Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков (1105116), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ïðîñòåéøèé íåòðèâèàëüíûé ïðèìåð ñµA=1 10 1¶áûë ðàññìîòðåí Ë. Áàòëåðîì [36].  ýòîé ðàáîòå áûëà ïîñòðîåíààíàëèòè÷åñêàÿ ðèìàíîâà ìåòðèêà íà MA3 , ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê êîòîðîé èíòåãðèðóåì ïî Ëèóâèëëþ ïðè ïîìîùè ãëàäêèõ èíòåãðàëîâ, íîíåèíòåãðèðóåì â êëàññå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå áûëî äîêàçàíî ïðè ïîìîùè òîïîëîãè÷åñêèõ ïðåïÿòñòâèéê àíàëèòè÷åñêîé èíòåãðèðóåìîñòè, íàéäåííûõ È. À. Òàéìàíîâûì[28, 29]. Òàêèì îáðàçîì, áûëî ïîêàçàíî, ÷òî íåêîòîðûå èç ýòèõ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðåïÿòñòâèé íå ìåøàþò ãëàäêîé èíòåãðèðóåìîñòè.Ã. Ï. Ïàòåðíàéí [47, 48] äîêàçàë, ÷òî åñëè ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîêíà çàìêíóòîì ìíîãîîáðàçèè èíòåãðèðóåì, òî, ïðè âûïîëíåíèè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé, åãî òîïîëîãè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ ðàâíàíóëþ. Îí òàêæå ïðåäïîëîæèë, ÷òî òîïîëîãè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ èíòåãðèðóåìîãî ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà íà çàìêíóòîì ìíîãîîáðàçèè âñåãäà ðàâíà íóëþ.
Îòìåòèì, ÷òî òîïîëîãè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ â ïðèìåðåÁàòëåðà íóëåâàÿ, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ãèïîòåçîé Ïàòåðíàéíà.À. Â. Áîëñèíîâ è È. À. Òàéìàíîâ [8] îïðîâåðãëè ýòó ãèïîòåçó äëÿãëàäêîãî ñëó÷àÿ, ðàññìîòðåâ ìíîãîîáðàçèå MA3 ñ àâòîìîðôèçìîìµA=2 11 1¶.Îáîáùèâ êîíñòðóêöèþ Áàòëåðà, îíè ïîñòðîèëè ïåðâûé ïðèìåð C ∞ èíòåãðèðóåìîãî ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà ñ ïîëîæèòåëüíîé òîïîëîãè÷åñêîé ýíòðîïèåé. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû èìåþò ìåñòî è äëÿ ñëó÷àÿ n > 2 [9].63Êâàíòîâûì àíàëîãîì çàäà÷è îá èíòåãðèðóåìîñòè ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà íà ìíîãîîáðàçèè ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ñïåêòðà è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà ÁåëüòðàìèËàïëàñà.  ñòàòüå [34] àâòîðàìèïîñòðîåí áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå L2 (MA3 ), ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõôóíêöèé îïåðàòîðà ÁåëüòðàìèËàïëàñà, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ïðèïîìîùè ðåøåíèé òàê íàçûâàåìîãî ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿÌàòüå.Âî âòîðîé ÷àñòè äèññåðòàöèè ìû ðàññìàòðèâàåì ìíîãîìåðíóþñèòóàöèþ n > 2 è îïèñûâàåì ñïåêòð è ñîáñòâåííûé áàçèñ îïåðàòîðàÁåëüòðàìèËàïëàñà íà L2 (MAn+1 ) â òåðìèíàõ ðåøåíèé îäíîìåðíîãîóðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.2.2 Ïîñòðîåíèå ðèìàíîâîé ìåòðèêè íà MAn+1Íàäñòðîéêó àâòîìîðôèçìà òîðà MAn+1 ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ðàññìîòðèì öèëèíäð C n+1 = Tn × R. Ïóñòü x =(x1 , . . . , xn ) ñòàíäàðòíûå êîîðäèíàòû íà Tn îïðåäåëåííûå ïî ìîäóëþ 1, è z êîîðäèíàòà íà ïðÿìîé. Ðàññìîòðèì äåéñòâèå äèñêðåòíîéãðóïïû Z íà öèëèíäðå, ïîðîæäåííîå ñëåäóþùèì ïðåîáðàçîâàíèåìTATA : (x, z) 7→ (Ax, z + 1),(2.1)ãäå öåëî÷èñëåííàÿ ìàòðèöà A îïðåäåëÿåò àâòîìîðôèçì òîðà A :Tn → Tn . Òåïåðü ñîîòâåòñòâóþùåå ìíîãîîáðàçèå MAn+1 îïðåäåëÿåòñÿêàê ôàêòîð öèëèíäðà ïî ýòîìó äåéñòâèþ MAn+1 = C n+1 /Z.Âñþäó äàëåå ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî A ∈ SL(n, Z) ÿâëÿåòñÿãèïåðáîëè÷åñêîé ìàòðèöåé (ïî îïðåäåëåíèþ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ó äëÿëþáîãî åå ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λ âûïîëíåíî |λ| 6= 1) ñ ïîëîæèòåëüíûì ñïåêòðîì Spec(A) ⊂ R+ .Âìåñòî ñòàíäàðòíûõ ïåðèîäè÷åñêèõ êîîðäèíàò (x1 , . . . , xn ) íà òîðå Tn = Rn /Zn íàì áóäåò óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ äðóãèìè ëèíåéíûìèêîîðäèíàòàìè, êîòîðûå áóäóò ñîãëàñîâàíû ñ äåéñòâèåì ãèïåðáîëè÷åñêîãî àâòîìîðôèçìà A. Ïóñòü ñïåêòð Spec(A) = {λ1 , .
. . , λk } è nα êðàòíîñòü cîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λα , α = 1, ..., k . Òîãäà â íåêîòîðîì áàçèñå {fi }ni=1 (ñîñòîÿùåì èç ñîáñòâåííûõ è ïðèñîåäèíåííûõâåêòîðîâ) ìàòðèöà A áóäåò èìåòü æîðäàíîâó íîðìàëüíóþ ôîðìó:64B1 0 0 B2A=.. ....0 0... 0... 0 ,. . . .. . . . . Bkãäå Bα æîðäàíîâà êëåòêà ïîðÿäêà nαBα = λα 1 .
. . 0.0 λα . . . .... . . . ... 1.0 . . . 0 λα.Îáîçíà÷èì ÷åðåç (u1 , . . . , un ) êîîðäèíàòû íà òîðå ñîîòâåòñòâóþùèåáàçèñó {fi }ni=1 . Çàìåòèì, ÷òî íîâûå êîîðäèíàòû íå ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè íà òîðå : u = (u1 , . . . , un ) è û = (û1 , . . . , ûn ) îïðåäåëÿþò îäíó è òóæå òî÷êó íà Tn òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà u − û =a1 e1 + . . . + an en , ãäå ai ∈ Z è {ei } áàçèñ ðåøåòêè Γ àññîöèèðîâàííîé ñ Tn .Ðèìàíîâó ìåòðèêó íà MAn+1 ïîñòðîèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëà îïðåäåëèì ìåòðèêó íà öèëèíäðå C n+1 , ïîëîæèì:ds2 = gij (z)dui duj + dz 2 ,ãäå¡¢TG(z) = (gij (z)) = e−z ln A G0 e−z ln A .Çäåñü G0 ïðîèçâîëüíàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n (ìàòðèöà ìåòðèêè íà íóëåâîì ñëîå {z = 0}),à ln A âåùåñòâåííàÿ îäíîçíà÷íàÿ âåòâü ëîãàðèôìà, êîòîðàÿ ñóùåñòâóåò, òàê êàê Spec(A) ⊂ R+ .
Î÷åâèäíî, ÷òî îïðåäåëåííàÿ òàêèì îáðàçîì ìåòðèêà íà öèëèíäðå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî îïèñàííîãî äåéñòâèÿ äèñêðåòíîé ãðóïïû. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòàìåòðèêà ðåäóöèðóåòñÿ äî ìåòðèêè íà ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâå MAn+1 =C n+1 /Z.652.3 Îïåðàòîð ÁåëüòðàìèËàïëàñà íà MAn+1Îïåðàòîð ÁåëüòðàìèËàïëàñà ýòî îïåðàòîð ∆ = div grad, êîòîðûé íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå∆= √√1ij∂i (g det G ∂j ),det Gãäå ∂i ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî i-é êîîðäèíàòå, G ìåòðè÷åñêèéòåíçîð è g ij êîìïîíåíòû îáðàòíîãî òåíçîðà â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ. íàøåì ñëó÷àå det G = det G0 , òàê êàê ìàòðèöà A óíèìîäóëÿðíà, ïîýòîìó â êîîðäèíàòàõ (u1 , . . .
, un , z) îïåðàòîð ÁåëüòðàìèËàïëàñà íà ìíîãîîáðàçèè MAn+1 çàïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:∂2∂2+∆ = g (z),∂ui ∂uj ∂z 2ijãäå¡ z ln A ¢TG−1 (z) = (g ij (z)) = ez ln A G−1e.0Âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òîG (z) = −1ez ln B1z ln B1TG110 e...... e...z ln B1TG1k0...ez ln BkT,Tz ln B1z ln Bkez ln Bk Gk1. . . ez ln Bk Gkk0 e0 eαβãäå G−10 = (G0 ) ðàçáèåíèå íà ïîäìàòðèöû, èíäóöèðîâàííîå ðàçáèåíèåì ìàòðèöû A íà æîðäàíîâû êëåòêè.TαβÌàòðèöà ez ln Bα G0 ez ln Bβ ∈ Mat(nα , nβ ) è èìååò âèä:Tz ln Bβez ln Bα Gαβ= ez ln λα λβ Pαβ (z),0 ePαβ (z) ∈ Mat(nα , nβ ).αβÝëåìåíòû pij ìàòðèöû Pαβ (z) ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè îò êîîðäèíàòûz , ñòåïåíè êîòîðûõ ïðèâåäåíû â òàáëèöå:nα + nβ − 2.........nβ − 1...............66............433221nα − 1...210deg pαβij (z) = nα + nβ − i − jÒàêèì îáðàçîì, â êîîðäèíàòàõ (u1 , . .
. , un , z) îïåðàòîð ÁåëüòðàìèËàïëàñà íà MAn+1 èìååò âèä(k,k) (nα ,nβ )∆=X Xez ln λα λβ pαβij (z)α,β=1 i,j=1ξ = ξ(α, i) =α−1Xns + i,∂2∂2.+∂uξ ∂uη ∂z 2η = η(β, j) =s=1β−1X(2.2)ns + j.s=1Çäåñü èíäåêñû α è β îïðåäåëÿþò ïîäìàòðèöó â G−1 (z), à èíäåêñû iè j ýëåìåíò âíóòðè ýòîé ïîäìàòðèöû.2.4 Ñïåêòð è ñîáñòâåííûå ôóíêöèèîïåðàòîðà ÁåëüòðàìèËàïëàñàÊâàíòîâûì àíàëîãîì çàäà÷è îá èíòåãðèðóåìîñòè ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà ðèìàíîâîé ìåòðèêè íà ìíîãîîáðàçèè ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ñïåêòðà è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà ÁåëüòðàìèËàïëàñà, îòâå÷àþùåãî ýòîé ìåòðèêå−∆Ψ = EΨ.(2.3) íàøåì ñëó÷àå, Ψ ∈ L2 (MAn+1 ), à ∆ îïèñàííûé âûøå îïåðàòîðÁåëüòðàìèËàïëàñà íà L2 (MAn+1 ).Òàê êàê êîýôôèöèåíòû ∆ çàâèñÿò òîëüêî îò z , òî âïîëíå åñòåñòâåííî ðàçäåëèòü ïåðåìåííûå è èñêàòü ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ∆ ââèäå:Ψγ (u, z) = e2πihγ,ui F (z),(2.4)Pn∗∗ãäå γ =i=1 γi ei ∈ Γ , (γi ∈ Z) ýëåìåíò äâîéñòâåííîé ðåøåòêèòîðà, à F ∈ L2 (R).
Çàìåòèì,ui îïðåäåëåíî ïîPn÷òî ñïàðèâàíèå hγ,Pnìîäóëþ Z: hγ, ui = hγ, u + i=1 ai ei i = hγ, ui + i=1 γi ai . Íî, òàêêàê e2πiZ = 1, òî ôóíêöèÿ Ψγ (u, z) îïðåäåëåíà êîððåêòíî íà MAn+1 .Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü (2.4) â óðàâíåíèå (2.3), (2.2), ïîëó÷èì:d2 F (z)−+ Qγ (z)F (z) = EF (z),dz 267(2.5)(k,k) (nα ,nβ )Qγ (z) = (2π)2X Xez ln λα λβ pαβij (z)hγ, fξ ihγ, fη i.(2.6)α,β=1 i,j=1Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à î ïîèñêå ñïåêòðà è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèéîïåðàòîðà Áåëüòðàìè-Ëàïëàñà íà SOL-ìíîãîîáðàçèè MAn+1 ñâåëàñüê îäíîìåðíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà (2.5) íà ïðÿìîé ñ ïîòåíöèàëîì Qγ (z).  ñëó÷àå n = 2, óðàâíåíèå (2.5) ïðèâîäèòñÿ ê òàê íàçûâàåìîìó ìîäèôèöèðîâàííîìó óðàâíåíèþ Ìàòüå [34].Ñâîéñòâà îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (2.5) õîðîøî èçó÷åíû.
Èçâåñòíî [2], ÷òî åñëè ïîòåíöèàë Qγ (z) → +∞ ïðè |z| →∞, òî ñóùåñòâóåò ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ñîáñòâåííûõd22ôóíêöèé Fk (z), k ∈ N îïåðàòîðà − dz2 +Qγ (z), ïðèíàäëåæàùèõ L (R),ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîòîðûõ Ek → +∞ ïðè k → ∞.Ëåììà 8. Åñëè γ 6= 0, òî Qγ (z) → +∞ ïðè |z| → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òîhγ, f1 i...Qγ (z) = (2π)2 · (hγ, f1 i, . . . , hγ, fn i) G−1 (z) .hγ, fn iÏîýòîìó Qγ (z) > 0 ïðè γ 6= 0, òàê êàê ìåòðèêà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà è âåêòîð (hγ, f1 i, . . . , hγ, fn i) 6= 0 ïðè γ 6= 0.Ïóñòü z → +∞ (ñëó÷àé z → −∞ ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî).Èç (2.6) ñëåäóåò, ÷òî ïîòåíöèàë Qγ (z) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ôóíêöèé âèäà eµz q(z), ãäå µ ∈ R, à q(z) ïîëèíîì. Ïîýòîìó,äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè (ïîñëå ïðèâåäåíèÿ âñåõ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ) íàéäåòñÿñëàãàåìîå òàêîå, ÷òî µ > 0.
Äåéñòâèòåëüíî, òîãäà, â çàâèñèìîñòèîò ïîëèíîìèàëüíî ñîìíîæèòåëÿ, ýòî ñëàãàåìîå áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê±∞, à ñëåäîâàòåëüíî è Qγ (z) → ±∞. Íî òàê êàê Qγ (z) > 0, òîîñòàíåòñÿ ëèøü âîçìîæíîñòü Qγ (z) → +∞. Äîêàæåì, ÷òî òàêîåñëàãàåìîå ñóùåñòâóåò.Ïðîñòðàíñòâî Rn , â êîòîðîì äåéñòâóåò ãèïåðáîëè÷åñêèé îïåðàòîð A, ðàñïàäàåòñÿ â ñóììó äâóõ èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ:Rn = VA− ⊕ VA+ ,VA− = ⊕λ<1 Vλ ,VA+ = ⊕λ>1 Vλ .×åðåç Vλ îáîçíà÷åíî êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî, ñîîòâåòñòâóþùåå λ.68Ëåììà 9.
Åñëè ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ìàòðèöà A ∈ SL(n, Z), òîAnn(VA+ ) ∩ Γ∗ = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê Rn = VA− ⊕ VA+ , òî Ann(VA+ ) = (VA− )∗ .Ïîýòîìó èìååì:Ann(VA+ ) ∩ Γ∗ = (VA− )∗ ∩ Γ∗ = (VA− ∩ Γ)∗ .Òàê êàê VA− ∩ Γ ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé àääèòèâíîé ãðóïïû Rn è ìíîæåñòâî åå òî÷åê äèñêðåòíî, òî VA− ∩Γ ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé [10]. Êðîìåòîãî, VA− ∩ Γ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî A. Òàêèì îáðàçîì, VA− ∩ Γ A-èíâàðèàíòíàÿ ïîäðåøåòêà Γ.Ïóñòü ñóùåñòâóåò íåíóëåâîé v ∈ VA− ∩ Γ.
Òîãäà An v ∈ VA− ∩ Γ,äëÿ ëþáûõ n ∈ N. Ñ îäíîé ñòîðîíû, òàê êàê ìíîæåñòâî VA− ∩ Γäèñêðåòíî, ñóùåñòâóåò ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü íóëÿ U â Rn òàêàÿ,÷òî îíà íå ñîäåðæèò íè îäíîé òî÷êè èç VA− ∩ Γ. À ñ äðóãîé ñòîðîíû,òàê êàê VA− ñîñòîèò èç âåêòîðîâ v äëÿ êîòîðûõ An v → 0 ïðè n → ∞,äëÿ âñåõ n íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî An v ∈ U . Ïðîòèâîðå÷èå. ÏîýòîìóVA− ∩ Γ = 0, à ñëåäîâàòåëüíî è Ann(VA+ ) ∩ Γ∗ = 0.Èç Ëåììû 9 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè γ 6= 0 äâîéñòâåííîéðåøåòêè â áàçèñå {fi }ni=1 ñóùåñòâóåò âåêòîð f0 ∈ Vλ0 ⊂ VA+ , äëÿêîòîðîãî hγ, f0 i 6= 0. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîf0 = f1 è λ0 = λ1 . Òîãäà2Qγ (z) = (2π)2 e2z ln λ1 p1111 (z)hγ, f1 i + .
. .Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ïîëèíîì p1111 (z) íå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì−111íóëåì, òàê êàê p11 (0) = (G0 )11 > 0 êàê äèàãîíàëüíûé ýëåìåíòïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû G−10 .Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó ýëåìåíòó γ ∈ Γ∗ \ {0} ìû ñîïîñòàâèëè ñåðèþ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðàÁåëüòðàìè-Ëàïëàñà íà öèëèíäðå C n+1 :γ 7→ (Ψγ,k , Eγ,k ),Ψγ,k (u, z) = e2πihγ,ui Fγ,k (z).Îäíàêî, ôóíêöèè Ψγ,k íå ÿâëÿþòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííûìè ôóíêöèÿìè íà MAn+1 = C n+1 /Z, òàê êàê îíè íå èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî69äåéñòâèÿ (2.1) äèñêðåòíîé ãðóïïû íà öèëèíäðå.
Åñòåñòâåííûì ñîîáðàæåíèåì ÿâëÿåòñÿ óñðåäíèòü ôóíêöèè ïî ýòîìó äåéñòâèþ, òî åñòüâìåñòî Ψγ,k ðàññìîòðåòü ðÿäΨγ,k (u, z) 7→Xe γ,k (u, z).Ψγ,k (An u, z + n) =: Ψ(2.7)n∈ZÏðåîáðàçîâàíèå (u, z) 7→ (Au, z + 1) ÿâëÿåòñÿ èçîìåòðèåé, ñëåäîâà(n)òåëüíî, îíî ñîõðàíÿåò îïåðàòîð Ëàïëàñà. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ Ψγ,k (u, z) :=Ψγ,k (An u, z + n) áóäåò ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.3) ñ òåì æå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì Eγ,k .Òåïåðü õî÷åòñÿ íàïèñàòü ñëåäóþùóþ öåïî÷êó ðàâåíñòâ:e γ,k (u, z) = ∆∆Ψ=XXnΨγ,k (A u, z + n) =n∈ZXn∈Ze γ,k (u, z).Eγ,k Ψγ,k (An u, z + n) = Eγ,k Ψ∆Ψγ,k (An u, z + n)(2.8)n∈Z×òîáû ýòè ðàâåíñòâà èç ôîðìàëüíûõ ïðåâðàòèëèñü â îñìûñëåííûå óòâåðæäåíèÿ, íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ðÿä (2.7) ñõîäèòñÿ êôóíêöèè, êîððåêòíî îïðåäåëåííîé íà MAn+1 , è ÷òî îïåðàòîð ÁåëüòðàìèËàïëàñà êîììóòèðóåò ñ îïåðàöèåé ñóììèðîâàíèÿ.d2 f (z)Èçâåñòíî [2], ÷òî äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ − dz 2 +v(z)f (z) =0, ãäå v(z) → +∞ ïðè |z| → +∞, âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõóñëîâèé:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
