Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Êðàé òàêîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñîñòîèò èç íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà òîðîâ Ëèóâèëëÿ. ×èñëîêðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé íà îñîáîì ñëîå íàçûâàåòñÿ ñëîæíîñòüþ 3-àòîìà. [1, ò.1, ãë.3] èçëîæåí àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ÿâíî ïåðå÷èñëèòü âñå 3àòîìû äàííîé ñëîæíîñòè. 3-àòîìû ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü çàãëàâíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè ñ íàòóðàëüíûìè èíäåêñàìè è çâåçäî÷êàìè. ×åòûðå íàèáîëåå ïðîñòûõ è ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ 3-àòîìà (A, A∗ , B, è C2 ) èçîáðàæåíûíà ðèñ. 2.Åñëè òåïåðü â âåðøèíàõ ãðàôà íà ðèñ. 1 ïîñòàâèòü ïîäõîäÿùèå 3-àòîìû,òî ìû ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìóþ ãðóáóþ ìîëåêóëó.
Ãðóáàÿ ìîëåêóëà íåñåòèíôîðìàöèþ î áàçå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ, à òàêæå ïîçâîëÿåò ëîêàëüíî âîññòàíîâèòü åãî ñòðóêòóðó âáëèçè êàê ðåãóëÿðíûõ, òàê è ñèíãóëÿðíûõ ñëîåâ.ÑïðàâåäëèâàÒåîðåìà 2 (À. Ò. Ôîìåíêî) Äâå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû (v, Q3 ) è (v 0 , Q0 3 ) ãðóáî ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû â òîì è òîëüêî òîìñëó÷àå, êîãäà èõ ãðóáûå ìîëåêóëû ñîâïàäàþò.24Ïîëíîå è ïîñëåäîâàòåëüíîå äîêàçàòåëüñòâî ôàêòîâ, èçëîæåííûõ â ýòîìïóíêòå, ìîæíî íàéòè â [1, ò.1, ãë.3].
Çäåñü ìû ñôîðìóëèðóåì îñíîâíóþ òåîðåìó, íà êîòîðóþ îïèðàþòñÿ ýòè äîêàçàòåëüñòâà.Òåîðåìà 3 (À. Ò. Ôîìåíêî) 1)Òðåõìåðíàÿ îêðåñòíîñòü ñèíãóëÿðíîãî ñëîÿëèóâèëëåâîãî ñëîåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðàññëîåíèåì Çåéôåðòà, îñîáûå ñëîè êîòîðîãî (åñëè îíè ñóùåñòâóþò) èìåþò òèï (2,1).2)Åñëè îñîáûõ ñëîåâ ó ýòîãî ðàññëîåíèÿ íåò, òî îêðåñòíîñòü ïðåäñòàâèìà â âèäå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ P 2 × S1 , ãäå P 2 îðèåíòèðóåìàÿ ïîâåðõíîñòü ñ êðàåì èç íåñâÿçíûõ îêðóæíîñòåé.3)Ñòðóêòóðà ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà ñîãëàñîâàíà ñî ñòðóêòóðîé ëèóâèëëåâîãî ñëîåíèÿ, â òîì ñìûñëå, ÷òî âñÿêèé ñëîé ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà (îêðóæíîñòü) öåëèêîì ëåæèò íà íåêîòîðîì ñëîå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ.1.2.5 Ìàòðèöû ñêëåéêè è äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò.3-àòîìû îïèñû-âàþò ëîêàëüíóþ ñòðóêòóðó ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ â îêðåñòíîñòè îñîáîãî ñëîÿ.Äëÿ òîãî, ÷òîáû âîññòàíîâèòü ñòðóêòóðó ñëîåíèÿ ãëîáàëüíî íà âñåì Q3 ,íóæíî çíàòü ãîìåîìîðôèçìû, ïî êîòîðûì ñêëååíû ãðàíè÷íûå òîðû 3-àòîìîâ.Åñëè íà êàæäîì èç ïàðû ñêëåèâàåìûõ òîðîâ âûáðàòü áàçèñíûå öèêëû, òîñêëåèâàþùèé ãîìåîìîðôèçì çàäàåòñÿ öåëî÷èñëåííîé ìàòðèöåé 2×2 ñ îïðåäåëèòåëåì ±1.
Íî áàçèñû ìîæíî âûáèðàòü ìíîãèìè ðàçíûìè ñïîñîáàìè.Îêàçûâàåòñÿ, îäíàêî, ÷òî âñÿêèé 3-àòîì îïðåäåëÿåò íà ñâîèõ ãðàíè÷íûõòîðàõ íåêîòîðûé öèêë, íàçûâàåìûé îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûì öèêëîì äàííîé áèôóðêàöèè.  ñëó÷àå ìèíèìàêñíîãî àòîìà A ýòî öèêë, êîòîðûé ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó ïðè ïðèáëèæåíèè ê êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè îí îïðåäåëåíëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî îðèåíòàöèè.  ñëó÷àå âñåõ îñòàëüíûõ (ñåäëîâûõ) àòîìîâ (A∗ , B, C2 , . . .) ýòî öèêë, èçîòîïíûé ñëîÿì ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà.
Ïðè25ýòîì îðèåíòàöèÿ öèêëà îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì ïîòîêîì ñèñòåìû.Îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûé öèêë áèôóðêàöèè âñåãäà áåðåòñÿ çà ïåðâûéýëåìåíò áàçèñà íà âñåõ ãðàíè÷íûõ òîðàõ ðàññìàòðèâàåìîãî 3-àòîìà. Âûäåëèòü ïîäîáíûì îáðàçîì êàêîé-òî îäèí öèêë èç ìíîæåñòâà êàíäèäàòîâ íàâòîðóþ ïîçèöèþ â áàçèñå íå óäàåòñÿ. Ïîýòîìó îãðàíè÷èâàþòñÿ âûáîðîì îäíîãî èç ìíîæåñòâà öèêëîâ, îáëàäàþùèõ íåêîòîðûìè îáùèìè ñâîéñòâàìè.Ýòî ìíîæåñòâî â ïàðå ñ ïåðâûì öèêëîì ñîñòàâëÿþò êëàññ òàê íàçûâàåìûõäîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò äëÿ äàííîãî 3-àòîìà.
Òî÷íîå îïðåäåëåíèåçàâèñèò îò òèïà àòîìà è áóäåò äàíî íèæå. Ïðè ýòîì ãðóïïà çàìåí âíóòðèêëàññà äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò èìååò óæå î÷åíü ïðîñòóþ ñòðóêòóðó.Îïèøåì óñëîâèÿ, îïðåäåëÿþùèå âòîðûå áàçèñíûå öèêëû äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò.
Çäåñü ñëåäóåò ðàçëè÷àòü òðè ñëó÷àÿ:1. Ìèíèìàêñòíûé àòîì A2. Ñåäëîâûå àòîìû áåç çâåçäî÷åê, òî åñòü ïðåäñòàâèìûå êàê òðèâèàëüíîåS1 - ðàññëîåíèå Çåéôåðòà (àòîìû B, C2 , . . .)3. Ñåäëîâûå àòîìû ñî çâåçäî÷êàìè, ðàññëîåíèå Çåéôåðòà êîòîðûõ èìååòîäèí èëè íåñêîëüêî îñîáûõ ñëîåâ òèïà (2,1) (àòîì A∗ è äð.) ñëó÷àå ìèíèìàêñíîãî àòîìà A çà âòîðîé ýëåìåíò áåðóò ëþáîé äðóãîé öèêë, äîïîëíÿþùèé ïåðâûé äî áàçèñà. Ïðè ýòîì îðèåíòàöèÿ âòîðîãîáàçèñíîãî öèêëà ôèêñèðîâàíà è çàäàåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì ïîòîêîì.Äëÿ ñåäëîâûõ àòîìîâ áåç çâåçäî÷åê äîïîëíèòåëüíî òðåáóþò, ÷òîáû â ñîâîêóïíîñòè âòîðûå öèêëû áàçèñîâ îáðàçîâûâàëè íà 3-àòîìå ãëîáàëüíîå ñå÷åíèå, íàä êîòîðûì ýòîò àòîì ïðåäñòàâèì êàê òðèâèàëüíîå S1 -ðàññëîåíèå. ñëó÷àå ñåäëîâûõ àòîìîâ ñî çâåçäî÷êàìè òàêîãî ãëîáàëüíîãî ñå÷åíèÿíå ñóùåñòâóåò. Îäíàêî åãî âñåãäà ìîæíî ïîñòðîèòü, óäàëèâ èç 3-àòîìà ìà26ëûå îêðåñòíîñòè-ïîëíîòîðèÿ îñîáûõ ñëîåâ. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî íåêîòîðûìåñòåñòâåííûì îáðàçîì çàêðåïèòü ýòî ñå÷åíèå âáëèçè îñîáûõ ñëîåâ.
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ãðàíèöó îêðåñòíîñòè îñîáîãî ñëîÿ, ÿâëÿþùóþñÿ òîðîì. Íàíåì îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû öèêëû λ ñëîé ðàññëîåíèÿ è κ , ñòÿãèâàþùèéñÿ â òî÷êó âíóòðè ïîëíîòîðèÿ. Âòîðîé öèêë ìû îðèåíòèðóåì òàê, ÷òîáû(λ, κ) îáðàçîâûâàëà ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííóþ ïàðó, íå ÿâëÿþùóþñÿîäíàêî áàçèñîì, ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåìûå öèêëû èìåþò äâå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ. Äàëåå èç ñîîòíîøåíèÿ λ = κ −2µ îïðåäåëèì öèêë µ, äîïîëíÿþùèéλ äî áàçèñà . Òàê ïîñòðîåííûå öèêëû µ îïðåäåëÿþò ñå÷åíèå òðèâèàëüíîãîðàññëîåíèÿ íà ãðàíèöàõ âûáðîøåííûõ îñîáûõ ñëîåâ.
Ïîñòðîåííûå ñå÷åíèÿáóäåì íàçûâàòü äîïóñòèìûìè, à âûñåêàåìûå èìè íà ãðàíèöàõ 3-àòîìà öèêëû áóäåì áðàòü çà âòîðûå ýëåìåíòû åãî äîïóñòèìûõ áàçèñîâ.Íåîïðåäåëåííîñòü â âûáîðå îðèåíòàöèé âòîðûõ áàçèñíûõ öèêëîâ ñåäëîâûõ àòîìîâ è ïåðâîãî áàçèñíîãî öèêëà ìèíèìàêñíîãî àòîìà A óñòðàíÿåòñÿòðåáîâàíèåì ñîãëàñîâàííîñòè îðèåíòàöèé áàçèñîâ, êîòîðîå çàêëþ÷àåòñÿ âñëåäóþùåì.Çàôèêñèðóåì îðèåíòàöèþ íà èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè Q3h .
Ãðàíèöû âñåõ 3-àòîìîâ ýòîé ïîâåðõíîñòè äåëÿòñÿ íà ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå ïî íàïðàâëåíèþ ðîñòà äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà f . Ïîòðåáóåì,÷òîáû òðîéêà (λ1 , λ2 , gradf ), ãäå λ1 , λ2 ñîîòâåòñòâåííî ïåðâûé è âòîðîé ýëåìåíòû áàçèñà íà òîðå, áûëà ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíà â Q3h , åñëè òîðîòíîñèòñÿ ê ïîëîæèòåëüíîé ãðàíèöå àòîìà, è îòðèöàòåëüíî îðèåíòèðîâàíàâ ïðîòèâíîì ñëó÷àå.1.2.6 ×èñëîâûå ìåòêè.Èíâàðèàíòàìè äåéñòâèÿ ãðóïïû çàìåí äîïóñòè-ìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò íà ìíîæåñòâå ìàòðèö ñêëååê ìîëåêóëû ÿâëÿþòñÿ÷èñëîâûå ìåòêè r, ε è n. Îíè âû÷èñëÿþòñÿ ïî ìàòðèöàì ñêëååê ïîñðåäñòâîì27ñëåäóþùèõ ÿâíûõ ôîðìóë.Ïóñòü íà ðåáðå i ìîëåêóëû ñòîèò ìàòðèöà ñêëåéêèai bi,c i diòîãäà ïî îïðåäåëåíèþ:ri =n o ai , åñëè bi 6= 0bi ∞, åñëè b = 0i sign bi , åñëè bi 6= 0, εi =. sign a , åñëè b = 0iiÐàçðåæåì ìîëåêóëó ïî âñåì êîíå÷íûì ðåáðàì, òî åñòü òàêèì, ÷òî ri 6= ∞.Êóñêè, ñîäåðæàùèå ëèøü ñåäëîâûå àòîìû, áóäåì íàçûâàòü ñåìüÿìè.
Ìåòêàn îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ âñÿêîé ñåìüè, ïî ôîðìóëå:n=Xâûõ.ðåáðà· ¸ai+bi·Xâõoä.ðåáðà¸di−+biXâíóò.ðåáðà·¸ci−.ai [1, ò.1, ãë.4] äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìåòêè íå çàâèñÿò îò âûáîðà äîïóñòèìûõêîîðäèíàò. Ïðè âûáðàííûõ äîïóñòèìûõ áàçèñàõ ìàòðèöû ñêëååê ïî ìåòêàìâîññòàíàâëèâàþòñÿ îäíîçíà÷íî.×èñëîâûå ìåòêè èìåþò åñòåñòâåííûé òîïîëîãè÷åñêèé ñìûñë. Òàê çíàìåíàòåëü ìåòêè r ñóòü áåççíàêîâûé èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûõ öèêëîâ áèôóðêàöèé, êîòîðûå ñîåäèíåíû ñîîòâåòñòâóþùèì ðåáðîì.Ìåòêà ε ∈ {1, −1} ãîâîðèò î ñîãëàñîâàííîñòè èëè íåñîãëàñîâàííîñòè îðèåíòàöèé êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé äâóõ áèôóðêàöèé, êîãäà òàêîå ñðàâíåíèåêîððåêòíî îïðåäåëåíî.
À ìåòêà n ∈ Z ðàâíà ÷èñëó Ýéëåðà ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà, îáðàçîâàííîãî ñåìüåé, êîòîðîé îíà ñîîòâåòñòâóåò.Íàêîíåö äàäèì îïðåäåëåíèå èíâàðèàíòà Ôîìåíêî-Öèøàíãà è ñôîðìóëèðóåì îñíîâíóþ òåîðåìó ýòîé ãëàâû.28Îïðåäåëåíèå 10 Ãðóáàÿ ìîëåêóëà W , ñíàáæåííàÿ ìåòêàìè ri , εi è nk ,íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòîì Ôîìåíêî-Öèøàíãà (ìå÷åíîé ìîëåêóëîé, òîíêèìëèóâèëëåâûì èíâàðèàíòîì).Òåîðåìà 4 (À. Ò. Ôîìåíêî, Õ. Öèøàíã [1, ò.1, ãë.4]) Äâå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû (v, Q3 ) è (v 0 , Q0 3 ) ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûâ òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà èõ ìå÷åíûå ìîëåêóëû ñîâïàäàþò.1.2.7 Ôîðìóëà Òîïàëîâà.Ôîðìóëà Òîïàëîâà [3] ñâÿçûâàåò ìåòêè ìîëå-êóëû ñ òîïîëîãè÷åñêèì òèïîì íåñóùåé ïîâåðõíîñòè.
Îíà ÿâëÿåòñÿ îäíèìèç íàèáîëåå ýôôåêòèâíûõ ñðåäñòâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòîâ ÔîìåíêîÖèøàíãà è àêòèâíî ïðèìåíÿåòñÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå.Êîíêðåòíûé âèä ôîðìóëû Òîïàëîâà çàâèñèò îò ñòðóêòóðû ìîëåêóëû èïîëó÷àåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ àëãîðèòìîì, ïðèâåäåííûì â [3]. Çäåñü ìû óêàæåì îòâåò äëÿ ïðîñòûõ, íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ñëó÷àåâ, êîòîðûõáóäåò äîñòàòî÷íî äëÿ íàøèõ öåëåé.Ïóñòü íåêîòîðàÿ ìîëåêóëà W ∗ íå ñîäåðæèò ñåìåé èç áîëåå ÷åì îäíîãî àòîìà è ïîñëå ñòèðàíèÿ âíóòðåííèõ ðåáåð ñåìåé ïðèíèìàåò âèä äåðåâà.Ïóñòü òàêæå âñå àòîìû W ∗ èìåþò ðîä 0.
(Àòîìû A, A∗ , B è C2 îòíîñÿòñÿ êýòîé êàòåãîðèè.) Òîãäà ýíåðãèÿ ìîëåêóëû N (W ∗ ), ââåäåííàÿ Ï. Òîïàëîâûì,îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé: 0, åñëè rkH1 (Q3 ) > 0∗N (W ) = |TorH (Q3 )|, åñëè rkH (Q3 ) = 0.11Çàìåòèì, ÷òî N (W ∗ ) öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ òîïîëîãèåé ìíîãîîáðàçèÿ.Îïðåäåëèì äëÿ êàæäîé ñåìüè ÷èñëî ñ = n +Pri + p2 , ãäå n åå n-ìåòêà,ri ìåòêè r íà åå âíåøíèõ ðåáðàõ, à p ÷èñëî çâåçäî÷åê äàííîé ñåìüè.Óêàæåì êîíêðåòíûé âèä ôîðìóëû Òîïàëîâà äëÿ òðåõ òèïîâ ìîëåêóë.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
