Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков (1105116), страница 3
Текст из файла (страница 3)
À â òðåòüåì13ñëó÷àå äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà: â [23] áûëîäîêàçàíî, ÷òî ýòîò ìåòîä äàåò ïîëíûé êîììóòàòèâíûé íàáîð äëÿâåùåñòâåííûõ è êîìïëåêñíûõ àëãåáð, à â [7] óêàçàíî, ÷òî èç îáùåéêëàññèôèêàöèè ïîëóïðîñòûõ àëãåáð Ëè ñëåäóåò, ÷òî â ïîëóïðîñòîìñëó÷àå ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà äàåò ïîëíûé êîììóòàòèâíûé íàáîðïîëèíîìîâ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ õàðàêòåðèñòèêè íóëü.Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ ïîëíîãî êîììóòàòèâíîãîíàáîðà óñòðîåíà òàê: åñëè àëãåáðà Ëè ïîëóïðîñòà, òî ïðèìåíÿåì ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà, à åñëè íåò òî äåëàåì èíäóêòèâíûé øàã.Îäíàêî, õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà äàåò ïîëíûéêîììóòàòèâíûé íàáîð ïîëèíîìîâ íå òîëüêî â ïîëóïðîñòîì ñëó÷àå,íî è äëÿ ìíîãèõ äðóãèõ àëãåáð Ëè.
Ïîýòîìó, åñòåñòâåííî áûëî áûïðèìåíÿòü åãî íå òîëüêî ê ïîëóïðîñòûì, à âîîáùå êî âñåì àëãåáðàì Ëè, âîçíèêàþùèì â ïðîöåññå èíäóêöèè. Òåõíè÷åñêàÿ ïðîáëåìà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî êðèòåðèé ïîëíîòû äëÿ êîììóòàòèâíîãîíàáîðà, ïîñòðîåííîãî ìåòîäîì ñäâèãà àðãóìåíòà, èçâåñòåí òîëüêî ââåùåñòâåííîì è êîìïëåêñíîì ñëó÷àÿõ [5]. Èìåÿ òàêîé êðèòåðèé äëÿïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ, ìîæíî áûëî áû ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü îïèñàííóþ ïðîöåäóðó ïîñòðîåíèÿ ïîëíîãî êîììóòàòèâíîãî íàáîðà.
Àèìåííî, äåëàòü èíäóêòèâíûé øàã g à g̃, ïîíèæàþùèé ðàçìåðíîñòüàëãåáðû, òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà êîììóòàòèâíûé íàáîð â P (g),ïîñòðîåííûé ìåòîäîì ñäâèãà àðãóìåíòà, íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì.Íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèå ìåòîäà ñäâèãà àðãóìåíòà íàñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî îñíîâíîãî ïîëÿ õàðàêòåðèñòèêè íóëü è ïîëó÷åíèå êðèòåðèÿ ïîëíîòû äëÿ êîììóòàòèâíîãî íàáîðà ïîëèíîìîâ,ïîñòðîåííîãî ýòèì ìåòîäîì.1.2 Ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòàÌåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé êîíñòðóêöèåé, ïîçâîëÿþùåé ñòðîèòü ñåìåéñòâà ôóíêöèé â èíâîëþöèè íà äâîéñòâåííûõ ïðîñòðàíñòâàõ àëãåáð Ëè.
Âïåðâûå ýòîò ìåòîä áûë ïðåäëîæåíÀ. Ñ. Ìèùåíêî è À. Ò. Ôîìåíêî [23] êàê îáîáùåíèå êîíñòðóêöèèÑ. Â. Ìàíàêîâà [22], êîòîðàÿ ïðèìåíÿëàñü ê àëãåáðå Ëè so(n).Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî íàøå îñíîâíîå ïîëå K ÿâëÿåòñÿ ïîëåì âåùåñòâåííûõ èëè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Òîãäà ñêîáêà ÏóàññîíàËè äâóõ ãëàäêèõ ôóíêöèé f, g ∈ C ∞ (g∗ ) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé14ôîðìóëîé:{f, g}(x) = hx, [dx f, dx g]i = ckij xk∂f ∂g.∂xi ∂xjßñíî, ÷òî ýòà ñêîáêà ïðè îãðàíè÷åíèè íà ïóàññîíîâó àëãåáðó P (g)ñîâïàäàåò ñî ñêîáêîé, îïèñàííîé â íà÷àëå ðàçäåëà (1.1).Ïóñòü G ãðóïïà Ëè àññîöèèðîâàííàÿ ñ àëãåáðîé Ëè g. Àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f ∈ A(g∗ ) íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòîì êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ Ad∗ : G → GL(g∗ ), åñëè f (x) = f (Ad∗g x)äëÿ âñåõ g ∈ G, x ∈ g∗ .
Äðóãèìè ñëîâàìè, èíâàðèàíòû ýòîôóíêöèè, ïîñòîÿííûå íà îðáèòàõ êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿOx = {Ad∗g x | g ∈ G}. Êîëüöî èíâàðèàíòîâ àëãåáðû g áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç I(g). Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì f ∈ I(g) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåé ñèñòåìå ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéâ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà:ckij xk∂f= 0,∂xji = 1, . . . , dim g,(1.1)ãäå ckij ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû àëãåáðû Ëè g îòíîñèòåëüíî áàçèñà, ñîîòâåòñòâóþùåãî êîîðäèíàòàì x1 , .
. . , xn . Ïîëèíîìèàëüíûå èíâàðèàíòû â ôèçè÷åñêîé ëèòåðàòóðå íàçûâàþòñÿ òàêæå êëàññè÷åñêèìè èíâàðèàíòàìè Êàçèìèðà, à â òåîðèè èíâàðèàíòîâ öåëûìè èëèðåãóëÿðíûìè èíâàðèàíòàìè. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî åñëè àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì, òî è ëþáàÿ åå îäíîðîäíàÿ÷àñòü, ïîëó÷åííàÿ ïðè ðàçëîæåíèè â ðÿä, òîæå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì. Ïîýòîìó àíàëèòè÷åñêèå èíâàðèàíòû ïî ñóùåñòâó íè÷åì íåîòëè÷àþòñÿ îò ïîëèíîìèàëüíûõ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñèñòåìà (1.1)ìîæåò èìåòü ëîêàëüíûå ðåøåíèÿ, êîòîðûå íå äîïóñêàþò ãëîáàëüíûõ àíàëèòè÷åñêèõ ïðîäîëæåíèé, íàïðèìåð, ðàöèîíàëüíûå ðåøåíèÿ.
Ïîýòîìó åñòåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ ðàçðåøèòü àíàëèòè÷åñêèì èíâàðèàíòàì èìåòü îñîáåííîñòè, ò.å. ðàññìàòðèâàòü äàëåå èíâàðèàíòûâ êëàññå ôóíêöèé àíàëèòè÷åñêèõ ïî÷òè âñþäó íà g∗ .Èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñëåäóåò, ÷òî ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõèíâàðèàíòîâ ðàâíî min corank (ckij xk ), ò.å. ñîâïàäàåò ñ èíäåêñîì àëxãåáðû. Íàïîìíèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ èíäåêñ àëãåáðû Ëè ind g =15min dim Ann(x), ãäå Ann(x) = {ξ ∈ g | ad∗ξ x = 0} è, êàê íå òðóäxíî ïîäñ÷èòàòü, dim Ann(x) = corank (ckij xk ).
Òàê êàê dim Ann(x) =codim Ox , òî â òåðìèíàõ ãðóïïû Ëè G èíäåêñ îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîðàçìåðíîñòü îðáèòû îáùåãî ïîëîæåíèÿ ind g = min codim Ox . Îòxìåòèì, ÷òî êîëè÷åñòâî ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõ èíâàðèàíòîâêîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû Ëè ìîæåò áûòü ñòðîãîìåíüøå ÷åì êîðàçìåðíîñòü îðáèòû îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Ýòî ñâÿçàíîñ òåì, ÷òî äëÿ ïðîñòðàíñòâà îðáèò ìîæåò íàðóøàòüñÿ àêñèîìà îòäåëèìîñòè, òàê êàê êîïðèñîåäèíåííûå îðáèòû íå îáÿçàòåëüíî çàìêíóòû, äàæå ëîêàëüíî. Òàêèå ãðóïïû èíîãäà íàçûâàþòñÿ äèêèìè [19].Ïðîñòåéøèé ïðèìåð äèêîé ãðóïïû Ëè áûë ïîñòðîåí Ô.
È. Ìàóòíåðîì â 50-x ãîäàõ è ïîçäíåå ïåðåîòêðûâàëñÿ ìíîãîêðàòíî [19].Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî 5-ìåðíûõ ãðóïï Ëè Gα , êîòîðîåçàâèñèò îò âåùåñòâåííîãî ïàðàìåòðà α è èìååò ñëåäóþùåå ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå:eit 0 z1Gα 3 g(t, z1 , z2 ) = 0 eiαt z2 ,0 0 1t ∈ R, z1 , z2 ∈ C.Åñëè α èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, òî êîïðèñîåäèíåííàÿ îðáèòà îáùåãî ïîëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíîé ñ òðåõìåðíûì çàìûêàíèåì (ñèòóàöèÿ òèïà âñþäó ïëîòíîé îáìîòêè òîðà). ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àåGα èìååò íå áîëåå äâóõ ãëîáàëüíûõ èíâàðèàíòîâ.Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ôèêñèðîâàííîãî ýëåìåíòà êîàëãåáðû a ∈ g∗îïðåäåëèì ñåìåéñòâî ôóíêöèé Fa (I(g)), îáðàçîâàííîå ñäâèãàìè âñåõèíâàðèàíòîâ â íàïðàâëåíèè a (a-ñäâèãàìè),Fa (I(g)) = {fa,λ (x) = f (x + λa) | f ∈ I(g), λ ∈ K}.À.Ò.
Ôîìåíêî è À.Ñ. Ìèùåíêî ïîêàçàëè [23], ÷òî ýòî ñåìåéñòâî êîììóòàòèâíî îòíîñèòåëüíî ñêîáêè Ïóàññîíà-Ëè. Îäíàêî, êàê óæå áûëîîòìå÷åíî, èíâàðèàíòû íå îáÿçàíû áûòü ïîëèíîìàìè, è, ñëåäîâàòåëüíî, êîììóòàòèâíîå ñåìåéñòâî Fa (I(g)) íå îáÿçàíî ëåæàòü â ïóàññîíîâîé àëãåáðå P (g). Ýòîò íåäîñòàòîê ìîæåò áûòü ëåãêî óñòðàíåíïðè ïîìîùè êîíñòðóêöèè ïðåäëîæåííîé À.Â. Áðàèëîâûì.Îïðåäåëåíèå 2.
Íàáîð ïîëèíîìîâ F ⊂ P (g) íàçûâàåòñÿ íàáîðîìïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ ôóíêöèè f , åñëè îí ôóíêöèîíàëüíî ýêâèâàëåíòåí ñåìåéñòâó Fa (f ) = {fa,λ (x) = f (x + λa) | λ ∈ K}, ò.å.16åñëè ýëåìåíòû F è Fa (f ) ïî÷òè âñþäó ôóíêöèîíàëüíî âûðàæàþòñÿäðóã ÷åðåç äðóãà.Ïóñòü ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â òî÷êå a. Ðàññìîòðèìåå ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè a:f (a + λx) = f (a) + λfa,1 (x) + λ2 fa,2 (x) + . . .(1.2)Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ñåìåéñòâî Fa (f ) è íàáîð îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ {fa,k }k∈N ôóíêöèîíàëüíî ýêâèâàëåíòíû, ïîýòîìó {fa,k }k∈Nÿâëÿåòñÿ íàáîðîì ïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ ôóíêöèè f .
Ðàññìîòðèì íàáîð îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ, ñîñòîÿùèé èç ïîëèíîìèàëüíûõa-ñäâèãîâ âñåõ èíâàðèàíòîâ àëãåáðû Ëè g:{fa,k | f ∈ I(g), k ∈ N} ⊂ P (g).Òàê êàê ýòîò íàáîð ôóíêöèîíàëüíî ýêâèâàëåíòåí ñåìåéñòâó Fa (I(g)),òî îí ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíûì íàáîðîì ïîëèíîìîâ â P (g), è ìûáóäåì îáîçíà÷àòü åãî òàêæå ÷åðåç Fa (I(g)).
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîììóòàòèâíàÿ ïîäàëãåáðà K[Fa (I(g))] ⊂ P (g), ïîðîæäåííàÿ ýòèì íàáîðîì, íàçûâàåòñÿ ïîäàëãåáðîé Ìèùåíêî-Ôîìåíêî.Ïóñòü g∗sing îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî âñåõ Ad∗ -ñèíãóëÿðíûõ ýëåìåíòîâ g∗ , ò.å.g∗sing = {x ∈ g∗ | codim Ox > ind g}.Äðóãèìè ñëîâàìè, ñèíãóëÿðíûìè ÿâëÿþòñÿ â òî÷íîñòè òå òî÷êè x ∈g∗ , â êîòîðûõ ïàäàåò ðàíã ìàòðèöû (ckij xk ).
Ìíîæåñòâî ðåãóëÿðíûõýëåìåíòîâ g∗reg = g∗ \ g∗sing ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì âñþäó ïëîòíûì ïîäìíîæåñòâîì g∗ . Îòïðàâíîé òî÷êîé â èññëåäîâàíèè ïîëíîòû êîììóòàòèâíîãî íàáîðà ïîëèíîìîâ Fa (I(g)) ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà[23]:Òåîðåìà 2 (Ìèùåíêî, Ôîìåíêî, 1978). Ïóñòü g âåùåñòâåííàÿèëè êîìïëåêñíàÿ ïîëóïðîñòàÿ àëãåáðà Ëè è a ∈ g∗reg . Òîãäà êîììóòàòèâíûé íàáîð ïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ èíâàðèàíòîâ Fa (I(g))ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. áîëåå àëãåáðàè÷åñêèõ òåðìèíàõ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êîììóòàòèâíàÿ ïóàññîíîâà ïîäàëãåáðà Ìèùåíêî-Ôîìåíêî K[Fa (I(g))] ⊂ P (g)ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíîé ïîäàëãåáðîé ìàêñèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè.Íà ñàìîì äåëå, íàáîð Fa (I(g)) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì è äëÿ ìíîãèõäðóãèõ àëãåáð Ëè.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé ýôôåêòèâíûé êðèòåðèéïîëíîòû [5]:17Òåîðåìà 3 (Áîëñèíîâ, 1988). Ïóñòü g êîíå÷íîìåðíàÿ âåùåñòâåííàÿ èëè êîìïëåêñíàÿ àëãåáðà Ëè è a ∈ g∗reg . Êîììóòàòèâíûé íàáîðïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ èíâàðèàíòîâ Fa (I(g)) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûìòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàcodim(gC )∗sing ≥ 2.Çäåñü gC îáîçíà÷àåò êîìïëåêñèôèêàöèþ àëãåáðû.
Åñëè g ïîëóïðîñòà, òî codim (gC )∗sing = 3 è ïîëíîòà íàáîðà Fa (I(g)) àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò èç êðèòåðèÿ.Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ìû õîòèì îáîáùèòü îïèñàííóþ âûøå êîíñòðóêöèþ ïîñòðîåíèÿ íàáîðà Fa (I(g)) è ïîëó÷èòü äëÿ íåãîêðèòåðèé ïîëíîòû àíàëîãè÷íûé òåîðåìå 3, íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãîïîëÿ K õàðàêòåðèñòèêè íóëü.1.3 Êðèòåðèé ïîëíîòû:ïîëèíîìèàëüíûé ñëó÷àéÎäíà èç òðóäíîñòåé, ñ êîòîðîé ìû ñòàëêèâàåìñÿ, ýòî îòñóòñòâèåíà ïîëå K àïðèîðíî çàäàííîé òîïîëîãèè, è, êàê ñëåäñòâèå, íåâîçìîæíîñòü ãîâîðèòü î äèôôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèé íà g∗ , êàê â(1.1), èëè ðàçëîæåíèè èõ â ðÿä, êàê â (1.2). Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ ïðîèçâîëüíûõ èíâàðèàíòîâ íàäàáñòðàêòíûì ïîëåì çàòðóäíèòåëüíî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîëèíîìèàëüíûå a-ñäâèãè ïîëèíîìîâ ìîæíî îïðåäåëèòü ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêè(ðàñêðûòü ñêîáêè è ïðèâåñòè ïîäîáíûå ÷ëåíû). Ïîýòîìó åñòåñòâåííûì ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ âìåñòî êîëüöà I(g) âñåõ èíâàðèàíòîâ ðàññìîòðåòü ëèøü ïîëèíîìèàëüíûå K[g∗ ]G = S(g)∩I(g)1 .
 ýòîì ñëó÷àåäèôôåðåíöèðîâàíèå òàêæå ìîæíî îïðåäåëèòü ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêè(ôîðìàëüíî), áåç ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî àëãåáðà ïîëèíîìèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ K[g∗ ]G â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñöåíòðîì ïóàññîíîâîé àëãåáðû P (g), êîòîðûé ìû áóäåò îáîçíà÷àòü÷åðåç Z(g). Èòàê, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ íàä1 Åñëèìû îãðàíè÷èâàåìñÿ ðàññìîòðåíèåì ïîëèíîìîâ, òî íåîáõîäèìîñòü ñòðîèòü ïîëèíîìèàëüíûå a-ñäâèãè, ðàçóìååòñÿ, èñ÷åçàåò: îáû÷íûå a-ñäâèãè àâòîìàòè÷åñêè ëåæàò â ïóàññîíîâîéàëãåáðå. Îäíàêî, òàê êàê â áóäóùåì ìû áóäåì ñòðîèòü ïîëèíîìèàëüíûå a-ñäâèãè áîëåå îáùèõôóíêöèé, íàì áóäåò óäîáíî èçó÷èòü ñëó÷àé ïîëèíîìîâ îòäåëüíî.18àáñòðàêòíûì ïîëåì íà ïåðâîì øàãå ìû çàìåíÿåì êîëüöî èíâàðèàíòîâ àëãåáðû Ëè íà öåíòð åå ïóàññîíîâîé àëãåáðû:I(g) à K[g∗ ]G = Z(g).(1.3)Ïóñòü f ∈ Z(g), a ∈ g∗ , λ ∈ K.
Ðàññìîòðèì ñäâèã ïîëèíîìà f âíàïðàâëåíèè a: fa,λ (x) = f (x + λa) è ðàçëîæèì åãî ïî ñòåïåíÿì λ:fa,λ (x) =degfXfa,k (x)λk .k=0degf −1Ôóíêöèè {fa,k }k=0 ÿâëÿþòñÿ, î÷åâèäíî, ïîëèíîìèàëüíûìè a-ñäâèãàìèf . Ñëåäóÿ ðàáîòå [23], ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè f1 , . . . , fn ∈ Z(g), òîíàáîð Fa (f1 , . . . , fn ) ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíûì äëÿ ëþáîãî êîâåêòîðà a ∈ g∗ . Ïîýòîìó íàáîð Fa (Z(g)) ïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ âñåõöåíòðàëüíûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì êàíäèäàòîì íà ðîëüïîëíîãî êîììóòàòèâíîãî íàáîðà ïîëèíîìîâ íà g∗ .Íåäîñòàòêîì çàìåíû (1.3) ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî íàì ìîæåò ïðîñòî íåõâàòèòü ïîëèíîìèàëüíûõ a-ñäâèãîâ ôóíêöèé èç öåíòðà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîëíîãî íàáîðà ïîëèíîìîâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
