Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. , fn .Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ïîòîêè sgradf1 , . . . , sgradfnêîììóòèðóþò, ïîñêîëüêó{sgradfi , sgradfj } = sgrad{fi , fj } = 0,è ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè. Ýòî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü íà ìíîãîîáðàçèè M 2n äåéñòâèå àáåëåâîé ãðóïïû Rn , ïîðîæäåííîå ñäâèãàìè âäîëü âåêòîðíûõ ïîëåésgradf1 , . . . , sgradfn .
Ýòî äåéñòâèå íàçûâàåòñÿ äåéñòâèåì Ïóàññîíà.1.1.2 Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ.Òîïîëîãèÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíî-âîé ñèñòåìû â îêðåñòíîñòè ñîâìåñòíîé ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ååïåðâûõ èíòåãðàëîâ ïîëíîñòüþ îïèñûâàåòñÿ òåîðåìîé Ëèóâèëëÿ. Îáîçíà÷èìïîâåðõíîñòü óðîâíÿ çà Tξ :17Tξ = {x ∈ M |fi (x) = ξi , i = 1, . . . n}.Ðåãóëÿðíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî äèôôåðåíöèàëû dfi ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàTξ .Òåîðåìà 1 (Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ) Ïóñòü íà M 2n çàäàíà âïîëíå èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà v = sgradH è Tξ ðåãóëÿðíàÿñîâìåñòíàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ èíòåãðàëîâ f1 , . .
. , fn . Òîãäà:1) Tξ ãëàäêîå ëàãðàíæåâî ïîäìíîãîîáðàçèå, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ïîòîêîâ v = sgradH è sgradf1 , . . . sgradfn .2) Åñëè ìíîãîîáðàçèå Tξ êîìïàêòíî, òî êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòèTξ äèôôåîìîðôíà n-ìåðíîìó òîðó T n . Òàêèå òîðû íàçûâàþòñÿ òîðàìèËèóâèëëÿ.3)Ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òîðà Ëèóâèëëÿ Tξòðèâèàëüíî, ò.å. äèôôåîìîðôíî ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ òîðà T n íà äèñêDn.4) îêðåñòíîñòè U = T n ×Dn ñóùåñòâóåò ñèñòåìà êîîðäèíàò s1 , . . . , sn ,ϕ1 , . . . , ϕn , íàçûâàåìûõ ïåðåìåííûå äåéñòâèå-óãîë, ñî ñâîéñòâàìè:a)s1 , . . .
, sn êîîðäèíàòû íà äèñêå Dn ,ϕ1 , . . . , ϕn ñòàíäàðòíûå óãëîâûå êîîðäèíàòû íà òîðå T n , ϕ ∈ R/2πZ.Pá) ω =dϕi ∧ dsi .â) Ïåðåìåííûå äåéñòâèå si ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè èíòåãðàëîâ f1 , . . . , fn .ã) Â ïåðåìåííûõ äåéñòâèå-óãîë ãàìèëüòîíîâ ïîòîê âûïðÿìëÿåòñÿ íàêàæäîì òîðå Ëèóâèëëÿ èç îêðåñòíîñòè U , è ãàìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿïðèíèìàþò âèäṡi = 0,ϕ̇i = qi (s1 , . . .
, sn ),18i = 1, . . . i = n.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà êàæäîì òîðå ïîòîê v çàäàåò óñëîâíî-ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå, à òðàåêòîðèè ÿâëÿþòñÿ ïðÿìîëèíåéíûìè îáìîòêàìè òîðà (ðàöèîíàëüíûìè èëè èððàöèîíàëüíûìè).Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ìîæíî íàéòè â [1, ò.1, ãë.1].1.1.3 Îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. òåîðèè òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõñèñòåì òðàäèöèîííî ðàññìàòðèâàþòñÿ íåñêîëüêî îñíîâíûõ òèïîâ èõ èçîìîðôèçìîâ.Îïðåäåëåíèå 3 Äâå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû (M, v) è (M 0 , v 0 ) íàçûâàþòñÿòîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííûìè (ãëàäêî ñîïðÿæåííûìè), åñëè ñóùåñòâóåòãîìåîìîðôèçì (äèôôåîìîðôèçì) Φ : M → M 0 , ïåðåâîäÿùèé ïîòîê σ t , îòâå÷àþùèé ñèñòåìå (M, v), â ïîòîê σ 0t , îòâå÷àþùèé ñèñòåìå (M 0 , v 0 ), ò.
å.σ 0t = Φ ◦ σ t ◦ Φ−1 .Äðóãèìè ñëîâàìè, ñîïðÿæåííûå ñèñòåìû ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ðåãóëÿðíîé çàìåíîé êîîðäèíàò, ïîýòîìó ñîïðÿæåííîñòü ñàìîå ñèëüíîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.Îïðåäåëåíèå 4 Äâå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû (M, v) è (M 0 , v 0 ) íàçûâàþòñÿòîïîëîãè÷åñêè (ãëàäêî) òðàåêòîðíî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåòãîìåîìîðôèçì (äèôôåîìîðôèçì) Φ : M → M 0 , ïåðåâîäÿùèé ïåðåâîäÿùèéîðèåíòèðîâàííûå òðàåêòîðèè ïåðâîé ñèñòåìû â îðèåíòèðîâàííûå òðàåêòîðèè âòîðîé ñèñòåìû.Ïðè ýòîì íå òðåáóåòñÿ ñîõðàíåíèÿ ïàðàìåòðà (âðåìåíè) âäîëü òðàåêòîðèé. Èíûìè ñëîâàìè, òðàåêòîðèè ðàññìàòðèâàþòñÿ çäåñü êàê êðèâûå áåç19ïàðàìåòðèçàöèè, íî ñ íàïðàâëåíèåì, çàäàâàåìûì ïîòîêîì. Âñÿêèå äâå ñîïðÿæåííûå ñèñòåìû, î÷åâèäíî, òðàåêòîðíî ýêâèâàëåíòíû, íî íå íàîáîðîò.Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà êëàññèôèêàöèè íåêîòîðûõ èçâåñòíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì èç ìåõàíèêè òâåðäîãî òåëà ñ òî÷íîñòüþ äî îòíîøåíèÿ ëè-óâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè.Îïðåäåëåíèå 5 Äâå èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìû (M, v) è(M 0 , v 0 ) íàçûâàþòñÿ ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì Φ : M → M 0 , ïåðåâîäÿùèé ëèóâèëëåâî ñëîåíèå ïåðâîé ñèñòåìû â ëèóâèëëåâî ñëîåíèå âòîðîé ñèñòåìû.Ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ìîæíî íåñêîëüêî îñëàáèòü.
 ðåçóëüòàòåâîçíèêàåò ïîíÿòèå ãðóáîé ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè.Îïðåäåëåíèå 6 Äâå èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìû (M, v) è(M 0 , v 0 ) íàçûâàþòñÿ ãðóáî ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðôèçì ìåæäó áàçàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëîåíèé Ëèóâèëëÿ,êîòîðûé ëîêàëüíî (ò.å. â îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè) ïîäíèìàåòñÿ äîïîñëîéíîãî ãîìåîìîðôèçìà ñëîåíèé Ëèóâèëëÿ.Íåñëîæíî âèäåòü, ÷òî îòíîøåíèå ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè åñòü îñëàáëåíèå îòíîøåíèÿ òðàåêòîðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè: çäåñü òðåáóåòñÿ ñîõðàíåíèåëèøü ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ èíòåãðàëîâ ñèñòåìû, â òî âðåìÿ êàê îòäåëüíûåòðàåêòîðèè ñèñòåìû ìîãóò íàðóøàòüñÿ.1.2 Èíâàðèàòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäûÁóäåì äàëåå ðàññìàòðèâàòü èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû ñ äâóìÿñòåïåíÿìè ñâîáîäû, òî åñòü ñëó÷àé n = 2.
Òîãäà èíòåãðèðóåìîñòü ñèñòåìû íà20M 4 ãàðàíòèðóåòñÿ ñóùåñòâîâàíèåì ëèøü îäíîãî ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìîãî ñ ãàìèëüòîíèàíîì H èíòåãðàëà F .  ýòîì ïóíêòå ìû îïèøåì îñíîâíûåýòàïû ïîñòðîåíèÿ èçâåñòíîãî èíâàðèàíòà Ôîìåíêî-Öèøàíãà (èëè ìå÷åíîéìîëåêóëû) [1, ò.1, ãë.4], êîòîðûé îïèñûâàåò ãëîáàëüíóþ ñòðóêòóðó ëèóâèëëåâà ñëîåíèÿ íà íåîñîáûõ òðåõìåðíûõ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà M 4 èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ äâóìÿñòåïåíÿìè ñâîáîäû.1.2.1 Èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè.Èçîýíåðãåòè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿ-ìè íàçûâàþòñÿ òðåõìåðíûå ïîâåðõíîñòè âèäà Q3h = {x ∈ M 4 |H(x) = h}.Ñðàçó îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ëèøü òåõ h, ïðè êîòîðûõ, âî-ïåðâûõ, Q3hêîìïàêòíà è, âî-âòîðûõ, dH 6= 0 âñþäó íà Q3h . Òåì ñàìûì ìû ãàðàíòèðóåì,÷òî Q3h ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì êîìïàêòíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì â M 4 , à âåêòîðíîåïîëå v = sgradH íèãäå íå îáðàùàåòñÿ â íîëü.Íàðÿäó ñ ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòüþ íà âñåì ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè ìû áóäåì ãîâîðèòü î ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè íà èçáðàííûõèçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ñòðîãî ââåñòè ýòî ïîíÿòèå,äîñòàòî÷íî â îïðåäåëåíèÿõ 5 è 6 çàìåíèòü M 4 íà Q3 .Îïðåäåëåíèå 7 Òî÷êó x ∈ Q3 áóäåì íàçûâàòü êðèòè÷åñêîé, åñëè âåêòîðû sgradH è sgradF â íåé ëèíåéíî çàâèñèìû.Çàìåòèì ÷òî, ñèíãóëÿðíûå ñîâìåñòíûå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ èíòåãðàëîâTξ â Q3 ýòî â òî÷íîñòè òå ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðûå ïîïàëè êðèòè÷åñêèåòî÷êè, è òåîðåìà Ëèóâèëëÿ ê íèì íå ïðèìåíèìà.Ñäåëàåì åùå îäíî ïðåäïîëîæåíèå î èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, êàñàþùååñÿ ñâîéñòâ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî êðèòè÷åñêèå òî÷êè íà Q3 íå ìîãóò áûòü èçîëèðîâàííûìè. Ïîýòîìó ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë F ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ìîðñà, áåññìûñëåííî. Îäíàêî â21ñëó÷àå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííûé àíàëîã ýòîãî ïîíÿòèÿ.Îïðåäåëåíèå 8 Äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë F íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Áîòòà íà äàííîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè Q3 , åñëè âñå åãî êðèòè÷åñêèåòî÷êè îðãàíèçîâàíû â íåâûðîæäåííûå êðèòè÷åñêèå ïîäìíîãîîáðàçèÿ.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûìîáúåäèíåíèåì íåêîòîðûõ ãëàäêèõ ïîäìíîãîîáðàçèé, ïðè÷åì êàæäîå èç íèõíåâûðîæäåíî â ñëåäóþùåì ñìûñëå.
Âòîðîé äèôôåðåíöèàë d2 F íåâûðîæäåííà ïîäïðîñòðàíñòâå, òðàíñâåðñàëüíîì ê ïîäìíîãîîáðàçèþ (â êàæäîé òî÷êå).Äðóãèìè ñëîâàìè, îãðàíè÷åíèå ôóíêöèè F íà òðàíñâåðñàëü ê ïîäìíîãîîáðàçèþ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ìîðñà. ðåàëüíûõ èíòåãðèðóåìûõ çàäà÷àõ ôèçèêè è ìåõàíèêè òèïè÷íà ñèòóàöèÿ, êîãäà íàéäåííûé äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë F ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèìäëÿ âñåõ h, êðîìå íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî íàáîðà çíà÷åíèé. Ñëó÷àåâ æå, êîãäà íåáîòòîâñêèå çíà÷åíèÿ h îòñóòñòâóþò ïîëíîñòüþ, èçâåñòíî êðàéíå ìàëî.1.2.2 Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà.Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ìîìåíòà F,êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:F : M 4 → R2 (h, f )F : x → (H(x), F (x))Îáðàç êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà íàçûâàåòñÿ áèôóð-êàöèîííîé äèàãðàììîé.
Êàê ïðàâèëî îíà ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ íàáîð ãëàäêèõ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè, èìåþùèõ êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ, êàñàíèÿ è âîçâðàòà. Âîçìîæíû òàêæå è èçîëèðîâàííûå òî÷êè. Áèôóðêàöèîííóþ22äèàãðàììó óäîáíî èñïîëüçîâàòü êàê íåêîòîðûé ïîðòðåò ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû ñ öåëüþ âèçóàëèçàöèè ñòðóêòóðû êðèòè÷åñêîãî ìíîæåñòâà. Îòìåòèì, ÷òî ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà èçîýíåðãåòè÷åñêèåïîâåðõíîñòè ïåðåõîäÿò â ñåìåéñòâî ïàðàëëåëüíûõ âåðòèêàëüíûõ ïðÿìûõ.1.2.3 Ñòðóêòóðà êðèòè÷åñêèõ ìíîæåñòâ íà èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.Óñëîâèå áîòòîâîñòè íàêëàäûâàåò ñóùåñòâåííîå îãðàíè÷åíèå íà ñòðóêòóðóìíîæåñòâà êðèòè÷åñêèõ òî÷åê â Q3 . Äåéñòâèòåëüíî, êàæäàÿ êîìïîíåíòà åãîñâÿçíîñòè äîëæíà áûòü çàìêíóòûì ïîäìíîãîîáðàçèåì ðàçìåðíîñòè 1 èëè 2.Èç óñëîâèÿ v = sgradH 6= 0, ñëåäóåò, ÷òî íà ýòèõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõ ñóùåñòâóåò ãëàäêîå âåêòîðíîå ïîëå, îòëè÷íîå îò íóëÿ â êàæäîé òî÷êå. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòî èëè îêðóæíîñòü, èëè äâóìåðíûé òîð, èëè áóòûëêà Êëåéíà.
Âèçâåñòíûõ ïðèìåðàõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè êðèòè÷åñêèå ìíîæåñòâà äâóõïîñëåäíèõ òèïîâ âñòðå÷àþòñÿ êðàéíå ðåäêî è èõ ïîÿâëåíèå ñâÿçàíî, êàê ïðàâèëî, ñ íåóäà÷íûì âûáîðîì äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà. Òîïîëîãèÿ òàêèõîñîáåííîñòåé ïîäðîáíî èçó÷åíà â [1, ò.1, ãë.4]. Ìû æå äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âñå êðèòè÷åñêèå ïîäìíîãîîáðàçèÿ ÿâëÿþòñÿ îêðóæíîñòÿìè.1.2.4 Îêðåñòíîñòè ñèíãóëÿðíûõ ñëîåâ ëèóâèëëåâà ñëîåíèÿ íà èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.Èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü Q3 ïðåäñòàâëÿåò èçñåáÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ Tξèíòåãðàëîâ ñèñòåìû H è F , ïàðàìåòðèçîâàííîå çíà÷åíèåì âòîðîãî èíòåãðàëà F . Åñëè ñòÿíóòü êàæäóþ êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè ïîâåðõíîñòåé Tξ â òî÷êó,òî ìû ïîëó÷èì íåêîòîðûé îäíîìåðíûé ãðàô áàçó ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ (ñì.ðèñ. 1).
Íàä êàæäûì ðåáðîì òàêîãî ãðàôà âèñèò ìíîãîîáðàçèå äèôôåîìîðôíîå T 2 × (0, 1). Âåðøèíàì ãðàôà ñîîòâåòñòâóþò ñèíãóëÿðíûå ñëîè. Òèïè÷íîé ÿâëÿåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êðèòè÷åñêèé óðîâåíü23÷èñëî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè Tξ ìåíÿåòñÿ.Áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàìêíóòóþ òðåõìåðíóþ îêðåñòíîñòü îñîáîãî ñëîÿâ Q3 . Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â áîòòîâñêîì ñëó÷àå c òî÷íîñòüþ äî ëèóâèëëåâîéýêâèâàëåíòíîñòè ñóùåñòâóåò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî âîçìîæíûõ ïåðåñòðîåê(áèôóðêàöèé), åñëè ôèêñèðîâàòü êîëè÷åñòâî êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé íàñèíãóëÿðíîì ñëîå.Îïðåäåëåíèå 9 Êëàññ ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè çàìêíóòîé îêðåñòíîñòè îñîáîãî ñëîÿ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ íàçûâàåòñÿ 3-àòîìîì.Ñ êîíñòðóêòèâíîé òî÷êè çðåíèÿ, 3-àòîì ýòî òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ñî ñòðóêòóðîé ëèóâèëëåâà ñëîåíèÿ, ñîäåðæàùåãî ðîâíî îäèí ñèíãóëÿðíûé ñëîé, ïðè ýòîì ñèíãóëÿðíûé ñëîé ïðåäïîëàãàåòñÿ ñâÿçíûì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
