Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòíà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 517.938.5+514.762Ìîðîçîâ Ïàâåë Âàëåðüåâè÷Òîíêàÿ ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿíåêîòîðûõ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâìåõàíèêè òâåðäîãî òåëà01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿäèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:àêàäåìèê À. Ò. ÔîìåíêîÌÎÑÊÂÀ 2006ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà1.116Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.116Ïîíÿòèå èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû. . . . . . . . . . . . . . .161.1.2Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. . . . . . . . . . . .171.1.3Îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. . . . .1.2619Èíâàðèàòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû . . . . . . .201.2.1Èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè. . .
.211.2.2Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà. . . . . .221.2.3Ñòðóêòóðà êðèòè÷åñêèõ ìíîæåñòâ íàèçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. . . . .1.2.423Îêðåñòíîñòè ñèíãóëÿðíûõ ñëîåâ ëèóâèëëåâà ñëîåíèÿ íà èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. . . . . . . . . . . . .1.2.523Ìàòðèöû ñêëåéêè è äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò. . . . . . . . . .
. . .2251.31.2.6×èñëîâûå ìåòêè. . . . . . . . . . . . .271.2.7Ôîðìóëà Òîïàëîâà. . . . . . . . . . . .29Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû â ìåõàíèêå òâåðäîãî òåëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301.3.1Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî. . . . . . . . . .301.3.2Îñíîâíûå ñëó÷àè èíòåãðèðóåìîñòè..321.3.3Ðåçóëüòàòû ëèóâèëëåâîé êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ. .
. . . .352 Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Ñòåêëîâà382.1Ãðóáàÿ ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ ñèñòåì ñëó÷àÿ Ñòåêëîâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.2Êëàññèôèêàöèÿ êðóãîâûõ ñëîåíèé Ëèóâèëëÿ . . . . . .432.3Êëàññèôèêàöèÿ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ 442.4Êðóãîâûå ìîëåêóëû âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò .562.5Ïîñòðîåíèå äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò . .
. . . . .612.6Îïðåäåëåíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâ 672.7Àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòà Ôîìåíêî-Öèøàíãà .692.8Ïðèìåð âû÷èñëåíèÿ ìå÷åíîé ìîëåêóëû . . . . . . . . .693 Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Êëåáøà723.1Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû, ñåìåéñòâà òîðîâ è èõ ïåðåñòðîéêè . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .733.2Êëàññèôèêàöèÿ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ 753.3Êðóãîâûå ìîëåêóëû âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò .803.4Äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò . . . . . . . . . . . . .8133.5Îïðåäåëåíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâ 833.6Ðàçðåøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé ñ îðèåíòàöèÿìè3.7Âû÷èñëåíèå ìîíîäðîìèè îñîáåííîñòè òèïà ôîêóñ-ôîêóñ 913.8Ïîëíûé ñïèñîê èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë ñëó÷àÿ Êëåá-3.9. . . .89øà .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93Ýêâèâàëåíòíîñòè ñëó÷àåâ Ýéëåðà, Êëåáøà è Ñòåêëîâà934 Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà4.196Ãàìèëüòîíèàí è äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .964.2Ðåçóëüòàòû Ï. Å. Ðÿáîâà964.3Íåâûðîæäåííûå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ñëó÷àå Ñîêî-. . . . . . . . . . . . . . . . .ëîâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .984.4Êðóãîâûå ìîëåêóëû âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò . 1064.5Ïîñòðîåíèå äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò .
. . . . . . 1074.6Îïðåäåëåíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâ 1094.7Ïðèìåíåíèå ôîðìóëû Òîïàëîâà. . . . . . . . . . . . . 1125 Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîéßõüè ïðè g = 01155.1Ãàìèëüòîíèàí è äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë . . . . . . . 1165.2Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû, ñåìåéñòâà òîðîâ è èõ ïåðåñòðîéêè . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.3Êëàññèôèêàöèÿ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ 1205.4Êðóãîâûå ìîëåêóëû âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò . 1295.5Ïîñòðîåíèå äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò . . . . . . . 1315.6Îïðåäåëåíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâ 13445.7Ïðèìåíåíèå ôîðìóëû Òîïàëîâà. . . . . . . .
. . . . . 136Ñïèñîê òàáëèö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138Ñïèñîê ðèñóíêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139Ñïèñîê ëèòåðàòóðû140. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5ÂâåäåíèåÀêòóàëüíîñòü òåìûÄèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà âû÷èñëåíèþ ãëîáàëüíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ èíâàðèàíòîâ ñëîåíèé Ëèóâèëëÿ äëÿ èçâåñòíûõ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè ìåõàíèêè òâåðäîãî òåëà.  ðàáîòå íàõîäÿò àêòèâíîå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ðàíåå ïðåäëîæåííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòîâ (ìåòîä êðóãîâûõ ìîëåêóë [1, 2] è ôîðìóëà Òîïàëîâà [3]), à òàêæå äåìîíñòðèðóþòñÿ íîâûå ïîäõîäûè òåõíè÷åñêèå ïðèåìû.Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà âåäåò ñâîþ èñòîðèþ ñ 1765 ãîäà, êîãäà Ë.
Ýéëåðîì [4] áûëà ïîñòàâëåíà è ðåøåíà çàäà÷à î äâèæåíèè òåëà, çàêðåïëåííîãîâ öåíòðå ìàññ â ïîëå òÿæåñòè. Âûäàþùèåñÿ ìàòåìàòèêè ðàçíûõ ýïîõ, â èõ÷èñëå Ëàãðàíæ, Êèðõãîô, Ñ. Â. Êîâàëåâñêàÿ, Í. Å. Æóêîâñêèé, À. Ì. Ëÿïóíîâ, Ñ. À. ×àïëûãèí, Ë. Í. Ñðåòåíñêèé è äðóãèå, âíåñëè â åå ðàçâèòèå ñâîéâêëàä. Ïî ñåãîäíÿøíèé äåíü ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà îñòàåòñÿ îäíîé èç äèíàìè÷åñêè ðàçâèâàþùèõñÿ êëàññè÷åñêèõ îáëàñòåé ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîéíàóêè. íàøè äíè â ìåõàíèêå òâåðäîãî òåëà ìîæíî âûäåëèòü ÷åòûðå îñíîâíûõíàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé:1.
Ïîèñê íîâûõ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè, â òîì ÷èñëå ñ ïðèâëå÷åíèåìêîìïüþòåðíûõ ìåòîäîâ, ïîëó÷åíèå ïîëíîãî ñïèñêà èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì (Õ. Ì. ßõüÿ [5, 6], Ñîêîëîâ [7, 8], Ò. Âîëüô, Î. Â. Åôèìîâñêàÿ [9],6À. Â. Áîðèñîâ, È. Ñ. Ìàìàåâ [10] è äð.)2. Èçó÷åíèå èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì c ïðèâëå÷åíèåì àëãåáðàè÷åñêèõ ìåòîäîâ, èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ ïðåäñòàâëåíèé â ôîðìå Ëàêñà è ñïåêòðàëüíûõ êðèâûõ (Ì. Îäåí [11], Þ. À.
Áðàèëîâ [12], À. Â. Áîðèñîâ, È. Ñ. Ìàìàåâ [10], Â. Â. Ñîêîëîâ, À. Â. Öûãàíêîâ [13] è äð.)3. Èññëåäîâàíèå òîïîëîãèè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì,êëàññèôèêàöèÿ îñîáåííîñòåé, ïîñòðîåíèå áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì èîïðåäåëåíèå òèïîâ áèôóðêàöèé, âû÷èñëåíèå ëîêàëüíûõ è ãëîáàëüíûõèíâàðèàíòîâ ñëîåíèé Ëèóâèëëÿ, òðàåêòîðíûõ èíâàðèàíòîâ (À. Ò.
Ôîìåíêî, Õ. Öèøàíã [14], À. Â. Áîëñèíîâ [15], À. À. Îøåìêîâ [16, 17],Â. Ñ. Ìàòâååâ [18], Ì. Ï. Õàðëàìîâ [19], Ï. Òîïàëîâ [3], Î. Å. Îðåë [20],Ï. Å. Ðÿáîâ [21, 22, 23, 24] è äð.)4. Èçó÷åíèå è êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåì áëèçêèõ ê èíòåãðèðóåìûì, ÊÀÌòåîðèÿ (Â. Â. Êîçëîâ [25, 26], À. Â. Áîðèñîâ, Ê.
Â. Åìåëüÿíîâ [27], À. È. Êèðüÿíîâ [28] è äð.)Äàííàÿ äèññåðòàöèîííàÿ ðàáîòà ïðèíàäëåæèò ê òðåòüåìó íàïðàâëåíèþ:îíà ïîñâÿùåíà ðàçâèòèþ òåõíèêè âû÷èñëåíèÿ ãëîáàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ëèóâèëëåâûõ ñëîåíèé èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà [1, 14] è åå ïðàêòè÷åñêîìó ïðèìåíåíèþ äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëíîãî ñïèñêà èíâàðèàíòîâ ðÿäàèçâåñòíûõ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè. Èíâàðèàíò Ôîìåíêî-Öèøàíãà òàêæåíàçûâàþò ìå÷åíîé ìîëåêóëîé èëè òîíêèì ëèóâèëëåâûì èíâàðèàíòîì.Âû÷èñëåíèå èíâàðèàíòîâ ñëîåíèé â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ Ýéëåðà è Ëàãðàíæà ïðîâîäèòñÿ ïðÿìûìè ìåòîäàìè [1], îäíàêî äëÿ áîëåå ñëîæíûõ ñèñòåìïîòðåáîâàëîñü ñîçäàíèå ñïåöèàëüíîé òåõíèêè.
 ðàáîòå [2] À. Ò. Ôîìåíêî,À. Â. Áîëñèíîâ, Ï. Ðèõòåð ïðåäëîæèëè ìåòîä êðóãîâûõ ìîëåêóë è óñïåøíî ïðèìåíèëè åãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòîâ âîë÷êà Êîâàëåâñêîé. Ðàíåå7Ï. Òîïàëîâ [3] íàøåë ôîðìóëó, óñòàíàâëèâàþùóþ ñâÿçü ìåæäó òîïîëîãèåéíåñóùåãî òðåõìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ è èíâàðèàíòîì Ôîìåíêî-Öèøàíãà, ÷òîïîçâîëèëî åìó ïîëíîñòüþ âû÷èñëèòü ìå÷åíûå ìîëåêóëû äëÿ ñëó÷àÿ Æóêîâñêîãî. íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè ïîêàçàíî, êàê êîìáèíàöèÿ ýòèõ äâóõ ïîäõîäîâ, ñ ïðèâëå÷åíèåì íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ñîîáðàæåíèé è òåõíè÷åñêèõ ïðèåìîâ, ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ïîëíûé ñïèñîê èíâàðèàíòîâ ÔîìåíêîÖèøàíãà â ñëó÷àÿõ èíòåãðèðóåìîñòè Êëåáøà [29], Ñòåêëîâà [30], Ñîêîëîâà [7], à òàêæå Êîâàëåâñêîé-ßõüè [5, 6] ïðè íóëåâîì èíòåãðàëå ïëîùàäåé.Öåëü ðàáîòûÂû÷èñëåíèå ïîëíîãî ñïèñêà èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà è êðóãîâûõ ìîëåêóë îñîáåííîñòåé, êëàññèôèêàöèÿ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿäëÿ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì Êëåáøà, Ñòåêëîâà, Ñîêîëîâà è Êîâàëåâñêîéßõüè (ïðè íóëåâîì èíòåãðàëå ïëîùàäåé).
Ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå è îáîãàùåíèå òåõíèêè âû÷èñëåíèÿ ãëîáàëüíûõ ëèóâèëëåâûõ èíâàðèàíòîâ.Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ðàáîòå èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû òîïîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ïðè ïðîâåðêå íåâûðîæäåííîñòè ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû èêëàññè÷åñêîé äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè ñ ïðèâëå÷åíèåì êîìïüþòåðíûõïàêåòîâ ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé.Íàó÷íàÿ íîâèçíàÐåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì:81. Âû÷èñëåíû âñå èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè Êëåáøà, Ñòåêëîâà, Ñîêîëîâà, à òàêæå Êîâàëåâñêîé-ßõüè ïðè íóëåâîì èíòåãðàëå ïëîùàäåé.2.
Âû÷èñëåíû âñå êðóãîâûå ìîëåêóëû âûøåïåðå÷èñëåííûõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì.3. Ïîëó÷åíî äîêàçàòåëüñòâî íåâûðîæäåííîñòè è äàíà êëàññèôèêàöèÿ òî÷åê ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåì.4. Ïîëó÷åíî òîïîëîãè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî èçîìîðôíîñòè ñëîåíèé Ëèóâèëëÿ ñèñòåì Ýéëåðà, Êëåáøà è Ñòåêëîâà äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòüÏîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ óñòàíîâëåíèÿ èçîìîðôèçìîâ ëèóâèëëåâûõ ñëîåíèé ðàçëè÷íûõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, ïðèèçó÷åíèè âîçìóùåíèé èññëåäîâàííûõ ñèñòåì, â òîì ÷èñëå íåèíòåãðèðóåìûõ.Ïîëíîå îïèñàíèå êðóãîâûõ ìîëåêóë ìîæåò áûòü ïîëåçíî ïðè ñîñòàâëåíèèñïèñêà íàèáîëåå òèïè÷íûõ îñîáåííîñòåé ñëîåíèé â èíòåãðèðóåìûõ çàäà÷àõìåõàíèêè è ôèçèêè.
Ïîäðîáíî îïèñàííàÿ è ïðîäåìîíñòðèðîâàííàÿ íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ òåõíèêà âû÷èñëåíèé ãëîáàëüíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ èíâàðèàíòîâ ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà ïðè êëàññèôèêàöèè ñëîåíèé äðóãèõ ñëó÷àåâèíòåãðèðóåìîñòè.Àïðîáàöèÿ äèññåðòàöèèÐåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà ìåæäóíàðîäíûõ êîíôåðåíöèÿõ:Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics (Êèåâ, 2003), Ìåæäóíàðîäíûéñåìèíàð èìåíè Ëîáà÷åâñêîãî Ñîâðåìåííàÿ ãåîìåòðèÿ è òåîðèÿ ôèçè÷åñêèõ9ïîëåé (Êàçàíü, 2002). Ðåçóëüòàòû òàêæå äîêëàäûâàëèñü íà êîíôåðåíöèèÀëåêñàíäðîâñêèå ÷òåíèÿ (Ìîñêâà, 2006), íà çàñåäàíèÿõ Âîðîíåæñêîé çèìíåé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëû èì Ñ. Â. Êðåéíà (Âîðîíåæ, 2002), íà ãåîìåòðè÷åñêîì ñåìèíàðå ïðîô.
Êíèïïåðà (Áîõóìñêèé óíèâåðñèòåò, Ãåðìàíèÿ, 2003),íà ñåìèíàðå Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðîô. À. Ì. Ñòåïèíà (ìåõ-ìàò ÌÃÓ, 2001), íà ñåìèíàðå Íåêîììóòàòèâíàÿ ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿ ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðîô. À. Ñ. Ìèùåíêî (ìåõ-ìàò ÌÃÓ, 2006), àòàêæå ìíîãîêðàòíî íà ñåìèíàðå Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû ïîäðóêîâîäñòâîì àêàä. À. Ò. Ôîìåíêî è ïðîô. À. Ñ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
