Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ìèùåíêî (ìåõ-ìàò ÌÃÓ).ÏóáëèêàöèèÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â øåñòè ðàáîòàõ, ñïèñîêêîòîðûõ ïðèâåäåí â êîíöå ââåäåíèÿ.Ñòðóêòóðà è îáúåìÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ è ïÿòè ãëàâ. Òåêñò äèññåðòàöèè èçëîæåííà 146 ñòðàíèöàõ è äîïîëíÿåòñÿ 10 òàáëèöàìè è 19 ðèñóíêàìè. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ñîäåðæèò 46 íàèìåíîâàíèé.Ñîäåðæàíèå ðàáîòûÂî ââåäåíèè ôîðìóëèðóåòñÿ öåëü ðàáîòû, êðàòêî èçëàãàþòñÿ åå ðåçóëüòàòû è ñîäåðæàíèå, à òàêæå îñâåùàåòñÿ ìåñòî äàííûõ èññëåäîâàíèé â ñîâðåìåííîé ìåõàíèêå òâåðäîãî òåëà. ïåðâîé ãëàâå ââîäÿòñÿ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è èçëàãàþòñÿ êëþ÷åâûåòåîðåìû òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì [1, 14]. Òàêæå îïèñàíû ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî è äèôôåðåíöèàëüíûå10óðàâíåíèÿ íà àëãåáðå Ëè e(3)∗ , êîòîðûå âîçíèêàþò â çàäà÷å î äâèæåíèèòâåðäîãî òåëà; ïåðå÷èñëåíû îñíîâíûå èçâåñòíûå íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ñëó÷àè èíòåãðèðóåìîñòè è äîñòèæåíèÿ â îáëàñòè èõ òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè.Îïðåäåëåíèå.
Ñëîåíèåì Ëèóâèëëÿ, îòâå÷àþùèì âïîëíå èíòåãðèðóåìîéñèñòåìå, íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèå ôàçîâîãî ìíîãîîáðàçèÿ M 2n ñèñòåìû íàñâÿçíûå êîìïîíåíòû ñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ èíòåãðàëîâ f1 , . . . , fn .Îïðåäåëåíèå. Äâå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìû (M, v) è (M 0 , v 0 )íàçûâàþòñÿ ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì Φ : M → M 0 , ïåðåâîäÿùèé ëèóâèëëåâî ñëîåíèå ïåðâîé ñèñòåìû âëèóâèëëåâî ñëîåíèå âòîðîé ñèñòåìû.Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû,òî åñòü òàêèå, ó êîòîðûõ ôàçîâîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå M èìååò ðàçìåðíîñòü 4, à èíòåãðèðóåìîñòü ãàðàíòèðóåòñÿ ñóùåñòâîâàíèåì ëèøüîäíîãî ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìîãî ñ ãàìèëüòîíèàíîì H äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà F .
Âñÿêèé ñëó÷àé èíòåãðèðóåìîñòè â ìåõàíèêå òâåðäîãî òåëà ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà âûñòóïàåò çíà÷åíèå èíòåãðàëà ïëîùàäåé.Èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà Q3h = {H(x) = h}. Ïîëíûì èíâàðèàíòîì ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ íàíåîñîáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíò Ôîìåíêî-Öèøàíãà, òàêæå íàçûâàåìûé ìå÷åíîé ìîëåêóëîé èëè òîíêèì ëèóâèëëåâûì èíâàðèàíòîì. Îí ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ãðàô, ðåáðà êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþòîäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ñåìåéñòâàì òîðîâ Ëèóâèëëÿ, à âåðøèíû êðèòè÷å11ñêèì ñëîÿì, â êîòîðûõ ïðîèñõîäÿò áèôóðêàöèè.Îïðåäåëåíèå. Êëàññ ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè çàìêíóòîé îêðåñòíîñòè îñîáîãî ñëîÿ íàçûâàåòñÿ 3-àòîìîì.Îêàçûâàåòñÿ, â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ñèñòåì ðàçíîîáðàçèå áèôóðêàöèé îãðàíè÷èâàåòñÿ ÷åòûðüìÿ íàáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè 3-àòîìàìè,êîòîðûå îáîçíà÷àþò A, A∗ , B è C2 .Îáîçíà÷åíèÿ 3-àòîìîâ ïîìåùàþò â âåðøèíû ãðàôà.
Ñïîñîá ñêëåéêè ãëîáàëüíîãî èçîýíåðãåòè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ Q3h èç ýòèõ óíèâåðñàëüíûõ êèðïè÷åé çàäàåòñÿ ÷èñëîâûìè ìåòêàìè òðåõ òèïîâ: r, ε è n. Âìåñòå ñ îïèñàííûì ãðàôîì îíè è ñîñòàâëÿþò èíâàðèàíò Ôîìåíêî-Öèøàíãà.Ïîñëåäóþùèå ãëàâû ïîñâÿùåíû âû÷èñëåíèþ òîíêèõ èíâàðèàíòîâ ñëîåíèé äëÿ ðàçëè÷íûõ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè è èçëîæåíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ñëîæíîñòè çàäà÷è ëèóâèëëåâîé êëàññèôèêàöèè êîíêðåòíîé ñèñòåìû.Âî âòîðîé ãëàâå ïîëó÷åíà ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìîãîñëó÷àÿ Ñòåêëîâà [30]. Îòòàëêèâàÿñü îò îáùåãî óòâåðæäåíèÿ Í. Ò. Çóíãà [31],äîêàçàíî âàæíîå ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿÏðåäëîæåíèå. Íà ðåáðàõ, ñîåäèíÿþùèõ äâà ñåäëîâûõ àòîìà êðóãîâîé ìîëåêóëû âûðîæäåííîé îäíîìåðíîé îðáèòû, ìåòêè r ðàâíû ∞.
Íà ðåáðàõ,ñîåäèíÿþùèõ àòîì A c ñåäëîâûì, ìåòêè r êîíå÷íû.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ìåòêè ε ðàâíû +1.Âûðîæäåííûå îäíîìåðíûå îðáèòû âìåñòå ñ òî÷êàìè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðåäñòàâëÿþò èç ñåáÿ äâà ãëàâíûõ êëàññà îñîáåííîñòåé èíòåãðèðóåìûõñèñòåì íà M 4 . Ñ ïðèìåíåíèåì ïðèâåäåííîãî óòâåðæäåíèÿ ìåòîä êðóãîâûõìîëåêóë ïîçâîëÿåò ïðîâåñòè ãëîáàëüíûé àíàëèç ñèñòåìû Ñòåêëîâà äî êîíöà. ýòîì ñëó÷àå èíòåãðèðóåìîñòè îñíîâíóþ òåõíè÷åñêóþ ñëîæíîñòü ñîñòàâëÿåò ïðîâåðêà íåâûðîæäåííîñòè ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû, ÷òî ñâÿçàíî12ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ïàðàìåòðîâ è ñëîæíûìè ÿâíûìè ôîðìóëàìè èíòåãðàëîâ.
Êðàéíå ïîëåçíûì çäåñü îêàçàëîñü ïðèâëå÷åíèÿ êîìïüþòåðà äëÿïðîâåäåíèÿ ïðîìåæóòî÷íûõ âûêëàäîê.Òðåòüÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ëèóâèëëåâîé êëàññèôèêàöèè ñèñòåìû Êëåáøà [29].  ýòîì ñëó÷àå íàáëþäàåòñÿ îáðàòíàÿ ñèòóàöèÿ: àíàëèòè÷åñêàÿ ÷àñòüçàäà÷è ïðîñòà, îäíàêî òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç òðåáóåò êðàéíåé ñêðóïóëåçíîñòè. Ìåòîä êðóãîâûõ ìîëåêóë íå äàåò îêîí÷àòåëüíîãî îòâåòà è òîëüêî íåîäíîêðàòíîå ïðèìåíåíèå â îïðåäåëåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôîðìóëû Òîïàëîâà ïîçâîëÿåò ðàçðåøèòü êëþ÷åâûå íåîïðåäåëåííîñòè. Ïîñëå ýòîãî îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü ðÿä ε-ìåòîê, ÷òî äîñòèãàåòñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àÿ Êëåáøàêàê âîçìóùåíèÿ ñëó÷àÿ Ýéëåðà â êëàññå èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì.Ñëåäñòâèåì âòîðîé è òðåòüåé ãëàâ ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî äâóõ åñòåñòâåííûõ èçîìîðôèçìîâ.Òåîðåìà1. Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèè ñèñòåìû Ñòåêëîâà èÊëåáøà ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû ñëó÷àþ Ýéëåðà.2.
Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ àáñîëþòíûõ çíà÷åíèÿõ èíòåãðàëà ïëîùàäåé ñèñòåìû Ñòåêëîâà è Êëåáøà ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû ñëó÷àþÝéëåðà êàê ñèñòåìû íà ÷åòûðåõìåðíîì ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè. ÷åòâåðòîé ãëàâå ïîëó÷åíà êëàññèôèêàöèÿ ñëîåíèé äëÿ ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà [7], êîòîðûé áûë îòêðûò â 2001 ãîäó ñ ïðèìåíåíèåì êîìïüþòåðíûõ ìåòîäîâ. Ïðè ýòîì âíîâü ïðèìåíÿåòñÿ êîìáèíàöèÿ ìåòîäà êðóãîâûõ ìîëåêóë èôîðìóëû Òîïàëîâà. Îñíîâíóþ òåõíè÷åñêóþ ñëîæíîñòü ñîñòàâëÿåò ïðîâåðêà íåâûðîæäåííîñòè òî÷åê ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû, ÷òî ñâÿçàíî ñ÷åòâåðòîé ñòåïåíüþ è ñëîæíîé ÿâíîé ôîðìóëîé äëÿ èíòåãðàëà F .13Íàêîíåö, â ïÿòîé ãëàâå äàíà ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû Êîâàëåâñêîé-ßõüè [5, 6].
Äàííûé ñëó÷àé îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òîïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ íå îäíî-, à äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì. Êëàññè÷åñêèé ñëó÷àé Êîâàëåâñêîé ÿâëÿåòñÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ïîäñåìåéñòâîì, ñîîòâåòñòâóþùèì íóëåâîìó çíà÷åíèþ ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà ñèñòåìû, è ïîëíîñòüþ èññëåäîâàí â [2]. Ìû æå â ïÿòîéãëàâå èññëåäîâàëè äðóãîå åñòåñòâåííîå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ïîäñåìåéñòâî,ñîîòâåòñòâóþùåå íóëåâîìó çíà÷åíèþ èíòåãðàëà ïëîùàäåé. Ðåçóëüòàòû ýòèõäâóõ èññëåäîâàíèé äîëæíû ñèëüíî îáëåã÷èòü çàäà÷ó ëèóâèëëåâîé êëàññèôèêàöèè ñìåøàííûõ ñëó÷àåâ.Ñ òî÷êè çðåíèÿ ëèóâèëëåâîé êëàññèôèêàöèè íàèáîëüøèé èíòåðåñ â ïÿòîé ãëàâå ïðåäñòàâëÿåò ìåòîä ïîñòðîåíèÿ äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò áèôóðêàöèé â îêðåñòíîñòè âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò ñ ïðèìåíåíèåìôîðìóëû Òîïàëîâà, à òàêæå ïðåäëîæåííûé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ òîïîëîãè÷åñêîãî òèïà òðåõìåðíûõ êðóãîâûõ ìíîãîîáðàçèé.Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ àêàäåìèêó À.
Ò. Ôîìåíêî, à òàêæå ïðîôåññîðó À. Â. Áîëñèíîâó èäîöåíòó À. À. Îøåìêîâó çà ïîñòîÿííîå âíèìàíèå ê ðàáîòå, ìíîæåñòâî öåííûõ çàìå÷àíèé è êîíñóëüòàöèé.14Ïóáëèêàöèè àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè1. Ìîðîçîâ Ï.Â. Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ñëó÷àÿ Êëåáøà. Ìàòåì. ñáîðíèê, 2002, ò. 193, N 10, c. 113-138.2.
Ìîðîçîâ Ï. Â. Òîïîëîãèÿ ñëîåíèé Ëèóâèëëÿ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòèÑòåêëîâà è Ñîêîëîâà óðàâíåíèé Êèðõãîôà Ìàòåì. ñáîðíèê, 2004,ò. 195, N 3, c. 69-114.3. Ìîðîçîâ Ï. Â. Òîíêàÿ ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîé-ßõüè.
Âåñòíèê ÌÃÓ, ñåð. ìàòåì. è ìåõ., (â ïå÷àòè)4. Ìîðîçîâ Ï. Â. Âû÷èñëåíèå èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà â èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé-ßõüè. Ìàòåì. ñáîðíèê, (â ïå÷àòè)5. Ìîðîçîâ Ï. Â. Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ñëó÷àÿ Êëåáøà. Âîðîíåæ, 2002, Âîðîíåæñêàÿ çèìíÿÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿøêîëà 2002, ñ.
55-576. Ìîðîçîâ Ï. Â., Ôîìåíêî À. Ò. Íîâûå ðåçóëüòàòû òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì â ìåõàíèêå òâåðäîãî òåëà. Êàçàíü,2003, Òðóäû ãåîìåòðè÷åñêîãî ñåìèíàðà, âûï. 24, ñ. 107-120. ðàáîòå [6] À. Ò. Ôîìåíêî ïðèíàëåæàò òåîðåìû 2 è 3 (îá èíâàðèàíòå ñëîåíèÿ Ëèâèëëÿ íà òðåõìåðíîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè),Ï. Â.
Ìîðîçîâó ïðèíàäëåæàò òåîðåìû 4, 5 è 6 (ðåçóëüòàòû è ñëåäñòâèÿëèóâèëëåâîé êëàññèôèêàöèè ñëó÷àåâ Êëåáøà è Ñîêîëîâà).15Ãëàâà 1Èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà1.1 Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû íà ñèìïëåêòè÷åñêîììíîãîîáðàçèè1.1.1 Ïîíÿòèå èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.Ðàññìîòðèì ãëàä-êîå 2n-ìåðíîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå (M 2n , ω) ñ çàäàííîé íà íåìãëàäêîé ôóíêöèåé H . Äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó v = sgradH íàçûâàþò ãàìèëüòîíîâîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, à ôóíêöèþ H åå ãàìèëüòîíèàíîì.
(Âåêòîðíîå ïîëå sgradH îïðåäåëÿåòñÿ òîæäåñòâîìω(l, sgradH) = l(H), ãäå l ïðîèçâîëüíûé âåêòîð êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, à l(H) ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè H âäîëü l.)  ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ(x1 , . . . , x2n ) òàêóþ ñèñòåìó ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñèñòåìû îáûêíîâåííûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:ẋi = {xi , H}, i = 1, . . . , 2n.Çäåñü {, } ñêîáêà Ïóàññîíà íà ìíîãîîáðàçèè M 2n , îïðåäåëÿåìàÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé ω ïîñðåäñòâîì òîæäåñòâà:{f, g} = ω(sgradf, sgradg).16Îïðåäåëåíèå 1 Ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà v íàçûâàåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèëëþ, åñëè ñóùåñòâóåò íàáîð ãëàäêèõ ôóíêöèé f1 , . . .
, fn ,òàêèõ ÷òî:1)f1 , . . . , fn ïåðâûå èíòåãðàëû v (÷òî ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ {fi , H} =0, âûïîëíåííîì ïðè ëþáîì i íà âñåì M ),2)îíè ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìû, òî åñòü ïî÷òè âñþäó íà M èõ ãðàäèåíòû ëèíåéíî íåçàâèñèìû,3){fi , fj } = 0 ïðè ëþáûõ i è j ,4)âåêòîðíûå ïîëÿ sgradfi ïîëíû.×àñòî äëÿ êðàòêîñòè âïîëíå èíòåãðèðóåìûå ïî Ëèóâèëëþ ñèñòåìû íàçûâàþò ïðîñòî èíòåãðèðóåìûìè.Îïðåäåëåíèå 2 Ñëîåíèåì Ëèóâèëëÿ, îòâå÷àþùèì âïîëíå èíòåãðèðóåìîéñèñòåìå, íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèå ìíîãîîáðàçèÿ M 2n íà ñâÿçíûå êîìïîíåíòûñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ èíòåãðàëîâ f1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
