Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ïîñëåäíèå ëèíåéíî íåçàâèñèìû ïðè ëþáîì g ∈ (a1 − a3 , a1 − a2 ).Äàëüíåéøèå âûêëàäêè ïî âû÷èñëåíèþ ìàòðèöû îïåðàòîðà AF0 ñòàíîâÿòñÿ êðàéíå ãðîìîçäêèìè, ïîýòîìó â ýòîì ìåñòå ìû ïðèáåãëè ê ïîìîùè ïàêåòàñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé Matlab 6.5 Symbolic Math Toolbox.  ðåçóëüòàòå áûëî íàéäåíî óðàâíåíèå íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:det(AF0 − λE) = (λ2 + 4(2a2 + a3 )g + 4a23 + 16a2 a3 + 16a22 )··(λ2 + 4(2a3 + a2 )g + 4a22 + 16a2 a3 + 16a23 ) = 0.Íàïîìíèì, ÷òî a1 < 0 6 a2 < a3 è a1 + a2 + a3 = 0, ïîýòîìó êîýôôèöèåíòûïðè g ïîëîæèòåëüíû.
Ïóñòü t = λ2 . Òîãäà êîðíè óðàâíåíèÿ t1 , t2 ñ ðîñòîì gëèíåéíî óáûâàþò. Ïðè ïîäñòàíîâêå ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ gmin = a1 − a3â óðàâíåíèå îíî ïðèìåò âèä:det(AF0 − λE) = t(t + 8a22 − 4a2 a3 − 4a23 ) = t(t + (3a2 )2 − (a2 + 2a3 )2 ) = 0,(3a2 )2 − (a2 + 2a3 )2 < 0 ⇒ t1 = 0, t2 > 0.Ïîäñòàâëÿÿ ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå gmax = a1 − a2 èìååì:det(AF0 − λE) = t(t + 8a23 − 4a2 a3 − 4a22 ) = t(t + (3a3 )2 − (a3 + 2a2 )2 ) = 0,54(3a3 )2 − (a3 + 2a2 )2 > 0 ⇒ t1 < 0, t2 = 0. èòîãå, äëÿ ïðîìåæóòî÷íûõ g ∈ (a1 − a3 , a1 − a2 ) áóäåì èìåòü t1 < 0 <t2 . Ñëåäîâàòåëüíî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λi èìåþò âèä {±ip|t1 |, ±p|t2 |}, èïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ íåâûðîæäåíî è èìååò òèï ñåäëî-öåíòð. ñëó÷àå òî÷åê R è L âûêëàäêè ïîâòîðÿþòñÿ ñ öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêîé èíäåêñîâ ó ïàðàìåòðîâ a1 , a2 , a3 .
Äëÿ òî÷êè R áóäåì èìåòü:det(AF0 − λE) = (λ2 + 4(2a1 + a2 )g + 4a22 + 16a1 a2 + 16a21 )··(λ2 + 4(2a2 + a1 )g + 4a21 + 16a1 a2 + 16a22 ) = 0.Êîýôôèöèåíòû ïðè g îòðèöàòåëüíû è êîðíè t1 , t2 ëèíåéíî ðàñòóò ñ ðîñòîìg.gmin = a3 − a2 ⇒ det(AF0 − λE) = t(t + (3a1 )2 − (a1 + 2a2 )2 ) = 0,(3a1 )2 − (a1 + 2a2 )2 > 0 ⇒ t1 < 0, t2 = 0.gmax = a3 − a1 ⇒ det(AF0 − λE) = t(t + (3a2 )2 − (a2 + 2a1 )2 ) = 0,(3a2 )2 − (a2 + 2a1 )2 < 0 ⇒ t1 = 0, t2 > 0.Äëÿ ïðîìåæóòî÷íûõ g ∈ (a3 − a2 , a3 − a1 ) áóäåì èìåòü t1 < 0 < t2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λi èìåþò âèä {±ipp|t1 |, ± |t2 |}, è ïîëîæåíèåðàâíîâåñèÿ íåâûðîæäåíî è èìååò òèï ñåäëî-öåíòð.Âíîâü öèêëè÷åñêè ïåðåñòàâëÿÿ èíäåêñû, äëÿ òî÷êè L èìååì:det(AF0 − λE) = (λ2 + 4(2a3 + a1 )g + 4a21 + 16a1 a3 + 16a23 )··(λ2 + 4(2a1 + a3 )g + 4a23 + 16a1 a3 + 16a21 ) = 0.gmin = a2 − a3 ⇒ det(AF0 − λE) = t(t + (3a3 )2 − (a3 + 2a1 )2 ) = 0,(3a3 )2 − (a3 + 2a1 )2 > 0 ⇒ t1 < 0, t2 = 0.gmax = a2 − a1 ⇒ det(AF0 − λE) = t(t + (3a1 )2 − (a1 + 2a3 )2 ) = 0,55(3a1 )2 − (a1 + 2a3 )2 > 0 ⇒ t1 = 0, t2 < 0.Äëÿ ïðîìåæóòî÷íûõ g ∈ (a2 − a3 , a2 − a1 ) áóäåì èìåòü t1 < 0, t2 < 0.Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λi èìåþò âèä {±ip|t1 |, ±ip|t2 |}.
Óñëîâèå t1 = t2ðàâíîñèëüíî g = 3a2 ∈ (a2 − a3 , a2 − a1 ), íî ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî âýòîì èñêëþ÷èòåëüíîì ñëó÷àå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ AH0 áóäóò ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ íåâûðîæäåíî è èìååò òèïöåíòð-öåíòð.Òåì ñàìûì çàâåðøåíà ïðîâåðêà óñëîâèé íåâûðîæäåííîñòè è íàéäåíûòèïû äëÿ òî÷åê M , N , P , Q, R è L.Ñëîæíîñòè ðàññìàòðèâàåìûõ îñîáåííîñòåé íå ïðåâîñõîäÿò ÷åòûðåõ. Âòàáëèöàõ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ìàëîé ñëîæíîñòè, ïðèâåäåííûõ â [1, ò.1, ãë.9], äëÿ êàæäîé îñîáåííîñòè óêàçàíû ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ è êðóãîâàÿ ìîëåêóëà.
Çíàÿ òèïû 3-àòîìîâ,íåñëîæíî îïðåäåëèòü, êàêóþ èìåííî îñîáåííîñòü ìû íàáëþäàåì â ñëó÷àåêàæäîé òî÷êè.Òåîðåìà äîêàçàíà.2.4 Êðóãîâûå ìîëåêóëû âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèòÒî÷êè âîçâðàòà è êàñàíèÿ zi (i = 1, .., 8) áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ïðåäñòàâëÿþò äðóãîé ðàñïðîñòðàíåííûé êëàññ îñîáåííîñòåé èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.  ïðîîáðàçå íåêîòîðîé èõîêðåñòíîñòè ãàìèëüòîíèàí H0 íå èìååò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê, à ãàìèëüòîíîâïîòîê v = sgradH0 íå îáðàùàåòñÿ â íîëü. Âîçüìåì ýòî çà îïðåäåëåíèå âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò.
Ïîëíîé êëàññèôèêàöèè ýòèõ îñîáåííîñòåéíà ñåãîäíÿøíèé äåíü íå ñóùåñòâóåò, îäíàêî íåêîòîðûå èõ îáùèå ñâîéñòâàïîçâîëÿò íàì ïîëíîñòüþ îïèñàòü èõ êðóãîâûå ñëîåíèÿ äëÿ èññëåäóåìîé ñè-56ñòåìû.Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âñå îáúåêòû âåùåòâåííî-àíàëèòè÷åñêèå. Îòîáðàæåíèå ìîìåíòà, êàê è ðàíåå, áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç F. Ðàññìîòðèì òî÷êóz áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, òàêóþ ÷òî rk F|F−1 (z) > 1 è ñôîðìóëèðóåìòåîðåìó Í.
Ò. Çóíãà [31] äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Òåîðåìà 7 (Í. Ò. Çóíã [31]) Ïóñòü ëèáî dim F−1 (z) = 1, ëèáîdim F−1 (z) = 2 è F−1 (z) ñîäåðæèò ðåãóëÿðíóþ òî÷êó. Òîãäà â îêðåñòíîñòè U 4 (F−1 (z)) ⊂ M 4 ñóùåñòâóåò ñèìïëåêòè÷åñêîå àíàëèòè÷åñêîå ëîêàëüíîñâîáîäíîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè S1 , ñâîáîäíîå íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ è ñîõðàíÿþùåå îòîáðàæåíèå ìîìåíòà F.Ðàññìîòðèì êðóãîâîå ìíîãîîáðàçèå Q3τ , ëåæàùåå â ïðîîáðàçå ìàëîéîêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â z . Îðáèòû S1 -äåéñòâèÿ çàäàþò íà íåì ñòðóêòóðó ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà, ñîãëàñîâàííîãî ñî ñëîåíèåì Ëèóâèëëÿ. Ðàíåå ìûîáñóæäàëè (òåîðåìà 3), ÷òî òàêîå ðàññëîåíèå âñåãäà ñóùåñòâóåò íà 3-àòîìàõ.Èç òåîðåìû Çóíãà ñëåäóåò, ÷òî ðàññëîåíèÿ âñåõ 3-àòîìîâ íà Q3τ ñîãëàñîâàíûè îáðàçóþò îäíî ãëîáàëüíîå ðàññëîåíèå Çåéôåðòà. Îòäåëüíî îòìåòèì, ÷òîäëÿ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ýòîò ôàêò íåâåðåí.Ñäåëàåì îòñþäà âûâîäû î ñâîéñòâàõ êðóãîâûõ ìîëåêóë èçó÷àåìûõ îñîáåííîñòåé.
 óñëîâèÿõ òåîðåìû 7 ñïðàâåäëèâîÏðåäëîæåíèå 1 Íà ðåáðàõ, ñîåäèíÿþùèõ äâà ñåäëîâûõ àòîìà êðóãîâîéìîëåêóëû âûðîæäåííîé îäíîìåðíîé îðáèòû, ìåòêè r ðàâíû ∞. Íà ðåáðàõ, ñîåäèíÿþùèõ àòîì A c ñåäëîâûì, ìåòêè r êîíå÷íû.  îáîèõ ñëó÷àÿõìåòêè ε ðàâíû +1.Äîêàçàòåëüñòâî:57Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ðàâåíñòâî ìåòêè r áåñêîíå÷íîñòè, ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì òîãî, ÷òî äâà ñåäëîâûõ àòîìà, êîòîðûå ñîåäèíÿåò ðàññìàòðèâàåìîåðåáðî, îáðàçóþò åäèíîå ðàññëîåíèå Çåéôåðòà [1, ò.1, ãë.4]. Ñ äðóãîé ñòîðîíû ìèíèìàêñíàÿ îêðóæíîñòü àòîìà A ÿâëÿåòñÿ ñëîåì ýòîãî ðàññëîåíèÿ.Ïîýòîìó ñòÿãèâàåìûé öèêë àòîìà A íå ìîæåò èìåòü ñî ñëîÿìè ðàññëîåíèÿÇåéôåðòà íóëåâîé èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìåòêà r ðåáðà àòîìA ñåäëîâîé àòîì êîíå÷íà.Äîêàæåì âòîðîå óòâåðæäåíèå. Ðàâåíñòâî ìåòêè ε = +1 îçíà÷àåò, ÷òîêðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè-òðàåêòîðèè äâóõ àòîìîâ èìåþò îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ ñ òî÷êè çðåíèÿ îáùåãî ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà.
 ïðîîáðàçå òî÷êèíà ãëàäêîé äóãå áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ìîæåò ëåæàòü íåñêîëüêî êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé àòîìà. Èçâåñòíî, ÷òî â ñëó÷àå òîïîëîãè÷åñêè óñòîé÷èâûõ áîòòîâñêèõ ïåðåñòðîåê, îíè îðèåíòèðîâàíû îäèíàêîâî [1, ò.1, ãë.3],ïîýòîìó äàëåå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ëèøü îäíó êðèòè÷åñêóþ îêðóæíîñòü.Íî ïðè äâèæåíèè âäîëü ãëàäêîé êðèâîé áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû è ïðèïåðåñå÷åíèè îñîáîé òî÷êè, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò âûðîæäåííîé îäíîìåðíîéîðáèòå, ýòà êðèòè÷åñêàÿ îêðóæíîñòü íåïðåðûâíî ïëûâåò, íå ìåíÿÿ ñâîåéîðèåíòàöèè, ò.ê. v 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, îðèåíòàöèè êðèòè÷åñêè îêðóæíîñòåé ðàçíûõ àòîìîâ òàêæå ñîâïàäàþò.Ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî.Çàìå÷àíèå 1 Ðàâåíñòâî âñåõ ìåòîê ε = +1 ðàâíîñèëüíî îðèåíòèðîâàííîñòè áàçû ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà, ïîýòîìó â íàøåì ñëó÷àå ýòî ñôåðà S 2 ñg ðó÷êàìè.
Êàæäàÿ çâåçäî÷êà íà ñåäëîâîì àòîìå äàåò îñîáûé ñëîé òèïà(1, 2), à êàæäàÿ äðîáíàÿ ìåòêà r =pq îñîáûé ñëîé òèïà (p, q). Ýéëåðîâêëàññ Q3τ â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ n-ìåòêîé ñåìüè, îáðàçîâàííîé âñåìèñåäëîâûìè àòîìàìè.58Çàìå÷àíèå 2 Ìàòðèöà ñêëåéêè íà ðåáðàõ ñåäëî ñåäëî êðóãîâîéìîëåêóëû âûðîæäåííîé îäíîìåðíîé îðáèòû âñåãäà ðàâíà 10, ãäå k ∈ Z.k −1Ýòî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìåòêè r = ∞ è ñâîéñòâ ìàòðèö ñêëååê.Çàìå÷àíèå 3 Íàðÿäó ñ êðóãîâûìè ìîëåêóëàìè âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõîðáèò èíîãäà áûâàåò ïîëåçíî ðàññìàòðèâàòü êðóãîâûå ìîëåêóëû ðåãóëÿðíûõ òî÷åê áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, ò.å. îáðàçîâ 3-àòîìîâ.
Ïðåäëîæåíèå 1 äëÿ íèõ î÷åâèäíî òîæå âåðíî.Äîêàæåì åùå îäíî ïðåäëîæåíèå, êîòîðîå õîòü è èìååò èñêëþ÷èòåëüíî÷àñòíûé õàðàêòåð, íà ïðàêòèêå ìîæåò áûòü ïðèìåíåíî äëÿ î÷åíü áîëüøîãîêîëè÷åñòâà ñèñòåì.Ïðåäëîæåíèå 2 Ïóñòü òî÷êà z ñîîòâåòñòâóåò âûðîæäåííîé îäíîìåðíîé îðáèòå, à â åå îêðåñòíîñòè áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ïðåäñòàâëÿåòèç ñåáÿ ãëàäêóþ êðèâóþ ñ òî÷êîé âîçâðàòà â z , ìåíÿþùóþ ïðè ýòîì òèï3-àòîìà ñ B íà A.
Òîãäà íà ðåáðå êðóãîâîé ìîëåêóëû B A ìåòêà r = 0.Äîêàçàòåëüñòâî:Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ðàññìàòðèâàåìîé îñîáåííîñòè èçîáðàæåíàíà ðèñóíêå 5. Ïðîèçâåäåì äåôîðìàöèþ êîíòóðà ABC0 D0 â êîíòóð ABC1 D1 .Ïðè ýòîì òîïîëîãè÷åñêèé òèï ìíîãîîáðàçèÿ â ïðîîáðàçå íå èçìåíèòñÿ: ïðîîáðàç îòðåçêà CD îïðåäåëÿåòñÿ â M 4 óðàâíåíèåì H = const, èç óñëîâèÿ æåèçâåñòíî, ÷òî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê H â îêðåñòíîñòè z íåò. Îñòàëüíûå çâåíüÿêîíòóðà èñïûòûâàþò ãëàäêóþ èçîòîïèþ, íå âñòðå÷àÿ òî÷åê áèôóðêàöèé.Êîíòóð ABC0 D0 îïðåäåëÿåò êðóãîâóþ ìîëåêóëó ðåãóëÿðíîé òî÷êè.  åãîïðîîáðàçå î÷åâèäíî ëåæèò òðåõìåðíûé òîð T3 .
Ñëåäîâàòåëüíî, êðóãîâîåìíîãîîáðàçèå z òîæå èìååò òèï T3 .59Êðóãîâàÿ ìîëåêóëà ðàññìàòðèâàåìîé îñîáåííîñòè ñîñòîèò èç äâóõ àòîìîâ B è A è äâóõ ðåáåð: îäíî ðåáðî íà÷èíàåòñÿ è çàêàí÷èâàåòñÿ â àòîìåB , âòîðîå ðåáðî èäåò èç àòîìà B â àòîì A. Ìàòðèöà ñêëåéêè ïåðâîãî ðåáðàèìååò âèä, óêàçàííûé â çàìå÷àíèè 2. Ïóñòü ìàòðèöà ñêëåéêè ðåáðà B −→ Aåñòü:a bc dÄàëåå H1 (T3 ) = Z3 ⇒ N (W ∗ ) = 0 è ïî ôîðìóëå Òîïàëîâà èìååì:ñ = n +Xµh i · ¸¶naoakari + p/2 =+ −++ 0 = − k,b1bb(1.1) ⇒ (a/b − k)b = 0 ⇒ a = kb ⇒ r = 0Ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî.Äàëåå áóäåì çà r(xy), îáîçíà÷àòü r-ìåòêó ðåáðà, êîòîðîå ñîåäèíÿåò áèôóðêàöèè x è y .
Íàïîìíèì î÷åâèäíîå ïðàâèëî ñëîæåíèÿ ìåòîê: ïóñòüäëÿ ðåáåð, îòíîñÿùèõñÿ ê íåêîòîðîìó ñåìåéñòâó òîðîâ, èçâåñòíû ìåòêèr(xy) = r0 è r(y z) = ∞, òîãäà r(xz) = r0 â òîì æå ñåìåéñòâå.Òåîðåìà 8 Êðóãîâûå ìîëåêóëû îñîáûõ òî÷åê zi (i = 1, .., 8) ñëó÷àÿ Ñòåêëîâà ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå 1.Äîêàçàòåëüñòâî:Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óñëîâèÿ òåîðåìû 7 âûïîëíÿþòñÿ äëÿ êàæäîé èç òî÷åêzi , ïîýòîìó îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü ìåòêè r íà ðåáðàõ, âåäóùèõ â àòîìû A. Ðàññìîòðèì ðåáðî êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè z2 , îòíîñÿùååñÿ ê ñåìåéñòâó III.Îíî ñîåäèíÿåò áèôóðêàöèè β1 è α5 .
Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè P èìå-60åì r(β1 γ2 ) = 0, òî÷êè Q r(γ2 α5 ) = ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðàâèëóñëîæåíèÿ ìåòîê, r(β1 α5 ) = 0. Äëÿ äðóãèõ ñåìåéñòâ òîðîâ ïîëó÷àåì:• òî÷êà z2 :ñåìåéñòâî II: r(β1 γ2 ) = 0, r(γ2 α2 ) = ∞ ⇒ r(β1 α2 ) = 0ñåìåéñòâî II: r(β1 γ1 ) = 0, r(γ1 α4 ) = ∞ ⇒ r(β1 α4 ) = 0• òî÷êà z3 :ñåìåéñòâî I:r(α1 α3 ) = 0, r(α1 β2 ) = ∞ ⇒ r(β2 α3 ) = 0ñåìåéñòâî IV: r(β2 γ2 ) = 0, r(γ2 α7 ) = ∞ ⇒ r(β2 α7 ) = 0• òî÷êà z4 :ñåìåéñòâî III: r(α6 α5 ) = 0, r(γ2 α5 ) = ∞ ⇒ r(γ2 α6 ) = 0• òî÷êà z6 :ñåìåéñòâî V: r(α12 α9 ) = 0, r(γ3 α9 ) = ∞ ⇒ r(γ3 α12 ) = 0• òî÷êà z7 :ñåìåéñòâî II:r(α11 α2 ) = 0, r(α2 β3 ) = ∞ ⇒ r(β3 α11 ) = 0ñåìåéñòâî IV: r(β3 γ3 ) = 0, r(γ3 α8 ) = ∞ ⇒ r(β3 α8 ) = 0• òî÷êà z8 :ñåìåéñòâî V: r(β4 γ3 ) = 0, r(γ3 α9 ) = ∞ ⇒ r(β4 α9 ) = 0ñåìåéñòâî I:r(β4 γ3 ) = 0, r(γ3 α1 ) = ∞ ⇒ r(β4 α1 ) = 0ñåìåéñòâî I:r(β4 γ1 ) = 0, r(γ1 α10 ) = ∞ ⇒ r(β4 α10 ) = 0Ìåòêè r íà ðåáðàõ B A ìîëåêóë òî÷åê z1 è z5 òàêæå íóëåâûå â ñèëóïðåäëîæåíèÿ 2.Òåîðåìà äîêàçàíà.2.5 Ïîñòðîåíèå äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàòÐàññìîòðèì ìàëûé îòðåçîê, òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùèé äóãó áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
