Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков (1105116), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Äëÿ ëþáîãî α > 0 ñóùåñòâóåò M òàêîå, ÷òî |f (z)| ≥ eα|z| ïðè|z| ≥ M ;2. Äëÿ ëþáîãî α > 0 ñóùåñòâóåò M òàêîå, ÷òî |f (z)| ≤ e−α|z| ïðè|z| ≥ M . íàøåì ñëó÷àå (2.5), â ñèëó Ëåììû 8, v(z) = Qγ (z) − E → +∞ ïðè|z| → +∞. Êðîìå òîãî, âñå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè Fγ,k (z) ∈ L2 (R),ïîýòîìó, äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ ðàñòóùèì ïîòåíöèàëîì ìîæåò ðåàëèçîâàòüñÿ òîëüêî ñëó÷àé 2.Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò M = M (γ, k) òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ|z| > M âûïîëíåíî|Fγ,k (z)| ≤ e−|z| .(2.9)Äîêàæåì òåïåðü íåñêîëüêî ïðîñòûõ óòâåðæäåíèé, îáîñíîâûâàþùèõðàâåíñòâà (2.8).70PËåììà 10. Ðÿän∈Z(n)Ψγ,k (u, z) =òî÷å÷íî íà öèëèíäðå Cn+1nPn∈ZΨγ,k (An u, z + n) ñõîäèòñÿ ïî-= T × R.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (u0 , z0 ) ∈ C n+1 . ÒîãäàXXXn|Ψγ,k (An u0 , z0 +n)| = |e2πihγ,A u0 i Fγ,k (z0 +n)| ≤|Fγ,k (z0 +n)|.n∈Zn∈Zn∈ZÈñïîëüçóÿ îöåíêó (2.9), èìååì:Xz0|Fγ,k (z0 + n)| ≤ (e + e−z0)e−M −1MXe+|Fγ,k (z0 + n)|.e−1n=−Mn∈Zäëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî M .
Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå ëåììû 10.e γ,k ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííîéÒàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ Ψe γ,k ÿâëÿåòñÿ òàêôóíêöèåé íà C n+1 . Êðîìå òîãî, ëåãêî âèäåòü, ÷òî Ψæå ôóíêöèåé è íà ôàêòîðå C n+1 /Z, òàê êàê îíà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ (u, z) 7→ (Au, z + 1).Ëåììà 11.1. ÐÿäPn∈Z(n)Ψγ,k (u, z) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà Tn × [0, 1];(n)2. Ψγ,k (u, z) ∈ L2 (C n+1 ) ⊂ L2 (Tn × [0, 1]);e γ,k ∈ L2 (M n+1 ).3. ΨAÄîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïóíêòà 1, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî îñòàòîê ðÿäà ðàâíîìåðíî ñòðåìèòüñÿ ê íóëþíà Tn ×[0, 1].
Èç äîêàçàòåëüñòâà Ëåììû 10 ñëåäóåò, ÷òî îñòàòîê ðÿäàX|n|>M(n)Ψγ,k (u, z)e−M≤ (e + e ).e−1z−zÝòî íåðàâåíñòâî âåðíî äëÿ âñåõ z ∈ [0, 1] ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîìM . Ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè M → ∞, ÷òî äîêàçûâàåòïåðâîå óòâåðæäåíèå ëåììû.71Äàëåå,ZZ(n)|Ψγ,k |2Tn ×[0,1]C n+1Z= area(Tn )(n)|Ψγ,k |2 dudzdudz ≤|Fγ,k (z + n)|2 dz = area(Tn ) · ||Fγ,k ||2L2 (R) < ∞.RÈç ïåðâûõ äâóõ óòâåðæäåíèé ëåììû ñëåäóåò, ÷òîe γ,k ∈ L2 (Tn × [0, 1]).ΨÏðîñòðàíñòâî MAn+1 = C n+1 /Z ïîëó÷àåòñÿ èç Tn × [0, 1] îòîæäåñòâëåíèåì ãðàíè÷íûõ òîðîâ ïîñðåäñòâîì àâòîìîðôèçìà çàäàâàåìîãîìàòðèöåé A ∈ SL(n, Z). ÏîýòîìóZZe γ,k | ≤|Ψe γ,k |2 ,|Ψ2MAn+1Tn ×[0,1]÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû.(n)(n)Èç Ëåìì 10, 11 è òîãî, ÷òî ∆Ψγ,k (u, z) = Eγ,k Ψγ,k (u, z) ñëåäóåò,÷òî îïåðàòîð ÁåëüòðàìèËàïëàñà ìîæíî ïåðåñòàâëÿòü ñ îïåðàöèåéñóììèðîâàíèÿ.Òàêèì îáðàçîì, öåïî÷êà ðàâåíñòâ (2.8) îáîñíîâàíà è ïåðåõîä îòe γ,k íà ôàêòîðå M n+1 =ôóíêöèé Ψγ,k íà öèëèíäðå ê ôóíêöèÿì ΨAn+1C /Z êîððåêòåí.Èòàê, êàæäîìó ýëåìåíòó γ ∈ Γ∗ \{0} äâîéñòâåííîé ðåøåòêè òîðàTn ìû ñîïîñòàâèëè ñåðèþ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è íàñòîÿùèõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà ËàïëàñàÁåëüòðàìè íà ïðîñòðàíñòâåL2 (MAn+1 ):e γ,k (u, z), Eγ,k ),γ 7→ (ΨXXne γ,k (u, z) =ΨΨγ,k (An u, z + n) =e2πihγ,A ui Fγ,k (z + n).n∈Zn∈ZÐàññìîòðèì òåïåðü åñòåñòâåííîå äåéñòâèå öèêëè÷åñêîé ïîäãðóïïû{A∗ } ⊂ SL(n, Z) íà Γ∗ .
×åðåç [γ] îáîçíà÷èì îðáèòó ýòîãî äåéñòâèÿ:[γ] = {(A∗ )n γ, n ∈ Z}.72Ëåììà 12. Åñëè òî÷êè ðåøåòêè γ1 , γ2 ∈ Γ∗ \ {0} ïðèíàäëåæàòîäíîé îðáèòå äåéñòâèÿ {A∗ } : Γ∗ , òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ñîâïàäàþò.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó γ1 , γ2 ëåæàò íà îäíîé îðáèòå, òî ñóùåñòâóåò N ∈ Z òàêîå, ÷òî γ2 = (A∗ )N γ1 . ÒîãäàXe γ ,k (u, z) =ΨΨ(A∗ )N γ1 ,k (An u, z + n).2n∈ZËåììà 13. ΨA∗ γ,k (u, z) = Ψγ,k (Au, z + 1).Äîêàçàòåëüñòâî.∗ΨA∗ γ,k (u, z) = e2πihAγ,uiFA∗ γ,k (z) = e2πihγ,Aui FA∗ γ,k (z).Ôóíêöèÿ FA∗ γ,k ÿâëÿåòñÿ k -ûì ðåøåíèåì îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿØðåäèíãåðà ñ ïîòåíöèàëîì QA∗ γ .QA∗ γ (z) = (2π)2 g ij (z)hA∗ γ, fi ihA∗ γ, fj i= (2π)2 (hA∗ γ, f1 i, .
. . , hA∗ γ, fn i) · G−1 (z) · (hA∗ γ, f1 i, . . . , hA∗ γ, fn i)T= (2π)2 (hγ, Af1 i, . . . , hγ, Afn i) · G−1 (z) · (hγ, Af1 i, . . . , hγ, Afn i)T= (2π)2 (hγ, f1 i, . . . , hγ, fn i) · AG−1 (z)AT · (hγ, f1 i, . . . , hγ, fn i)T= (2π)2 (hγ, f1 i, . . . , hγ, fn i) · G−1 (z + 1) · (hγ, f1 i, . . . , hγ, fn i)T= (2π)2 g ij (z + 1)hγ, fi ihγ, fj i = Qγ (z + 1).Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ FA∗ γ,k (z) ÿâëÿåòñÿ k -ûì ðåøåíèåì îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ ïîòåíöèàëîì QA∗ γ (z) = Qγ (z + 1).Ñëåäîâàòåëüíî FA∗ γ,k (z) = Fγ,k (z + 1). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:ΨA∗ γ,k (u, z) = e2πihγ,Aui Fγ,k (z + 1) = Ψγ,k (Au, z + 1).Ëåììà 13 äîêàçàíà.Èñïîëüçóÿ Ëåììó 11 ïîëó÷àåì:e γ ,k (u, z) =Ψ2=XXΨ(A∗ )N γ1 ,k (An u, z + n)n∈Zn+NΨγ1 ,k (Ae γ ,k (u, z).u, z + n + N ) = Ψ1n∈ZËåììà 12 äîêàçàíà.73Òàêèì îáðàçîì, ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿîïåðàòîðà Ëàïëàñà-Áåëüòðàìè ïàðàìåòðèçóþòñÿ íå òî÷êàìè äâîéñòâåííîé ðåøåòêè, à öåëûìè îðáèòàìè:[γ] 7→ (Ψ[γ],k , E[γ],k ),XeΨ[γ],k (u, z) := Ψγ,k (u, z) =Ψγ,k (An u, z + n).(2.10)n∈ZÐàññìîòðèì îòäåëüíî ñëó÷àé γ = 0.
Îäíîìåðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà (2.5) ïðèíèìàåò ñîâñåì ïðîñòîé âèä:d2 F (z)+ EF (z) = 0.dz 2Ïîýòîìó ïðè γ = 0 ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé:(1, 0),(cos kπz, (πk)2 ),(sin kπz, (πk)2 ).Òåîðåìà 13. Íàáîð ôóíêöèé {Ψ[γ],k , γ ∈ Γ∗ \{0}}∪{1, cos kπz, sin kπz}ãäå k ∈ N îáðàçóåò ñîáñòâåííûé áàçèñ îïåðàòîðà ËàïëàñàÁåëüòðàìè â ïðîñòðàíñòâå L2 (MAn+1 ). Ïðè ýòîì ôóíêöèè Ψ[γ],k îòâå÷àåòñîáñòâåííîå çíà÷åíèå E[γ],k , ÿâëÿþùååñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåìîïåðàòîðà Øðåäèíãåðà íà ïðÿìîé ñ ïîòåíöèàëîì Qγ (z) (2.6).Äîêàçàòåëüñòâî.
Îðòîãîíàëüíîñòü è íåçàâèñèìîñòü ýòèõ ôóíêöèéî÷åâèäíà. Íàì îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî óêàçàííûé íàáîð ôóíêöèéÿâëÿåòñÿ ïîëíûì â L2 (MAn+1 ).Èçâåñòíî [3, 25], ÷òî åñëè M êîìïàêòíîå ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèå, òî â L2 (M ) ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèéèç áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà ÁåëüòðàìèËàïëàñà (ýòî ñëåäóåò èç ýëëèïòè÷íîñòè îïåðàòîðà).Ïîýòîìó äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîëíîòû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ Φ ∈ L2 (MAn+1 ) îðòîãîíàëüíà âñåì ôóíêöèÿìèç íàøåãî íàáîðà, òî îíà, íà ñàìîì äåëå, òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ[20].Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ îêðóæíîñòè S 1 = T1 , ñèñòåìà ôóíêöèé{φγ (u) = e2πihγ,ui , γ ∈ Γ∗ }74îáðàçóåò ïîëíûé îðòîãîíàëüíûé íàáîð â L2 (Tn ), Tn = Rn /Γ [20].Ïîýòîìó êàæäûé ýëåìåíò Φ ∈ L2 (MAn+1 ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåðÿäàXe2πihγ,ui cγ (z).Φ(u, z) =γ∈Γ∗Ýòî ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè Φ ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå {φγ } . Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå cγ îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé1cγ (z) =||φγ ||2L2 (Tn )ZΦ(u, z)φγ (u)dµ.TnÁåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü Φ êàê ôóíêöèþíà öèëèíäðå C n+1 .
Òîãäà cγ áóäåò íåêîòîðîé ãëàäêîé ôóíêöèåé íàïðÿìîé.Ëåììà 14. Åñëè γ 6= 0, òî cγ ∈ Là 2 (R).Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê Φ ∈ L2 (MAn+1 ), òî Φ(Au, z + 1) = Φ(u, z).Ñëåäîâàòåëüíî,XX2πihγ,uiecγ (z) =e2πihγ,Aui cγ (z + 1)γ∈Γ∗=Xγ∈Γ∗∗e2πihAγ,uicγ (z + 1) =γ∈Γ∗Xe2πihγ,ui c(A∗ )−1 γ (z + 1).γ∈Γ∗Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíòû Ôóðüå óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåìóóñëîâèþ:cγ (z + 1) = cA∗ γ (z).Èëè â áîëåå îáùåì âèäåcγ (z + n) = c(A∗ )n γ (z), n ∈ Z.Åñëè γ 6= 0, òî èç ãèïåðáîëè÷íîñòè ìàòðèöû A ñëåäóåò, ÷òî (A∗ )n γ →∞ ïðè n → ±∞.
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû Ôóðüå òåìáûñòðåå ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, ÷åì ëó÷øå äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâàðàññìàòðèâàåìîé ôóíêöèè.  ÷àñòíîñòè, åñëè íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿèìååò k ïðîèçâîäíûõ, òî åå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå cn óäîâëåòâîðÿþò75³ñëåäóþùåé îöåíêå: cn = oñëó÷àå áóäåì èìåòü1|n|kµ´1c(A∗ )n γ (z) = o|(A∗ )n γ|kïðè n → ±∞ [1]. Ïîýòîìó â íàøå춵1=o(Λn )k¶, n → ±∞,ãäå Λ ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû A.  ñèëó ãèïåðáîëè÷íîñòè Λ > 1. Èç ýòîé îöåíêè è ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâàñëåäóåò, ÷òî êîýôôèöèåíòû cγ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòèäîñòàòî÷íî áûñòðî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèíàäëåæàòü L2 (R).Ïóñòü òåïåðü Φ îðòîãîíàëüíà âñåì ôóíêöèÿì {Ψ[γ0 ],k , γ0 ∈ Γ∗ \{0}}.
Òîãäà èìååìZ0 = hΦ, Ψ[γ0 ],k iL2 (MAn+1 ) =ZX=MAn+1Z1=0=e2πihγ,ui cγ (z)X∗ ne−2πih(A) γ0 ,uiF̄(A∗ )n γ0 ,k (z)dσZγ∈Γ∗ ,n∈Zn∈ZXn∈ZZ1 X0MAn+1γ∈Γ∗Φ(u, z)Ψ̄[γ0 ],k (u, z)dσ∗ ne2πihγ,ui e−2πih(A) γ0 ,uidµ cγ (z)F̄(A∗ )n γ0 ,k (z)dzTnZ∗ ne2πih(A) γ0 ,ui −2πih(A∗ )n γ0 ,uiedµ c(A∗ )n γ0 (z)F̄(A∗ )n γ0 ,k (z)dzTn= area(Tn )Z1 X0= area(Tn )n∈ZZ1 XZ0= area(Tn )c(A∗ )n γ0 (z)F̄(A∗ )n γ0 ,k (z)dzcγ0 (z + n)F̄γ0 ,k (z + n)dzn∈Zcγ0 (z)F̄γ0 ,k (z)dz = area(Tn ) · hcγ0 , Fγ0 ,k iL2 (R) .RÒàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíò Ôóðüå cγ0 ïðèíàäëåæèò L2 (R) ïðèγ0 6= 0 è îðòîãîíàëåí êî âñåì ôóíêöèÿì Fγ0 ,k , êîòîðûå îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â L2 (R). Ñëåäîâàòåëüíî, cγ0 ≡ 0 äëÿ76γ0 6= 0. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ Φ èìååò âèä Φ(u, z) = c0 (z), ãäå c0 1ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Òåïåðü ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî Φ îðòîãîíàëüíàêî âñåì ôóíêöèÿì {cos kπz, sin kπz}, k ∈ N, êîòîðûå îáðàçóþò ïîëíûé íàáîð â L2 (S 1 ), ïîëó÷àåì, ÷òî è c0 ≡ 0.
Ïîëíîòà, à âìåñòå ñ íåéè òåîðåìà, äîêàçàíû.77Ëèòåðàòóðà[1] Áàðè Í. Ê., Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû, Ì.: Ôèçìàòãèç, 1961.[2] Áåðåçèí Ô. À., Øóáèí Ì. À., Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, Ì.: ÌÃÓ,1983.[3] Áåññå À., Ìíîãîîáðàçèÿ ñ çàìêíóòûìè ãåîäåçè÷åñêèìè, Ì.:Ìèð, 1981.[4] Áîãîÿâëåíñêèé Î.
È., Èíòåãðèðóåìûå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà íààëãåáðàõ Ëè, âîçíèêàþùèå â çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì., 1984, 48:5, 883938.[5] Áîëñèíîâ À. Â., Êðèòåðèé ïîëíîòû ñåìåéñòâà ôóíêöèé âèíâîëþöèè, ïîñòðîåííîãî ìåòîäîì ñäâèãà àðãóìåíòà, ÄÀÍÑÑÑÐ, 1988, ò.301, 5. ñ.1037-1040.[6] Áîëñèíîâ À. Â., Ñîãëàñîâàííûå ñêîáêè Ïóàññîíà íà àëãåáðàõËè è ïîëíîòà ñåìåéñòâ ôóíêöèé â èíâîëþöèè, Èçâåñòèÿ ÀÍ.ÑÑÑÐ, Ñåð. ìàòåì., 1991, 55, 1, 68-92.[7] Áîëñèíîâ À. Â., Ïîëíûå èíâîëþòèâíûå íàáîðû ïîëèíîìîâ âïóàññîíîâûõ àëãåáðàõ: äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû ÌèùåíêîÔîìåíêî, Òðóäû ñåìèíàðà ïî âåêò. è òåíç.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
