Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëå sgradF0 â ýòèõ òî÷êàõ òàêæå îáíóëÿåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êèxM , . . . , xR è òîëüêî îíè ÿâëÿþòñÿ íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè äåéñòâèÿ Ïóàññîíà.Ïðîâåðèì íåâûðîæäåííîñòü ýòèõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ïðè óêàçàííûõçíà÷åíèÿõ g . Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ìàòðèöû ëèíåàðèçàöèé âåêòîðíûõ ïîëåé12 sgradH0è 12 sgradF0 â e(3)∗ . Èìååì:11ṡi = {si , H0 }, ṙi = {ri , H0 } ⇔22ṡ1 = (a2 − a3 )s2 s3 + (a22 − a23 )(r2 s3 + s2 r3 ) + (a32 − a33 )r2 r3ṡ2 = (a3 − a1 )s3 s1 + (a23 − a21 )(r3 s1 + s3 r1 ) + (a33 − a31 )r3 r1 ṡ3 = (a1 − a2 )s1 s2 + (a2 − a2 )(r1 s2 + s1 r2 ) + (a3 − a3 )r1 r21212ṙ1 = a2 s2 r3 − a3 s3 r2 + (a22 − a23 )r2 r3ṙ2 = a3 s3 r1 − a1 s1 r3 + (a23 − a21 )r3 r1 ṙ3 = a1 s1 r2 − a2 s2 r1 + (a2 − a2 )r1 r212Äèôôåðåíöèðóÿ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé ïîëó÷àåì ìàòðèöó ëèíåàðèçàöèè A6H0 âåêòîðíîãî ïîëÿ 12 sgradH0 â êîîðäèíàòàõ (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ):47A6H0 = A B,C Dãäå0(a2 − a3 )s3 + (a22 − a23 )r3 (a2 − a3 )s2 + (a22 − a23 )r2A =  (a3 − a1 )s3 + (a23 − a21 )r30(a3 − a1 )s1 + (a23 − a21 )r1(a1 − a2 )s2 + (a21 − a22 )r2 (a1 − a2 )s1 + (a21 − a22 )r10(a22a23 )s3(a23a33 )r3(a22a23 )s2(a32a33 )r20−+−−+− 2B =  (a3 − a21 )s3 + (a33 − a31 )r30(a23 − a21 )s1 + (a33 − a31 )r1(a21 − a22 )s2 + (a31 − a32 )r2 (a21 − a22 )s1 + (a13 − a32 )r100a2 r3 −a3 r2C =  −a1 r30a3 r1a1 r2 −a2 r10(a22a23 )r3(a22a23 )r20−− a3 s3−+ a2 s2 2D =  (a3 − a13 )r3 + a3 s30(a23 − a21 )r1 − a1 s1(a21 − a22 )r2 − a2 s2 (a21 − a22 )r1 + a1 s10Àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ íåîáõîäèìî ïðîäåëàòü äëÿ ïîëÿ 12 sgradF0 .11ṡi = {si , F0 }, ṙi = {ri , F0 } ⇔22ṡ1 = (a3 − a2 )(r2 s3 + s2 r3 ) + 3(a23 − a22 )r2 r3ṡ2 = (a1 − a3 )(r3 s1 + s3 r1 ) + 3(a21 − a23 )r3 r1 ṡ3 = (a2 − a1 )(r1 s2 + s1 r2 ) + 3(a2 − a2 )r1 r221ṙ1 = s2 r3 − s3 r2 + (a3 − a2 )r2 r3ṙ2 = s3 r1 − s1 r3 + (a1 − a3 )r3 r1 ṙ3 = s1 r2 − s2 r1 + (a2 − a1 )r1 r248A6F0 = 0000A BC D0(a3 − a2 )r3 (a3 − a2 )r23(a23a22 )r3A0 =  (a1 − a3 )r30(a1 − a3 )r1(a2 − a1 )r2 (a2 − a1 )r103(a23a22 )r20−+ (a3 − a2 )s3−+ (a3 − a2 )s2B =  3(a21 − a23 )r3 + (a1 − a3 )s303(a21 − a23 )r1 + (a1 − a3 )s13(a22 − a21 )r2 + (a2 − a1 )s2 3(a22 − a21 )r1 + (a2 − a1 )s1000r3−r2C 0 =  −r3 0r2 −r1r100(a3 − a2 )r3 − s3 (a3 − a2 )r2 + s2D =  (a1 − a3 )r3 + s30(a1 − a3 )r1 − s1(a2 − a1 )r2 − s2 (a2 − a1 )r1 + s100Ðàññìîòðèì òî÷êó M .

 åå ïðîîáðàçå ëåæèò äâà ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ xM = ±(g, 0, 0, 1, 0, 0). Äëÿ îïðåäåëåííîñòè, âîçüìåì òî÷êó ñîîòâåòñòâóþùóþ çíàêó +.  êà÷åñòâå ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò â åå 4îêðåñòíîñòè íà Mg4 ìîæíî âçÿòü ôóíêöèè (s2 , s3 , r2 , r3 ). Òîãäà êàíîíè÷åñêèéáàçèñ â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàåòñÿ ìàòðèöåé:4T Mg = − rr21− rr31r2 s1 −s2 r1r12r3 s1 −s3 r1r121000010000− rr21− rr310010000149       =      0 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1Îãðàíè÷èâàÿ îïåðàòîðû A6H0 è A6F0 èç e(3)∗ íà TM Mg4 , íàõîäèì ìàòðèöûñèìïëåêòè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ AH0 è AF0 :A H00(a3 − a1 )g+0(a23 − a21 )g++(a23 − a21 )+(a33 − a31 ) (a1 − a2 )g+0(a21 − a22 )g+0= +(a2 − a2 )+(a31 − a32 )120a30(a23 − a21 ) − a1 g−a20(a21 − a22 ) + a1 g0AF00(a1 − a3 )0 a2 − a103(a22 − a21 ) + (a2 − a1 )g=010−10a2 − a1 + g3(a21−a23 )+ (a1 − a3 )g0a1 − a3 − g0Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòè ìàòðèöû ëèíåéíî íåçàâèñèìû ïðè ëþáûõ g : äëÿýòîãî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü êâàäðàòû 2 × 2 â ëåâûõ íèæíèõ óãëàõ äâóõìàòðèö.

Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâîå óñëîâèå íåâûðîæäåííîñòè âûïîëíÿåòñÿ. Ïðîâåðèì âòîðîå óñëîâèå. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè g ∈/ {a2 − a3 , a3 − a2 , −3a1 , 3a1 }ìàòðèöà AF0 èìååò ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Ýòà ìàòðèöàèìååò âèä:0 A1 0 B1 A2 0 B2 0 X= 0 C1 0 D1 C 2 0 D2 0Óðàâíåíèå íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:det(X − λE) =50= λ4 − (A1 A2 + B1 C2 + B2 C1 + D1 D2 )λ2 + (A1 D1 − B1 C1 )(A2 D2 − B2 C2 ) == λ4 − bλ2 + ∆1 ∆2 = λ4 − bλ2 + ∆ = t2 − bt + ∆ = 0,ãäåt = λ2 ,b = A1 A2 + B1 C2 + B2 C1 + D1 D2 , ∆ = ∆ ∆ = (A D − B C )(A D − B C ).1 21 11 12 22 2Äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ èìååì:b = ((a2 −a1 )(a1 −4a3 )+(a1 −a3 )(4a2 −a1 )−g 2 ) = −(22a2 a3 +7a22 +7a23 +g 2 ) < 0,∆ = −4(a1 −a3 )(a2 −a1 )(g 2 −(a3 −a2 )2 ) = 4(2a22 +2a23 +5a2 a3 )(g 2 −a22 −a23 +2a2 a3 ).Âû÷èñëèì äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ:D = (22a2 a3 + 7a22 + 7a23 + g 2 )2 − 16(2a22 + 2a23 + 5a2 a3 )(g 2 − a22 − a23 + 2a2 a3 )Êàê âèäíî, äèñêðèìèíàíò ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé îò g 2 , ïðèíèìàþùåé ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ íà ±∞.

Íàéäåì òî÷êó ìèíèìóìà è ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè D(g 2 ):¡¢2gmin= − 21 2(22a2 a3 + 7a22 + 7a23 ) − 16(2a22 + 2a23 + 5a2 a3 ) == 9(2a2 a3 + a22 + a23 ) = (3a1 )2 ,Dmin = (22a2 a3 + 7a22 + 7a23 + 9(2a2 a3 + a22 + a23 ))2 −−16(2a22 + 2a23 + 5a2 a3 )(9(2a2 a3 + a22 + a23 ) − a22 − a23 + 2a2 a3 ) == 64((2a22 + 2a23 + 5a2 a3 )2 − (2a22 + 2a23 + 5a2 a3 )(2a22 + 2a23 + 5a2 a3 )) = 0.Êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ t1 , t2 ∈ R, òàê êàê D > 0.Ïðè g ∈ (a2 − a3 , a3 − a2 ) èìååì ∆ < 0 è ïî òåîðåìå Âèåòà t2 < 0 < t1 .Çíà÷èò ÷åòûðå êîðíÿ λi áèêâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿèìåþò âèä {±p|t1 |, ±ip|t2 |}. Ñëåäîâàòåëüíî, îñîáåííîñòü íåâûðîæäåíà èèìååò òèï ñåäëî-öåíòð.51Ïðè g ∈ (−∞, a2 − a3 ) ∪ (a3 − a2 , +∞) èìååì ∆ > 0. Ñ ó÷åòîì òîãî ÷òîb < 0, ïî òåîðåìå Âèåòà èìååì t1 < t2 < 0, à çíà÷èò ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõppçíà÷åíèé èìååò âèä {±i |t1 |, ±i |t2 |}, è íóæíî äîïîëíèòåëüíî òðåáîâàòü,÷òîáû t1 6= t2 ⇔ D 6= 0 ⇔ g 6= ±3a1 .

Òîãäà îñîáåííîñòü èìååò òèï öåíòðöåíòð.Èòàê ìû äîêàçàëè, ÷òî ïðè g ∈/ {a2 −a3 , a3 −a2 , −3a1 , 3a1 } ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ xM â ïðîîáðàçå òî÷êè M íåâûðîæäåíî. Íå ïðèõîäèòñÿ ñîìíåâàòüñÿ,÷òî ïðè g ∈ {a2 − a3 , a3 − a2 , −3a1 } òî÷êà xM äåéñòâèòåëüíî âûðîæäàåòñÿ,òàê êàê ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ïðîèñõîäÿò ïåðåñòðîéêè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû â òî÷êå M . Îäíàêî, ýòî íå òàê äëÿ g = 3a1 . Íà ñàìîì äåëå ïðèýòîì g âûðîæäåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ xM íå ïðîèñõîäèò. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû AF0 |g=3a1 ñîâïàäàþò, íî ñðåäè ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé(λAH0 + µAF0 ) |g=3a1 îñòàþòñÿ ìàòðèö ñ ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü,÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû AH0 |g=3a1 íå ñîâïàäàþò.

Äåéñòâèòåëüíî,ñîõðàíÿÿ ââåäåííûå îáîçíà÷åíèÿ, èìååì:AH0 |g=3a10 4a2 − a2 −2 1= −3a a1 20−a2a23−4a21 +0−4a31 ++3a1 a23+3a1 a30a334a31 − a32 −0−3a1 a22a30a23 − 4a2104a21 − a220−b = (a22 +3a1 a2 −4a21 )(a23 +3a1 a3 −4a21 )+a3 (a32 +3a1 a22 −4a31 )+a2 (a33 +3a1 a23 −4a31 ) + (a22 − 4a21 )(a23 − 4a21 ) = 32a41 − 4a21 (2a22 + 2a23 + 3a1 a2 + 3a1 a3 ) + 2a22 a23 +6a1 a22 a3 + 6a1 a2 a23 + 9a21 a2 a3 + a32 a3 + a2 a33 − 4a31 a2 − 4a31 a3 = 48a41 + 4a21 a2 a3 −528a21 a22 − 8a21 a23 = 4a21 (12a21 + a2 a3 − 2a22 − 2a23 ) = 4a21 (10a22 + 10a23 + 25a2 a3 ) =20a21 (2a22 + 2a23 + 5a2 a3 ) > 0,∆ = ∆1 ∆2 ,∆2 = (a23 + 3a1 a3 − 4a21 )(a23 − 4a21 ) − a3 (a33 + 3a1 a23 − 4a31 ) = a23 (a23 + 3a1 a3 ) −4a21 (2a23 + 3a1 a3 ) + 16a41 − a23 (a23 + 3a1 a3 ) + 4a31 a3 = −4a21 (2a23 + 3a1 a3 − a1 a3 ) +16a41 = 16a41 − 8a21 (a23 + a1 a3 ) = 8a21 (2a21 + a3 a2 ) = 8a21 (2a22 + 2a23 + 5a2 a3 ),∆1 = ∆2 = 8a21 (2a22 + 2a23 + 5a2 a3 ), ∆ = 64a41 (2a22 + 2a23 + 5a2 a3 )2 > 0.t2 − bt + ∆ = 0,D=4µ ¶2b− ∆ = 36a41 (2a22 + 2a23 + 5a2 a3 )2 > 0, b < 0, ∆ > 0 ⇒2pp⇒ t1 , t2 ∈ R, t2 < t1 < 0, {λi } = {±i |t1 |, ±i |t2 |}. ïðîîáðàçàõ òî÷åê N è P áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ëåæàò ïîëîæåíèÿðàâíîâåñèÿ ñ êîîðäèíàòàìè ±(0, 0, g, 0, 0, 1) è ±(0, g, 0, 0, 1, 0) ñîîòâåòñòâåííî.

Ïðîâåðêà èõ óñëîâèé íåâûðîæäåííîñòè ïðîâîäèòñÿ ïóòåì òåõ æå âûêëàäîê, ÷òî è â ñëó÷àå òî÷êè M , ñ ïðèìåíåíèåì öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêèèíäåêñîâ ó ïàðàìåòðîâ a1 , a2 , a3 è ïåðåîöåíêîé ïîëó÷àþùèõñÿ íåðàâåíñòâ.Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê òî÷êàì Q, L, R.  èõ ïðîîáðàçàõ ëåæèò ïî ÷åòûðåïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçíûì çíàêàì ui , vi . Íà÷íåì ñòî÷êè Q.

Äëÿ îïðåäåëåííîñòè âîçüìåì îñîáåííîñòü, ñîîòâåòñòâóþùóþ çíàêàì +.  êà÷åñòâå ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò íà Mg4 âîçüìåì (s1 , s2 , r1 , r2 ). Òîãäà êàíîíè÷åñêèé áàçèñ â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàåòñÿ âåêòîðàìè:534TQ Mg = 10 001 00 −1 000 100 000 000zg , ãäå z = 2 − 2(a1 − a3 ).u101−1Ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü îïåðàòîðîâ AH0 è AF0 ìîæíî óñìîòðåòü õîòÿ áûèç òîãî, ÷òî îíè ïåðåâîäÿò âåêòîð (1, 1, −1, 0, 0, 0)t êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà â âåêòîðà (∗, ∗, ∗, a2 v1 +a3 u1 , −a1 v1 , a1 u1 )t è (∗, ∗, ∗, v1 +u1 , −v1 , u1 )t ñîîòâåòñòâåííî.

Характеристики

Список файлов диссертации