ⊂ P (g) áûëà ìàêñèìàëüíîé (â òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîì ñìûñëå) êîììóòàòèâíîé ïóàññîíîâîé ïîäàëãåáðîé.
 ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî K ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì, ýòî óñëîâèå âûãëÿäèò òàê: codimg∗sing ≥ 3(îíî âûïîëíåíî, íàïðèìåð, äëÿ ðåäóêòèâíûõ àëãåáð).  ñâÿçè ñ ýòèìèíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n ∈ N ñóùåñòâóåòíåêîììóòàòèâíàÿ àëãåáðà Ëè g òàêàÿ, ÷òî codimg∗sing ≥ n. Ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð, ïðèíàäëåæàùèé Ý. Á. Âèíáåðãó, ìîæíî íàéòè â[45].Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî óñëîâèå trdeg Z(g) = ind g ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì òðåáîâàíèåì â Òåîðåìå 4. Ýòî ëåãêî óâèäåòü íà ïðèìåðåàëãåáð Ëè ìàëûõ ðàçìåðíîñòåé.Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì ðàçðåøèìóþ àëãåáðó Ëè r3 (K) ñ îáðàçóþùèìè {X1 , X2 , X3 } è êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè[X1 , X2 ] = X2 ,[X1 , X3 ] = X3 ,[X2 , X3 ] = 0.Èíäåêñ ind r3 = 1, è ìíîæåñòâî ñèíãóëÿðíûõ ýëåìåíòîâ ÿâëÿåòñÿïðÿìîé {x2 = x3 = 0}, ò.å.
èìååò êîðàçìåðíîñòü 2. Îäíàêî, ëåãêîïîêàçàòü, ÷òî òî öåíòð Z(r3 ) òðèâèàëåí, ò.å. àëãåáðà Ëè r3 íå èìååòïîëèíîìèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ (õîòÿ è èìååò ðàöèîíàëüíûé x3 /x2 ).20Ââèäó âàæíîé ðîëè öåëûõ (ïîëèíîìèàëüíûõ) èíâàðèàíòîâ â òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé è â ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ, èíòåðåñíûì âîïðîñîì ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå âñåõ êëàññîâ àëãåáð Ëè, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî ðàâåíñòâî trdeg Z(g) = ind g, ò.å. àëãåáð Ëè, èíâàðèàíòûêîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ïîëèíîìîâ. Èçâåñòíî, ÷òî ýòî âåðíîäëÿ íèëüïîòåíòíûõ [17] è ñîâåðøåííûõ àëãåáð Ëè [32].
Íàïîìíèì,÷òî àëãåáðà Ëè íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííîé, åñëè îíà ñîâïàäàåò ñî ñâîèì êîììóòàíòîì g = [g, g].  ÷àñòíîñòè, ïîëóïðîñòûå àëãåáðû Ëèÿâëÿþòñÿ ñîâåðøåííûìè. Îäíàêî, ìíîãèå äðóãèå àëãåáðû Ëè, íàïðèìåð ðàçðåøèìûå, ìîãóò íå èìåòü ïîëèíîìèàëüíûõ èíâàðèàíòîâèëè èìåòü èõ â íåäîñòàòî÷íîì êîëè÷åñòâå.1.4 Êðèòåðèé ïîëíîòû:àëãåáðàè÷åñêèé ñëó÷àéÑëåäóþùèì øàãîì â îáîáùåíèè êðèòåðèÿ ïîëíîòû ÿâëÿåòñÿ îòêàçîò óñëîâèÿ trdeg Z(g) = ind g. Îòêàçàòüñÿ îò ýòîãî óñëîâèÿ ìîæíîòîëüêî ïóòåì ðàñøèðåíèÿ ñåìåéñòâà ôóíêöèé, èç êîòîðûõ ìû áóäåìïîëó÷àòü ïîëèíîìèàëüíûå a-ñäâèãè.
Òåïåðü âìåñòî çàìåíû (1.3), ãäåìû îãðàíè÷èëèñü ïîëèíîìèàëüíûìè èíâàðèàíòàìè, ìû ðàññìîòðèìïîëå ðàöèîíàëüíûõ èíâàðèàíòîâ:I(g) à K(g∗ )G .(1.4)Àëãåáðà Ëè g íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé àëãåáðîé ê íåêîòîðîé àëãåáðàè÷åñêîé ãðóïïå G. Õîðîøîèçâåñòíî, ÷òî åñëè g àëãåáðàè÷åñêàÿ àëãåáðà Ëè íàä ïîëåì K íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè, òî ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîâ â K(g∗ )G ñîâïàäàåò ñ èíäåêñîì àëãåáðû [37], ò.å.trdeg K(g∗ )G = ind g. Ýòîò ôàêò ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñëåäñòâèåì òåîðåìû (äîêàçàííîé âïåðâûå, ïî-âèäèìîìó, Ðîçåíëèõòîì [50]) î òîì, ÷òîäëÿ ëþáîãî äåéñòâèÿ àëãåáðàè÷åñêîé ãðóïïû íà íåïðèâîäèìîì ìíîãîîáðàçèè ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ èíâàðèàíòîâ, ðàçäåëÿþùèõ îðáèòû îáùåãî ïîëîæåíèÿ [12]. Òàêèì îáðàçîì,èíâàðèàíòû àëãåáðàè÷åñêèõ àëãåáð Ëè ôóíêöèîíàëüíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàöèîíàëüíûå èíâàðèàíòû è â ýòîì ñëó÷àå ñèòóàöèè êîãäàôóíêöèé èç ïîëÿ K(g∗ )G ìîæåò çàâåäîìî íå õâàòèòü (êàê ýòî âîçìîæíî ñ Z(g)), áûòü íå ìîæåò.21Õîðîøî èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [11]), ÷òî ó êàæäîé àëãåáðûËè g ñóùåñòâóåò åå àëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå, ò.å.
íàèìåíüøàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ àëãåáðà Ëè ga , ñîäåðæàùàÿ g. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïààññîöèèðîâàííàÿ ñ ga ýòî çàìûêàíèå (â òîïîëîãèè Çàðèññêîãî)ñâÿçíîé ãðóïïû Ëè, àññîöèèðîâàííîé ñ g. Êîììóòàíòû àëãåáð g èga ñîâïàäàþò, ò.å. [ga , ga ] = [g, g]. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå àëãåáðàè÷íîñòè g íå î÷åíü îãðàíè÷èòåëüíî, è óæ òî÷íî ìåíåå æåñòêîå÷åì óñëîâèå trdeg Z(g) = ind g, êîòîðîå, â àëãåáðàè÷åñêîì ñëó÷àå,âûïîëíÿåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà K(g∗ )G = QK[g∗ ]G , ò.å. êîãäà êàæäûé ðàöèîíàëüíûé èíâàðèàíò ïðåäñòàâèì â âèäå îòíîøåíèÿäâóõ öåëûõ [12].1.4.1Ñäâèãè ðàöèîíàëüíûõ èíâàðèàíòîâÄëÿ ïîñòðîåíèÿ a-ñäâèãîâ ðàöèîíàëüíûõ èíâàðèàíòîâ íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì K íàì ïîòðåáóåòñÿ íåêîòîðûé àëãåáðî-ãåîìåòðè÷åñêèéôîðìàëèçì, êîòîðûé ïîçâîëÿåò êàæäîé ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè è ååðåãóëÿðíîé òî÷êå ñîïîñòàâèòü åäèíñòâåííûì îáðàçîì ôîðìàëüíûéðÿä Òåéëîðà è, áîëåå òîãî, êàæäàÿ ôóíêöèÿ áóäåò îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàòüñÿ ïî åå ðÿäó.
Íàïîìíèì ñîîòâåòñòâóþùóþ êîíñòðóêöèþ, ñëåäóÿ [31].Ïóñòü X = An àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî2 íàä ïîëåì K è a ∈ X .Ïðîñòåéøèì ëîêàëüíûì èíâàðèàíòîì òî÷êè a ÿâëÿåòñÿ åå ëîêàëüíîå êîëüöî Oa , êîòîðîå ñîñòîèò èç âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íàX , ðåãóëÿðíûõ â òî÷êå a:Oa = {f /g | f, g ∈ K[X], g(a) 6= 0} ⊂ K(X).Îáîçíà÷èì ÷åðåç ma ìàêñèìàëüíûé èäåàë ëîêàëüíîãî êîëüöà Oa :ma = {f ∈ K[X] | f (a) = 0}.Îïðåäåëåíèå 3. Ôóíêöèè u1 , . . . , un ∈ Oa íàçûâàþòñÿ ëîêàëüíû-ìè ïàðàìåòðàìè â òî÷êå a åñëè ui ∈ ma è îáðàçû u1 , . .
. , un ïðèåñòåñòâåííîé ïðîåêöèè ma → ma /m2a îáðàçóþò áàçèñ â ôàêòîð ïðîñòðàíñòâå ma /m2a .2 Êîíñòðóêöèÿðàáîòàåò è äëÿ ëþáûõ àôôèííûõ ìíîãîîáðàçèé X ⊂ An , íî òàê êàê ìûáóäåì ïðèìåíÿòü åå ê êîàëãåáðå g∗ , òî ýòà îáùíîñòü íàì íå ïîòðåáóåòñÿ, à ðàññìîòðåíèåàôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà äåëàåò èçëîæåíèå ïðîùå.22Èäåÿ ñîïîñòàâëåíèÿ ôîðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ ýëåìåíòàìëîêàëüíîãî êîëüöà Oa îñíîâàíà íà ñëåäóþùåì ðàññóæäåíèè. Äëÿëþáîé ôóíêöèè f ∈ Oa ïîëîæèì f (a) = α0 , òîãäàf1 = f − α0 ∈ ma .Ïóñòü u1 , . . . , un ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé ëîêàëüíûõ ïàðàìåòðîâ â òî÷êå a. Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ, u1 , . . . , un ïîðîæäàþò âñå âåêòîðíîåïðîñòðàíñòâîma /m2a , ò.å.
ñóùåñòâóþò α1 , . . . , αn ∈ K òàêèå, ÷òîPnf1 − i=1 αi ui ∈ m2a . Ïîëîæèìf2 = f1 −nXαi ui = f − α0 −i=1nXαi ui ∈ m2a .i=1Òàê êàê ôóíêöèÿ Pf2 ∈ m2a , òî ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü åå â ñëåäóþùåì âèäå: f2 =gi hi , ãäåè âûøå,Pngi , hi ∈ ma . ÊàêPn ñóùåñòâóþò2βij , γij ∈ K òàêèå, ÷òî gi − j=1 βij uj ∈ ma è hi − j=1 γij uj ∈ m2a .P PnPnPnÏîëîæèì òåïåðü i ( j=1 βij uj )( j=1 γij uj ) = i,j=1 αij ui uj , òîãäàPf2 − ni,j=1 αij ui uj ∈ m3a è ñëåäîâàòåëüíîf3 = f − α0 −nXnXαi ui −i=1αij ui uj ∈ m3a .i,j=1Ïðîäîëæàÿ ýòó êîíñòðóêöèþ, ìû, î÷åâèäíî, ìîæåì íàéòè îäíîðîäíûå ïîëèíîìû Fi ∈ K[t1 , .
. . , tn ] ñòåïåíè deg Fi = i òàêèå, ÷òîf−kXFi (u1 , . . . , un ) ∈ mk+1a .i=0Îïðåäåëåíèå 4. Ôîðìàëüíûé ñòåïåííîé ðÿä Φ = F0 +F1 +F2 +. . . ,ãäå Fi ∈ K[t1 , . . . , tn ] îäíîðîäíûé ïîëèíîì ñòåïåíè deg Fi = i,íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöèè f ∈ Oa , åñëè äëÿ ëþáîãî k ≥ 0âûïîëíåíîf − Sk (u1 , . . . , un ) ∈mk+1a ,ãäå Sk =kXFi .i=0Ïðèâåäåííîå âûøå ðàññóæäåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî êàæäàÿ ôóíêöèÿ f ∈ Oa èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ðÿä Òåéëîðà. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ ôóíêöèÿ èìååò íà ñàìîì äåëå åäèíñòâåííûé23ðÿä Òåéëîðà, è, áîëåå òîãî, ïîëó÷åííîå îòîáðàæåíèå τ : Oa →K[[t1 , .
. . , tn ]] ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôíûì âêëþ÷åíèåì ëîêàëüíîãî êîëüöà Oa â êîëüöî ôîðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ K[[t1 , . . . , tn ]]. ÅñëèK = R èëè C, òî ôîðìàëüíûé ðÿä Òåéëîðà ñõîäèòñÿ ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ t1 , . . . , tn . Äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ óòâåðæäåíèé ìîæíî íàéòè â[31].Çàìå÷àíèå 2. Ñîîòâåòñòâèå f 7→ Φ ñóùåñòâåííûì îáðàçîì çàâèñèòîò âûáîðà ñèñòåìû ëîêàëüíûõ ïàðàìåòðîâ u1 , .
. . , un . Åñëè ñèñòåìàëîêàëüíûõ ïàðàìåòðîâ â òî÷êå a çàäàåòñÿ ôóíêöèÿìè ui = xi − ai ,òî êîýôôèöèåíòû ôîðìàëüíîãî ðÿäà Òåéëîðà ìîæíî âû÷èñëÿòü ïîòåì æå ôîðìóëàì, ÷òî è â âåùåñòâåííîì ñëó÷àå. Äëÿ ýòîãî íóæíîâñåãî ëèøü óìåòü äèôôåðåíöèðîâàòü ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ íàäëþáûì ïîëåì, à äëÿ ýòîãî, â ñâîþ î÷åðåäü, äîñòàòî÷íî óìåòü äèôôåðåíöèðîâàòü ìíîãî÷ëåíû, ÷òî, êàê ìû óæå îòìå÷àëè, ìîæíî äåëàòüôîðìàëüíî íàä ëþáûì ïîëåì.Ïóñòü òåïåðü X = g∗ , f ∈ Oa è Φ = τ (f ) = F0 + F1 + F2 + . . .ôîðìàëüíûé ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè f .  êà÷åñòâå ñèñòåìû ëîêàëüíûõ ïàðàìåòðîâ â òî÷êå a ∈ g∗ âîçüìåì ui = xi − ai .
Òîãäà äëÿëþáîãî k ≥ 0 âûïîëíåíîf (x) = F0 +F1 (x−a)+. . .+Fk (x−a)+Gk+1 (x−a), Gk+1 (x−a) ∈ mk+1a .Ñäåëàåì â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå çàìåíó x 7→ a + λx. Ïîëüçóÿñü îäíîðîäíîñòüþ ïîëèíîìîâ Fi è òåì, ÷òî ýòà çàìåíà èíäóöèðóåò èçîìîðôèçì èäåàëîâ mk+1→ mk+1a0 , áóäåì èìåòü:f (a+λx) = F0 +λF1 (x)+. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
