Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Åé ñîîòâåòñòâóåò ãðóáàÿ ìîëåêóëà:% AA &C2A %& AÂûïèøåì äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò àòîìîâ ìîëåêóëû:(I)A α → (λα1 , λβ4 )(λγ1 , λβ2 )(I)&1C2 γ(I)A α → (λα1 , λβ4 )1(II)%(λγ1 , λβ2 )(λγ1 , −λβ1 )(II)1(I)%(II)(λα2 , λβ1 ) → A α2(II)&(λγ1 , −λβ1 )(λα2 , λβ1 ) → A α2Ïî ðèñ. 7 âû÷èñëÿåì ìàòðèöû ñêëååê:λγ11 1=λβ21 0λα2=λα1λβ411λγ10 −1λβ1−λβ1Âû÷èñëÿÿ ïî ìàòðèöàì ñêëååê ìåòêè, ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíûé âèä èíâàðèàíòà Ôîìåíêî-Öèøàíãà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïðÿìîé:r=0r=0ε=1ε=1A&%AC2A% n=2 &Ar=0r=0ε=1ε=1Ñîïîñòàâëÿÿ ýòîò ðåçóëüòàò ñ ðåçóëüòàòàìè ëèóâèëëåâîé êëàññèôèêàöèèñëó÷àÿ Ýéëåðà [1, ò.2, ãë.5], çàêëþ÷àåì, ÷òî èõ ìîëåêóëû áîëüøèõ ýíåðãèé70ñîâïàäàþò.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìû Ñòåêëîâà è Ýéëåðà ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòû íà Q3h ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ h. Ýòîò ôàêò ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü,ðàññìàòðèâàÿ ñëó÷àé Ñòåêëîâà êàê îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå âîçìóùåíèå ñëó÷àÿ Ýéëåðà â êëàññå èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì (ïî àíàëîãèè ñ òåîðåìîé 11).Òî, ÷òî íàøè âû÷èñëåíèÿ ïîäòâåðæäàþò ýòîò âûâîä, ãîâîðèò â ïîëüçó ïðàâèëüíîñòè ïðîäåëàííîãî àíàëèçà.71Ãëàâà 3Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿèíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Êëåáøà äàííîé ãëàâå âû÷èñëÿþòñÿ òîíêèå ëèóâèëëåâû èíâàðèàíòû èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àé Êëåáøà (1871 ãîä) [29] äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà â æèäêîñòè.Ñóùåñòâóåò òàêæå äðóãàÿ ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ äâèæåíèå òâåðäîãîòåëà, çàêðåïëåííîãî â öåíòðå ìàññ, â ëèíåéíîì ïîëå ñèë [39].
Îíà ïðèâîäèò êòåì æå äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ãàìèëüòîíèàí è äîïîëíèòåëüíûéèíòåãðàë ñèñòåìû, çàïèñàííûå â êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ íà e(3)∗ , èìåþâèä:s21s22s23εH=+++ (A1 r12 + A2 r22 + A3 r32 ),2A1 2A2 2A3 21εF = (s21 + s22 + s23 ) − (A2 A3 r12 + A1 A3 r22 + A1 A2 r32 ).22Ïðîñòîòà ýòèõ ôóíêöèé ïî ñðàâíåíèþ ñî ñëó÷àåì Ñòåêëîâà îáìàí÷èâà: äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìåòîê ìîëåêóë ïðèõîäèòñÿ ïðèâëåêàòü áîëåå øèðîêèéñïåêòð ìåòîäîâ. Èìåííî ïîýòîìó ìû èçëàãàåì ãëàâû, ïîñâÿùåííûå ñëó÷àÿìè Ñòåêëîâà è Êëåáøà â òàêîì ïîðÿäêå.
Îòäåëüíî îòìåòèì, ÷òî â ñèñòåìåÊëåáøà íàáëþäàþòñÿ âñå ÷åòûðå òèïà òî÷åê íåâûðîæäåííîãî ïîëîæåíèÿðàâíîâåñèÿ: öåíòð-öåíòð, ñåäëî-öåíòð, ñåäëî-ñåäëî è ôîêóñ-ôîêóñ. Ïðè ýòîì72îñîáåííîñòü ñåäëî-ñåäëî èìååò òèï íå ïðÿìîãî, à ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ 2-àòîìîâ.3.1 Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû, ñåìåéñòâà òîðîâ è èõ ïåðåñòðîéêè ãàìèëüòîíèàí ñëó÷àÿ Êëåáøà âõîäÿò ÷åòûðå ïàðàìåòðà: A1 , A2 , A3 , èε. ÏîëàãàÿA0i=p|ε| è ïîäåëèâ ãàìèëüòîíèàí íàp|ε|, ìû ïîëó÷àåì ãà-ìèëüòîíèàí ñ ïàðàìåòðàìè A01 , A02 , A03 , è ε = ±1.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíîèññëåäîâàòü ëèøü ãàìèëüòîíèàíû ñ ε = ±1.Êàê è â ñëó÷àå Ñòåêëîâà, âñå ãàìèëüòîíèàíû ñëó÷àÿ Êëåáøà ïðåäñòàâèìû â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè äâóõ êîììóòèðóþùèõ ôóíêöèé:H = αH0 + βF0 ,H0 = (s21 + s22 + s23 ) + (c1 r12 + c2 r22 + c3 r32 ),F0 = (c1 s21 + c2 s22 + c3 s23 ) − (c21 r12 + c22 r22 + c23 r32 ),ãäå c1 + c2 + c3 = 0, c1 < c2 6 0 < c3 . Òåì ñàìûì ìû ôàêòè÷åñêè ïîíèçèëè÷èñëî ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû äî äâóõ.Íà ðèñóíêå 8 ïîêàçàíî, êàêîé èç ãàìèëüòîíèàíîâ ñëó÷àÿ Êëåáøà ïîëó÷àåòñÿ ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ α è β . Åñëè ïðÿìàÿ αh + βk = 0 ëåæèòâ çîíå I, òî èìååì ãàìèëüòîíèàí Êëåáøà H = αH0 + βF0 ñ ε = +1 òàêíàçûâàåìû ñëó÷àé ïðèòÿæåíèÿ; åñëè æå ïðÿìàÿ αh + βk = 0 ëåæèò â çîíåII, òî èìååì ãàìèëüòîíèàí ñ ε = −1, íàçûâàåìûé ñëó÷àåì îòòàëêèâàíèÿ.Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû ñëó÷àÿ Êëåáøà áûëè ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû Ò .È.
Ïîãîñÿíîì [43, 44, 45, 46]. Îíè ïðèâåäåíû íà ðèñ. 9. Áóäåì73ðàçëè÷àòü ÷åòûðå êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿ:a) g = 0b) g 2 < p1c) p1 < g 2 < p2d) g 2 > p2Çäåñü p1 = 3c3 −p9c23 − (c1 − c2 )2 , p2 = 3c3 +p9c23 − (c1 − c2 )2 . Ïðèïðîòèâîïîëîæíûõ çíà÷åíèÿõ g áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû îäèíàêîâû.Óðàâíåíèå áèôóðêàöèîííîé êðèâîé óäîáíî çàïèñàòü â ïàðàìåòðè÷åñêîéôîðìå, ãäå h è k çàâèñÿò îò äâóõ ïàðàìåòðîâ x è y , êîòîðûå â ñâîþ î÷åðåäüñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì. À èìåííî:gh = −2x − (c1 c2 + c2 c3 + c3 c1 + 3x2 ),ygk = c1 c2 + c2 c3 + c3 c1 − x2 − (x3 − x(c1 c2 + c2 c3 + c3 c1 ) + 2c1 c2 c3 ),yãäå y 2 = (x − c1 )(x − c2 )(x − c3 ).Ïðè ýòîì áèôóðêàöèîííîé êðèâîé, ÿâëÿåòñÿ íå âñÿ ýòà êðèâàÿ, à ëèøü åå÷àñòü, ïîêàçàííàÿ íà ðèñ.
9. Àñèìïòîòàìè áèôóðêàöèîííîé êðèâîé ÿâëÿþòñÿ òðè ïðÿìûå: k = c1 h + c2 c3 , k = c2 h + c3 c1 è k = c1 h + c2 c3 .Ãëàäêèå äóãè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ìû îáîçíà÷èëè ìàëûìè ãðå÷åñêèìè áóêâàìè ñ èíäåêñàìè. Îêðåñòíîñòè èõ ïðîîáðàçîâ â Q3 ïðåäñòàâëÿþòèç ñåáÿ áîòòîâñêèå ïåðåñòðîéêè òîðîâ Ëèóâèëëÿ, îïèñûâàåìûå 3-àòîìàìè.Èõ òèïû áûëè óñòàíîâëåíû À.
À. Îøåìêîâûì [17]. Óêàæåì èõ:2A : α1 , α2 , α3 , α4 , α52B : β1 , β2C2 : γ1 , γ2Ðåãóëÿðíûå òî÷êè îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà íà R2 (h, f ) ÿâëÿþòñÿ îáðàçàìèíåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà íåñâÿçíûõ òîðîâ Ëèóâèëëÿ. Ýòè òîðû åñòåñòâåííûì74îáðàçîì ðàçáèâàþòñÿ íà ñåìåéñòâà, êîòîðûå ìû îáîçíà÷èëè ðèìñêèìè öèôðàìè I-III (ñì. ðèñ. 9). ×èñëî ïðîîáðàçîâ äëÿ êàæäîé îáëàñòè ðåãóëÿðíîñòèòàêæå âû÷èñëåíî â [17]. Èìååì:ñåìåéñòâî ÷èñëî òîðîâ ËèóâèëëÿI2II2III2 êàæäîå ñåìåéñòâî ìû îòíåñëè òîðû, êîòîðûå èñïûòûâàþò îäèíàêîâûå áèôóðêàöèè íà ãðàíèöàõ îáëàñòè ðåãóëÿðíîñòè.
Ïîÿâëåíèå ïàð òîðîâáëèçíåöîâ íå äîëæíî íàñ óäèâëÿòü. Äåëî â òîì, ÷òî ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâîñèñòåìû Êëåáøà, êàê è â ñëó÷àå Ñòåêëîâà, îáëàäàåò î÷åâèäíîé ñèììåòðèåéΦ : (s, r) → (−s, −r),òàêîé ÷òî Φ : (f1 , f2 , H0 , F0 ) → (f1 , f2 , H0 , F0 ).3.2 Êëàññèôèêàöèÿ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿÒî÷êè M , N è P áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ñèñòåìû Êëåáøà íà ðèñ. 9îòíîñÿòñÿ ê íåâûðîæäåííûì ïîëîæåíèÿì ðàâíîâåñèÿ.
Äàííûé ïàðàãðàôïîñâÿùåí èõ îïèñàíèþ.Òåîðåìà 9 Óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè, òèïû è ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ äëÿ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ, ëåæàùèõ â ïðîîáðàçàõ òî÷åê M , N è P áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ñëó÷àÿ Êëåáøà óêàçàíû75â òàáëèöå:òî÷êà óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòèòèïï/ï ïðîèçâåäåíèåMg∈Röåíòð-öåíòð2(A × A)Ng∈Rñåäëî-öåíòðA × C2Pg 2 < p1ñåäëî-ñåäëî(C2 × C2 )/Z2p1 < g 2 < p 2ôîêóñ-ôîêóñg 2 > p2öåíòð-öåíòð2(A × A)Êðóãîâûå ìîëåêóëû òî÷åê M , N , P ïðèâåäåíû â òàáëèöå 2. Äðóãèõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ó ãàìèëüòîíèàíà H0 íà Mg4 íåò.Äîêàçàòåëüñòâî:Âû÷èñëèì ìàòðèöû ëèíåàðèçàöèé A6H0 è A6F0 âåêòîðíûõ ïîëåé 12 sgradH0è 21 sgradF0 â e(3)∗ .
Èìååì:11ṡi = {si , H0 }, ṙi = {ri , H0 } ⇔22ṡ1 = (c2 − c3 )r2 r3ṡ2 = (c3 − c1 )r3 r1 ṡ3 = (c1 − c2 )r1 r2ṙ1 = s2 r3 − s3 r2ṙ2 = s3 r1 − s1 r3 ṙ3 = s1 r2 − s2 r1(3.1)Äèôôåðåíöèðóÿ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé, ïîëó÷àåì ìàòðèöó ëèíåàðèçàöèèA6H0 âåêòîðíîãî ïîëÿ 12 sgradH0 â êîîðäèíàòàõ (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ):76A6H0=0000000(c3 − c1 )r3000(c1 − c2 )r20r3−r20−r30r1s3r2−r10−s2(c2 − c3 )r3 (c2 − c3 )r2 0(c3 − c1 )r1 (c1 − c2 )r10−s3s20−s1s10Àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ íåîáõîäèìî ïðîäåëàòü äëÿ ïîëÿ 12 sgradF0 .11ṡi = {si , F0 }, ṙi = {ri , F0 } ⇔22ṡ1 = (c2 − c3 )(s2 s3 − c1 r2 r3 )ṡ2 = (c3 − c1 )(s3 s1 − c2 r3 r1 ) ṡ3 = (c1 − c2 )(s1 s2 − c3 r1 r2 )ṙ1 = c2 s2 r3 − c3 s3 r2ṙ2 = c3 s3 r1 − c1 s1 r3 ṙ3 = c1 s1 r2 − c2 s2 r1(3.2)Äèôôåðåíöèðóÿ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé ïîëó÷àåì ìàòðèöó ëèíåàðèçàöèèA6F0 âåêòîðíîãî ïîëÿ 12 sgradF0 â êîîðäèíàòàõ (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ):A6F00(c2 − c3 )s3 (c2 − c3 )s20c1 (c3 − c2 )r3 c1 (c3 − c2 )r2 (c3 − c1 )s30(c3 − c1 )s1 c2 (c1 − c3 )r30c2 (c1 − c3 )r1 (c1 − c2 )s2 (c1 − c2 )s10c3 (c2 − c1 )r2 c3 (c2 − c1 )r10=0c2 r 3−c3 r20−c3 s3c2 s2 −c1 r30c3 r1c3 s30−c1 s1c1 r2−c2 r10−c2 s2c1 s1077 ñèëó íåâûðîæäåííîñòè ñèìïëåêòè÷åñêîé ôîðìû ω íà Mg4 , óñëîâèådH0 |Mg4 = 0 ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ sgradH0 = 0.
Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòèóðàâíåíèé (3.1) íóëþ, íàõîäèì êîîðäèíàòû êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãàìèëüòîíèàíà H0 íà Mg4 :xM = ±(g, 0, 0, 1, 0, 0)xN = ±(0, g, 0, 0, 1, 0)xP = ±(0, 0, g, 0, 0, 1)Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå òî÷êè â (3.2), óáåæäàåìñÿ, ÷òî îíè æå ÿâëÿþòñÿíåïîäâèæíûìè òî÷êàìè äåéñòâèÿ Ïóàññîíà.Ïðîâåðèì âûïîëíåíèÿ óñëîâèé íåâûðîæäåííîñòè.Ðàññìîòðèì òî÷êó M . Äëÿ îïðåäåëåííîñòè, âîçüìåì íåïîäâèæíóþ òî÷êó, îòâåòñòâóþùóþ çíàêó +.
 êà÷åñòâå ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò â åå 4îêðåñòíîñòè íà Mg4 ìîæíî âçÿòü ôóíêöèè (s2 , s3 , r2 , r3 ). Îãðàíè÷èâàÿ îïåðàòîðû A6H0 è A6F0 èç e(3)∗ íà TM Mg4 , íàõîäèì ìàòðèöû ñèìïëåêòè÷åñêèõîïåðàòîðîâ AH0 è AF0 :A H00 0= 0−1000 c1 − c2c3 − c1010−g0g0AF00(c3 − c1 )g0c2 (c1 − c3 ) (c1 − c2 )g0c3 (c2 − c1 )0=0c30−c1 g−c20c1 g0Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòè ìàòðèöû ëèíåéíî íåçàâèñèìû ïðè ëþáûõ g , èòåì ñàìûì, ïåðâîå óñëîâèå íåâûðîæäåííîñòè âûïîëíÿåòñÿ. Òåïåðü ïðîâå78ðèì âòîðîå óñëîâèå. Ïîêàæåì, ÷òî ìàòðèöà AH0 âñåãäà èìååò ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ÷èñòî ìíèìûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.Óðàâíåíèå íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:det(AH0 − λE) = λ4 − bλ2 + ∆ = t2 − bt + ∆ = 0, λ2 = t.(3.3)Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ èìååì:b = (c1 − c3 ) + (c1 − c2 ) − g 2 = g 2 − 3c1 > 0,∆ = (c2 − c1 )(c3 − c1 ) > 0.Âû÷èñëèì òàêæå äèñêðèìèíàíò D:D = b2 − 4∆ = (g 2 − 3c1 )2 − 4(c2 − c1 )(c3 − c1 ) = g 4 − 6c1 g 2 + c21 − 4c2 c3 == g 4 − 6c1 g 2 + (c2 − c3 )2 > 0.Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Âèåòà óðàâíåíèå (3.3) èìååò êîðíè t1 < t2 < 0, è÷åòûðå êîðíÿ λi áèêâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ èìåþòâèä {±ip|t1 |, ±ip|t2 |}.
À çíà÷èò, òî÷êà ðàâíîâåñèÿ íåâûðîæäåíà è èìååòòèï öåíòð-öåíòð.Öèêëè÷åñêè ïåðåñòàâëÿÿ èíäåêñû, äëÿ òî÷êè N èìååì ∆ = (c3 − c2 )(c1 −c2 ) < 0. Ñëåäîâàòåëüíî, t1 < 0 < t2 è λi = {±ipp|t1 |, ± |t2 |} ñîáñòâåí-íûå çíà÷åíèÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íû, à ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ èìååò òèï ñåäëîöåíòð.Íàèáîëåå ñëîæíûì áóäåò àíàëèç ñëó÷àÿ òî÷êè P . b < 0, ïðè g 2 < 3c3 ,2b = g − 3c3 = b > 0, ïðè g 2 > 3c .3∆ = (c1 − c3 )(c2 − c3 ) > 0,D(g 2 ) = g 4 − 6c3 g 2 + (c1 − c2 )2 .79Èìååì D(0) = (c1 − c2 )2 > 0, Dmin = D(g 2 = 3c3 ) = −9c23 + (c1 − c2 )2 < 0 è,ñëåäîâàòåëüíî, D(g 2 ) èìååò äâà êîðíÿqg = p1 = 3c3 − 9c23 − (c1 − c2 )2q2g = p2 = 3c3 + 9c23 − (c1 − c2 )22ìåæäó êîòîðûì îí ïðèíèìàåò îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ.Ïðè îòðèöàòåëüíî äèñêðèìèíàíòå D(g 2 ) êîðíè t1 è t2 ñîïðÿæåííûåìíèìûå è òî÷êà ðàâíîâåñèÿ èìååò òèï ôîêóñ-ôîêóñ.Ïðè g 2 < p1 , D > 0, b < 0, ∆ > 0, à çíà÷èò t1 > t2 > 0, λi ={±pp|t1 |, ± |t2 |}, è ìû ïîëó÷àåì íåâûðîæäåííóþ òî÷êó òèïà ñåäëî-ñåäëî.Ïðè g 2 > p2 , D > 0, b > 0, ∆ > 0, à çíà÷èò t1 < t2 < 0, λi ={±ip|t1 |, ±ip|t2 |}, è ìû ïîëó÷àåì íåâûðîæäåííóþ òî÷êó òèïà öåíòð-öåíòð.Ñëîæíîñòè ðàññìàòðèâàåìûõ îñîáåííîñòåé íå ïðåâîñõîäÿò 2.
Òèïû ïåðåñòðîåê òîðîâ â èõ îêðåñòíîñòÿõ èçâåñòíû. Èç òàáëèö, ïðèâåäåííûõ â [1,ò.1, ãë.9], íàõîäèì ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ïî÷òè ïðÿìûõ ïðîèçâåäåíèé è êðóãîâûå ìîëåêóëû òî÷åê. Èñêëþ÷åíèå çäåñü ñîñòàâëÿåò òî÷êà P , êîòîðàÿ ïðèp1 < g 2 < p2 èìååò òèï ôîêóñ-ôîêóñ. Îñîáåííîñòü òàêîãî òèïà íå ïðåäñòàâèìà â âèäå ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ 2-àòîìîâ, à åå êðóãîâàÿ ìîëåêóëà ýòî îêðóæíîñòü,ìàòðèöåé ìîíîäðîìèè.  ï. 3.7 áóäåò ïîêàçàíî, îñíàùåííàÿ÷òî îíà ðàâíà 1 01 1Òåîðåìà äîêàçàíà..3.3 Êðóãîâûå ìîëåêóëû âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèòÒåîðåìà 10 Êðóãîâûå ìîëåêëû îñîáûõ òî÷åê z1 , z2 , z3 è z4 ñëó÷àÿ Êëåáøà,ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðîæäåííûì îäíîìåðíûì îðáèòàì ñèñòåìû, ïðèâåäåíû â òàáëèöå 2.80Äîêàçàòåëüñòâî: ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1 îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü r-ìåòêè íà ðåáðàõ B A.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
