Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков (1105116), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . , F (s) } èçs = dim V − dim g + St(a) ôîðìàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ïðåäñòàâëåíèÿρ â òî÷êå a, äèôôåðåíöèàëû êîòîðûõ â íóëå ëèíåéíî íåçàâèñèìû. ïàðàãðàôå 1.5.3 ìû ðàññìàòðèâàåì êîïðèñîåäèíåííîå ïðåäñòàâëåíèå àëãåáðû Ëè ad∗ : g → gl(g∗ ). Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ, ìû îïðåäåëÿåì íàáîð ïîëèíîìîâ Fa (I(g)) â ïóàññîíîâîé àëãåáðå P (g) êàê íàáîð îäíîðîäíûõ÷àñòåé ôîðìàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ïðåäñòàâëåíèÿ ad∗ â ðåãóëÿðíîéòî÷êå a ∈ g∗ è äîêàçûâàåì åãî êîììóòàòèâíîñòü. Òàêîé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êîììóòàòèâíîãî íàáîðà ïîëèíîìîâ ìû íàçûâàåì ôîðìàëüíûì ìåòîäîì ñäâèãà àðãóìåíòà. Äîêàçàòåëüñòâî êðèòåðèÿ ïîëíîòûíàáîðà Fa (I(g)) (ïàðàãðàô 1.5.6) ïî÷òè àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò èçäâóõ ëåìì èç ëèíåéíîé àëãåáðû: ëåììû îá èåðàðõèè, ïîðîæäàåìîéïàðîé áèëèíåéíûõ ôîðì (ïàðàãðàô 1.5.4), è ëåììû î ïàðå êîñîñèììåòðè÷åñêèõ áèëèíåéíûõ ôîðì (ïàðàãðàô 1.5.5).Òåîðåìà 11.
Ïóñòü g êîíå÷íîìåðíàÿ àëãåáðà Ëè íàä ïîëåì Kõàðàêòåðèñòèêè íóëü è a ∈ g∗reg ðåãóëÿðíûé ýëåìåíò.1. Êîììóòàòèâíûé íàáîð Fa (I(g)), ïîñòðîåííûé ôîðìàëüíûììåòîäîì ñäâèãà àðãóìåíòà, ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàcodim(gK̄ )∗sing ≥ 2.2. Êîììóòàòèâíûé íàáîð Fa (I(g)) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì â ðåãóëÿðíîé òî÷êå x ∈ g∗reg òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðÿìàÿ{x + λa | λ ∈ K̄} íå ïåðåñåêàåò ìíîæåñòâî (gK̄ )∗sing .7 ðàçäåëå 1.6 ìû íàïîìèíàåì êîíñòðóêöèþ, ëåæàùóþ â îñíîâå ãåîìåòðè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà ãèïîòåçû Ìèùåíêî-Ôîìåíêî [7].Çàêëþ÷èòåëüíûé ðàçäåë 1.7 ïåðâîé ÷àñòè äèññåðòàöèè ïîñâÿùåíïðèìåðàì ïðèìåíåíèÿ êðèòåðèÿ ïîëíîòû êîììóòàòèâíîãî íàáîðàïîëèíîìîâ, ïîñòðîåííîãî ôîðìàëüíûì ìåòîäîì ñäâèãà àðãóìåíòà.Íà îñíîâå ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ â ïåðâîé ÷àñòè äèññåðòàöèè,ãîòîâèòñÿ ñòàòüÿ â æóðíàëå Ìàòåìàòè÷åñêèå Çàìåòêè.Âî âòîðîé ÷àñòè äèññåðòàöèè ìû ðàññìàòðèâàåì ãåîäåçè÷åñêèåïîòîêè íà íàäñòðîéêàõ àâòîìîðôèçìîâ òîðîâ è ïðîäîëæàåì èññëåäîâàíèÿ íà÷àòûå À.
Â. Áîëñèíîâûì, È. À. Òàéìàíîâûì, À. Ï. Âåñåëîâûì è Õ. Ð. Äóëëèíûì â ðàáîòàõ [8, 9, 34].Çàìêíóòîå ìíîãîîáðàçèå MAn+1 íàçûâàåòñÿ íàäñòðîéêîé àâòîìîðôèçìà A : Tn → Tn , åñëè ñóùåñòâóåò ðàññëîåíèåAynTp : MAn+1 −→ S 1ìíîãîîáðàçèÿ íàä îêðóæíîñòüþ S 1 ñî ñëîåì òîð Tn , òàêîå, ÷òî ìîíîäðîìèÿ ðàññëîåíèÿ çàäàåòñÿ ìàòðèöåé A ∈ SL(n, Z).Ìíîãîîáðàçèå MAn+1 îáëàäàåò èíòåðåñíûìè ñâîéñòâàìè.
Ïðîñòåéøèé íåòðèâèàëüíûé ïðèìåð ñµA=1 10 1¶áûë ðàññìîòðåí Ë. Áàòëåðîì [36].  ýòîé ðàáîòå áûëà ïîñòðîåíààíàëèòè÷åñêàÿ ðèìàíîâà ìåòðèêà íà MA3 , ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê êîòîðîé èíòåãðèðóåì ïî Ëèóâèëëþ ïðè ïîìîùè ãëàäêèõ èíòåãðàëîâ, íîíåèíòåãðèðóåì â êëàññå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå áûëî äîêàçàíî ïðè ïîìîùè òîïîëîãè÷åñêèõ ïðåïÿòñòâèéê àíàëèòè÷åñêîé èíòåãðèðóåìîñòè, íàéäåííûõ È. À. Òàéìàíîâûì[28, 29]. Òàêèì îáðàçîì, áûëî ïîêàçàíî, ÷òî íåêîòîðûå èç ýòèõ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðåïÿòñòâèé íå ìåøàþò ãëàäêîé èíòåãðèðóåìîñòè.Ã.
Ï. Ïàòåðíàéí [47, 48] äîêàçàë, ÷òî åñëè ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîêíà çàìêíóòîì ìíîãîîáðàçèè èíòåãðèðóåì, òî, ïðè âûïîëíåíèè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé, åãî òîïîëîãè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ ðàâíàíóëþ. Îí òàêæå ïðåäïîëîæèë, ÷òî òîïîëîãè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ èíòåãðèðóåìîãî ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà íà çàìêíóòîì ìíîãîîáðàçèè âñåãäà ðàâíà íóëþ. Îòìåòèì, ÷òî òîïîëîãè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ â ïðèìåðåÁàòëåðà íóëåâàÿ, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ãèïîòåçîé Ïàòåðíàéíà.8À. Â. Áîëñèíîâ è È.
À. Òàéìàíîâ [8] îïðîâåðãëè ýòó ãèïîòåçó äëÿãëàäêîãî ñëó÷àÿ, ðàññìîòðåâ ìíîãîîáðàçèå MA3 ñ àâòîìîðôèçìîìµA=2 11 1¶.Îáîáùèâ êîíñòðóêöèþ Áàòëåðà, îíè ïîñòðîèëè ïåðâûé ïðèìåð C ∞ èíòåãðèðóåìîãî ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà ñ ïîëîæèòåëüíîé òîïîëîãè÷åñêîé ýíòðîïèåé. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû èìåþò ìåñòî è äëÿ ñëó÷àÿ n > 2 [9].Êâàíòîâûì àíàëîãîì çàäà÷è îá èíòåãðèðóåìîñòè ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà íà ìíîãîîáðàçèè ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ñïåêòðà è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà ÁåëüòðàìèËàïëàñà.  ñòàòüå [34] àâòîðàìèïîñòðîåí áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå L2 (MA3 ), ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõôóíêöèé îïåðàòîðà ÁåëüòðàìèËàïëàñà, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ïðèïîìîùè ðåøåíèé òàê íàçûâàåìîãî ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿÌàòüå.
Âî âòîðîé ÷àñòè äèññåðòàöèè ìû ðàññìàòðèâàåì ìíîãîìåðíóþ ñèòóàöèþ n > 2 è ãëàâíûì ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ñïåêòðà è ïîñòðîåíèå ñîáñòâåííîãî áàçèñà äëÿ îïåðàòîðà ÁåëüòðàìèËàïëàñà íà L2 (MAn+1 ), êîòîðûé îïèñûâàåòñÿ ïðè ïîìîùè ðåøåíèéîäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.Ïåðåéäåì ê êðàòêîìó èçëîæåíèþ ñòðóêòóðû è ãëàâíîãî ðåçóëüòàòà âòîðîé ÷àñòè äèññåðòàöèè.  ðàçäåëå 2.1 ìû íàïîìèíàåì îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ ñâÿçàííûå ñ íàäñòðîéêàìè àâòîìîðôèçìîâ òîðîâ. ðàçäåëàõ 2.2 è 2.3 ìû îïèñûâàåì ðèìàíîâó ìåòðèêó è îïåðàòîðÁåëüòðàìèËàïëàñà íà MAn+1 .
Ðàçäåë 2.4 ïîñâÿùåí äîêàçàòåëüñòâóîñíîâíîãî ðåçóëüòàòà:Òåîðåìà 13. Ïóñòü ôóíêöèè Ψ[γ],k è Qγ (z) çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè(2.10) è (2.6) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà íàáîð ôóíêöèé {Ψ[γ],k , γ ∈Γ∗ \ {0}} ∪ {1, cos kπz, sin kπz} ãäå k ∈ N îáðàçóåò ñîáñòâåííûé áàçèñ îïåðàòîðà Ëàïëàñà-Áåëüòðàìè â ïðîñòðàíñòâå L2 (MAn+1 ). Ïðèýòîì ôóíêöèè Ψ[γ],k îòâå÷àåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå E[γ],k , ÿâëÿþùååñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà Øðåäèíãåðà íà ïðÿìîé ñïîòåíöèàëîì Qγ (z).Ðåçóëüòàòû ïîëó÷åííûå âî âòîðîé ÷àñòè äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â ñòàòüå [18] è äîëîæåíû íà ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèèïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì è äèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì (Ñóçäàëü, 2006).9Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ñâîèì íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëÿì àêàäåìèêó ÐÀÍ À.
Ò. Ôîìåíêî çà ïîñòîÿííóþ ïîääåðæêó è âíèìàíèå ê ðàáîòå è ïðîôåññîðó À. Â. Áîëñèíîâó çà ïîñòàíîâêó çàäà÷, ïëîäîòâîðíûå îáñóæäåíèÿ è ðÿä öåííûõ çàìå÷àíèé èèäåé, îïðåäåëèâøèõ íàïðàâëåíèå ðàçâèòèÿ ýòîé ðàáîòû. Àâòîð òàêæå áëàãîäàðåí âñåì ñîòðóäíèêàì êàôåäðû Äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèé Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà çà ïîìîùü â òå÷åíèè åãîó÷åáû.10Ãëàâà 1Ôîðìàëüíûé ìåòîäñäâèãà àðãóìåíòàÎäíèì èç öåíòðàëüíûõ íàïðàâëåíèé òåîðèè âïîëíå èíòåãðèðóåìûõñèñòåì ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå óðàâíåíèé Ýéëåðà íà äâîéñòâåííûõïðîñòðàíñòâàõ àëãåáð Ëè:ẋ = ad∗df (x) x, x ∈ g∗ , f ∈ C ∞ (g∗ ).Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà ÿâëÿþòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì êëàññè÷åñêèõ óðàâíåíèé äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà è âàæíîñòü èõ èçó÷åíèÿîïðåäåëÿåòñÿ ïðåæäå âñåãî òåì, ÷òî îíè âîçíèêàþò âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè [4], [30]. Ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà, ïðåäëîæåííûé À.
Ñ. Ìèùåíêî è À. Ò. Ôîìåíêî [23], ïîçâîëÿåò ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèÿ Ýéëåðà, ò.å. ïîñòðîèòü ïîëíûé êîììóòàòèâíûéíàáîð èíòåãðàëîâ, äëÿ ìíîãèõ êëàññîâ âåùåñòâåííûõ è êîìïëåêñíûõàëãåáð Ëè. ïåðâîé ÷àñòè äèññåðòàöèè ìû ðàçðàáàòûâàåì ôîðìàëüíûé ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà àíàëîã êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà ñäâèãà àðãóìåíòà äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîììóòàòèâíîãî íàáîðà ïîëèíîìîâ íà äâîéñòâåííûõ ïðîñòðàíñòâàõ àëãåáð Ëè íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì.1.1 Ãèïîòåçà ÌèùåíêîÔîìåíêîÐàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ êîíå÷íîìåðíóþ àëãåáðó Ëè g íàä ïîëåìK íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè. Ëèåâñêàÿ ñòðóêòóðà íà g èíäóöèðóåòíà ñèììåòðè÷åñêîé àëãåáðå S(g) ' K[g∗ ] ñêîáêó Ïóàññîíà-Ëè, êî11òîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ áèëèíåéíàÿ îïåðàöèÿ,óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:1. Åñëè ïîëèíîìû f, g ∈ S(g) ëèíåéíû (â ýòîì ñëó÷àå èõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ýëåìåíòû àëãåáðû Ëè g), òî èõ ñêîáêàÏóàññîíà-Ëè ñîâïàäàåò ñ êîììóòàòîðîì â àëãåáðå, ò.å.{f, g} = [f, g].2.
Íà ïîëèíîìû áîëåå âûñîêèõ ñòåïåíåé ñêîáêà Ïóàññîíà-Ëè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðè ïîìîùè ïðàâèëà Ëåéáíèöà:{f g, h} = f {g, h} + g{f, h}.Ñòðóêòóðà ÏóàññîíàËè ïðåâðàùàåò ñèììåòðè÷åñêóþ àëãåáðóS(g) â ïóàññîíîâó àëãåáðó P (g) = (S(g), {·, ·}), àññîöèèðîâàííóþñ g. Ñêîáêà ÏóàññîíàËè åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðîäîëæàåòñÿ íàïîëå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé K(g∗ ). Cîîòâåòñòâóþùóþ ïóàññîíîâóàëãåáðó áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Frac(P (g)) = (K(g∗ ), {·, ·}).Êàæäîé êîíå÷íîìåðíîé àëãåáðå Ëè g ìîæíî ñîïîñòàâèòü äâà öåëûõ ÷èñëà: ðàçìåðíîñòü dim g (õàðàêòåðèñòèêà ëèíåéíîé ñòðóêòóðû) è èíäåêñ ind g (õàðàêòåðèñòèêà ëèåâñêîé ñòðóêòóðû).
Õîðîøîèçâåñòíî, ÷òî ÷èñëî àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûõ ïîïàðíî êîììóòèðóþùèõ ïîëèíîìîâ â P (g) íå ïðåâûøàåò 12 (dim g + ind g).Çàìå÷àíèå 1. Íà ïðîòÿæåíèè âñåé ðàáîòû, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, êîììóòàòèâíîñòü áóäåò ïîíèìàòüñÿ â ñìûñëå ñêîáêè ÏóàññîíàËè.Îïðåäåëåíèå 1. Êîììóòàòèâíûé íàáîð F ⊂ P (g) íàçûâàåòñÿ ïîë-íûì, åñëè îí ñîäåðæèò 12 (dim g + ind g) àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûõïîëèíîìîâ.Ëþáîé êîììóòàòèâíûé íàáîð ïîëèíîìîâ F ïîðîæäàåò êîììóòàòèâíóþ ïóàññîíîâó ïîäàëãåáðó K[F] ⊂ P (g). Êîììóòàòèâíàÿ ïîäàëãåáðà A ⊂ P (g) íàçûâàåòñÿ ïîäàëãåáðîé ìàêñèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè, åñëè trdeg A = 21 (dim g + ind g).
Ïîäàëãåáðà A íàçûâàåòñÿìàêñèìàëüíîé, åñëè îíà ìàêñèìàëüíà ñðåäè âñåõ êîììóòàòèâíûõ ïîäàëãåáð P (g) â òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîì ñìûñëå.Âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ïîëíûõ êîììóòàòèâíûõ íàáîðîâ âïåðâûå áûë ñôîðìóëèðîâàí â ðàáîòå [24] â âèäå ñëåäóþùåé ãèïîòåçû.12Ãèïîòåçà (Ìèùåíêî, Ôîìåíêî, 1981). Ïóñòü g âåùåñòâåííàÿèëè êîìïëåêñíàÿ àëãåáðà Ëè.
Òîãäà â P (g) ñóùåñòâóåò ïîëíûé êîììóòàòèâíûé íàáîð ïîëèíîìîâ.Ýòà ãèïîòåçà ïðèøëà èç òåîðèè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõñèñòåì. Íàïîìíèì, ÷òî òàêèìè ñèñòåìàìè íàçûâàþòñÿ òå, êîòîðûåîáëàäàþò ïîëíûìè êîììóòàòèâíûìè àëãåáðàìè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ.Òàêèì îáðàçîì, íà ÿçûêå ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì, ýòà ãèïîòåçà ìîæåòáûòü ñôîðìóëèðîâàíà òàê: íà äâîéñòâåííîì ïðîñòðàíñòâå g∗ êàæäîéâåùåñòâåííîé èëè êîìïëåêñíîé àëãåáðû Ëè g ñóùåñòâóþò ïîëèíîìèàëüíî èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû.
 1978 ã. îíà áûëàäîêàçàíà À. Ñ. Ìèùåíêî è À. Ò. Ôîìåíêî äëÿ ïîëóïðîñòûõ àëãåáðËè [23].  2003 ã. Ñ. Ò. Ñàäýòîâ äîêàçàë ãèïîòåçó ÌèùåíêîÔîìåíêîâ îáùåì ñëó÷àå [26].Òåîðåìà 1 (Ñàäýòîâ, 2003). Ãèïîòåçà ÌèùåíêîÔîìåíêî ñïðàâåä-ëèâà äëÿ ïðîèçâîëüíîé êîíå÷íîìåðíîé àëãåáðû Ëè g íàä ïîëåì Kíóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè. ðàáîòå [7] À. Â. Áîëñèíîâ èçëîæèë äîêàçàòåëüñòâî Ñàäýòîâà íàáîëåå ÿâíîì ÿçûêå ïóàññîíîâîé ãåîìåòðèè, ïîçâîëÿþùåì ýôôåêòèâíî ðàáîòàòü ñ êîíêðåòíûìè àëãåáðàìè Ëè.
 îñíîâå ãåîìåòðè÷åñêîãîäîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ñàäýòîâà, ïðåäëîæåííîãî Áîëñèíîâûì, ëåæèò ñëåäóþùàÿ ëåììà:Ëåììà 1. Ëþáàÿ àëãåáðà Ëè g íàä ïîëåì K õàðàêòåðèñòèêè íóëüóäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:1. Ñóùåñòâóåò êîììóòàòèâíûé èäåàë h C g, íå ÿâëÿþùèéñÿîäíîìåðíûì öåíòðîì g (ò.å. ëèáî dim h > 1, ëèáî [h, g] 6= 0);2. Ñóùåñòâóåò èäåàë hm C g, èçîìîðôíûé àëãåáðå Ãåéçåíáåðãà,è ïðè ýòîì öåíòð g ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì hm , Z(g) = Z(hm );3. Àëãåáðà Ëè g ïîëóïðîñòà èëè g = g0 ⊕ K, ãäå g0 ïîëóïðîñòà.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ ìîæíî ñäåëàòü èíäóêòèâíûé øàã: ñâåñòè çàäà÷ó î ïîñòðîåíèè ïîëíîãî êîììóòàòèâíîãîíàáîðà â P (g) ê ïîñòðîåíèþ ïîëíîãî êîììóòàòèâíîãî íàáîðà â P (g̃),ãäå g̃ íîâàÿ àëãåáðà Ëè íàä íîâûì ïîëåì K̃, êîòîðàÿ, îäíàêî,èìååò ñòðîãî ìåíüøóþ ðàçìåðíîñòü dimK̃ g̃ < dimK g.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
