Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 9
Текст из файла (страница 9)
 åãî ïðîîáðàçå ëåæèò ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì 3-àòîì.61Åãî êðàé ñîñòîèò èç íåêîòîðîãî ÷èñëà (â çàâèñèìîñòè îò òèïà áèôóðêàöèè)ãðàíè÷íûõ òîðîâ. Íàì ïðåäñòîèò âûáðàòü íà êàæäîì òàêîì òîðå äîïóñòèìóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò â åãî ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïå.Îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûé öèêë áèôóðêàöèè ∗ áóäåì îáîçíà÷àòü λ∗ .
Ïîñòàâèì íàøåé öåëüþ ïðåäúÿâèòü íà êàæäîì ãðàíè÷íîì òîðå áèôóðêàöèéäîïóñòèìóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, âûðàæåííóþ â öèêëàõ λ∗ . Äëÿ îïðåäåëåííîñòè äîãîâîðèìñÿ ðåáðà âñåõ àòîìîâ îðèåíòèðîâàòü ïî âîçðàñòàíèþ H0 .Äðóãèìè ñëîâàìè, ê ïîëîæèòåëüíîé ãðàíèöåé âñÿêîãî 3-àòîìà îòíåñåì òåòîðû, íà êîòîðûõ çíà÷åíèå èíòåãðàëà H0 áîëüøå. íà÷àëå âûáåðåì äîïóñòèìûå êîîðäèíàòû íà ñåäëîâûõ àòîìàõ.Ðàññìîòðèì òî÷êó P ïðè a1 − a3 < g < −3a2 .
Îíà èìååò òèï ñåäëîñåäëî. Åå 4-îêðåñòíîñòü ïðåäñòàâèìà â âèäå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ 2-àòîìîâ(B × C2 ). Åãî ñîìíîæèòåëè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 6. Ãðàíè÷íûå öèêëû àòîìîâB è C2 îáîçíà÷åíû çà u, v1 , v2 è p1 , p2 , q1 , q2 ñîîòâåòñòâåííî.Îáîçíà÷èì 3-àòîìû, áëèçêèå ê òî÷êå P , ñîîòâåòñòâåííî Qγ1 , Qγ2 , Qβ1 ,Qβ3 . Òîãäà èìååì:1. Qγ1 = C2 × u;2. Qγ2 = (C2 × v1 ) ∪ (C2 × v2 );3. Qβ1 = (B × p1 ) ∪ (B × p2 );4. Qβ2 = (B × q1 ) ∪ (B × q2 );Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò íà ñåäëîâûõ àòîìàõ áåç çâåçäî÷åê, äëÿ ïåðâîãî 3-àòîìà Qγ1 èìååì:(u, q1 )(I)&(II)%(u, −p1 )(II)&(u, −p2 )C2 γ 1(u, q2 )(I)%62Ñòðåëî÷êè óêàçûâàþò íàïðàâëåíèå ðîñòà H0 .
Ðèìñêèå öèôðû íàä ñòðåëî÷êàìè îáîçíà÷àþò ñåìåéñòâî òîðîâ, ê êîòîðîìó îòíîñèòñÿ äàííûé ãðàíè÷íûé òîð. Çíàê ìèíóñ òðåáóåòñÿ äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ îðèåíòàöèé ñèñòåì êîîðäèíàò íà àòîìå. ïðîîáðàçàõ îñòàëüíûõ òðåõ ãëàäêèõ äóã áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû,ñõîäÿùèõñÿ â òî÷êå P , ëåæèò ïî äâà ýêçåìïëÿðà ñîîòâåòñòâóþùèõ àòîìîâ.Èìååì äëÿ i = 1, 2:(vi , q1 )(IV )&(II)%(vi , −p1 )(III)&(vi , −p2 )(II)%(pi , v1 )(III)&(pi , v2 )C2 γ 2(vi , q2 )(IV )%(II)(pi , −u) → Bβ1(IV )%(qi , v1 )(IV )&(qi , v2 )(I)(qi , −u) → Bβ2Çàìåòèì, ÷òî ïðè âûáîðå äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò íà àòîìå Qγ1 ìûïðîèçâîëüíî ïîñòàâèëè çíàê - ó ïðàâûõ áàçèñîâ, à íå ó ëåâûõ. Òåì ñàìûììû ôèêñèðîâàëè íåêîòîðóþ îðèåíòàöèþ íà ìíîãîîáðàçèè Q3γ1 .
Îäíàêî ïîñëåýòîãî ïðîèçâîëà â âûáîðå äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò äëÿ îñòàëüíûõ òðåõàòîìîâ íåò: îäíîçíà÷íûé îòâåò äàåò óñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè îðèåíòàöèéáàçèñîâ.Òåïåðü âñïîìíèì, ÷òî ïåðâûé áàçèñíûé öèêë áèôóðêàöèè âñåãäà ñîâïàäàåò ñ åå îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûì öèêëîì. Îòêóäà èìååì:λγ1 = u, λγ2 = vi , λβ1 = pi , λβ2 = qi .63Òåì ñàìûì ìû âûáðàëè äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò, âûðàæåííûå âîäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûõ áàçèñíûõ öèêëàõ, äëÿ äóã γ1 , γ2 , β1 è β2 .
Ðåçóëüòàòâûãëÿäèò òàê:(I)&(λγ1 , λβ2 )(II)%(λγ1 , −λβ1 )(II)&(λγ1 , −λβ1 )C2 γ 1(I)%(λγ1 , λβ2 )(λγ2 , λβ2 )(IV )&(II)%(λγ2 , −λβ1 )(III)&(λγ2 , −λβ1 )C2 γ 2(λγ2 , λβ2 )(IV )%(II)%(λβ1 , λγ2 )(III)&(λβ1 , λγ2 )(II)(λβ1 , −λγ1 ) → Bβ1(IV )%(λβ2 , λγ2 )(IV )&(λβ2 , λγ2 )(I)(λβ2 , −λγ1 ) → Bβ2Àíàëîãè÷íî, ðàññìîòðåâ òî÷êó P ïðè −3a2 < g < a3 − a1 , ïîëó÷àåìäîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò äëÿ áèôóðêàöèé β3 , β4 , γ3 è âòîðîé âàðèàíòäîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò äëÿ γ1 :(II)%(λγ1 , λβ3 )(λγ1 , −λβ4 )(I)%(II)&(λγ1 , λβ3 )(λγ3 , −λβ4 )(I)&(IV )%(λγ3 , λβ3 )(IV )&(λγ3 , λβ3 )(λγ1 , −λβ4 )(I)&C20 γ1C2 γ3(λγ3 , −λβ4 )(V )%64(λβ3 , λγ3 )(IV )&B(λβ3 , λγ3 )(λβ4 , λγ3 )β3→ (λβ3 , −λγ1 )(IV )%(I)&B(λβ4 , λγ3 )(II)(I)β4→ (λβ4 , −λγ1 )(V )%Çäåñü òîëüêî íåîáõîäèìî ïîÿñíèòü âûáîð îðèåíòàöèé âòîðûõ áàçèñíûõöèêëîâ.
Íàïîìíèì, ÷òî ïðè âûáîðå äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò äëÿ áèôóðêàöèé γ1 , γ2 , β1 , β2 ó íàñ áûëà àëüòåðíàòèâà: âçÿòü òàêèå çíàêè âòîðûõáàçèñíûõ öèêëîâ, íà êîòîðûõ ìû îñòàíîâèëèñü, ëèáî îäíîâðåìåííî çàìåíèòü âñå çíàêè íà ïðîòèâîïîëîæíûå. Îäíàêî ïîñëå òîãî êàê ìû ôèêñèðîâàëè âûáîð çíàêîâ äëÿ áèôóðêàöèé γ1 , γ2 , β1 , β2 , àíàëîãè÷íîãî ïðîèçâîëàäëÿ äóã γ1 , γ3 , β3 , β4 óæå íåò. Ïîêàæåì, ÷òî âûáîð çíàêîâ, óêàçàííûé âûøå,ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âåðíûì.Èç êðóãîâûõ ìîëåêóë îñîáûõ òî÷åê z4 è z6 ñëåäóåò, ÷òî λγ2 = λβ3 è λγ3 =λβ4 íà òîðàõ ñåìåéñòâà IV. Îáðàòèìñÿ ê äîïóñòèìûì áàçèñàì áèôóðêàöèé γ2è β3 , ñîîòâåòñòâóþùèì ïîñëåäíåìó ñåìåéñòâó.
Èç ñòðóêòóðû ñëîåíèÿ âáëèçèòî÷êè z4 ñëåäóåò, ÷òî îíè äîëæíû áûòü îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíû. Äëÿ γ2ìû âûáðàëè áàçèñ (λγ2 , λβ2 ), ïîýòîìó äëÿ β3 ñëåäóåò âûáðàòü áàçèñ (λβ3 , λγ3 ),êàê è áûëî ñäåëàíî, à íå (λβ3 , −λγ3 ). Òàêèì îáðàçîì óñòðàíÿåòñÿ ïðîèçâîëâ âûáîðå çíàêîâ âòîðûõ áàçèñíûõ öèêëîâ äëÿ äóã γ1 , γ3 , β3 è β4 .Îñòàëîñü âûáðàòü ñèñòåìû êîîðäèíàò íà àòîìàõ A.Íàïîìíèì, ÷òî äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà A-àòîìàõ èìåþò îäíî ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå: ðåãóëèðîâêà îðèåíòàöèè áàçèñà îñóùåñòâëÿåòñÿçà ñ÷åò ñîîòâåòñòâóþùåãî âûáîðà îðèåíòàöèè ïåðâîãî áàçèñíîãî öèêëà (îíîïðåäåëåí îäíîçíà÷íî òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî îðèåíòàöèè).
È ýòî ïîíÿòíî,65òàê êàê ó àòîìà A âòîðîé, à íå ïåðâûé áàçèñíûé öèêë èìååò åñòåñòâåííóþîðèåíòàöèþ, çàäàâàåìóþ ãàìèëüòîíîâûì ïîòîêîì. íà÷àëå ñôîðìóëèðóåì ïðåäëîæåíèå, êîòîðîå ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìåòêè r (ñì. 1.2.6).Ïðåäëîæåíèå 3 Ìåòêà r(∗ ∗ ∗) = ∞ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ öèêëîâ λ∗ è λ∗∗ íà òîðàõ ýòîãî ñåìåéñòâà ðàâåí 0 (ò.å.öèêëû ãîìîëîãè÷íû ñ òî÷íîñòüþ äî îðèåíòàöèè); r(∗ ∗ ∗) = 0 ⇔ ìîäóëü èíäåêñà ïåðåñå÷åíèÿ λ∗ è λ∗∗ ðàâåí 1 è ïàðà (λ∗ , λ∗∗ ) îáðàçóåò áàçèñ;r(∗ ∗ ∗) = 1/2 ⇔ ìîäóëü èíäåêñà ïåðåñå÷åíèÿ λ∗ è λ∗∗ ðàâåí 2.Âûáåðåì äîïóñòèìóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò äëÿ àòîìà α1 èñõîäÿ èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè z8 . Ìåòêè r = 0, ïîýòîìó ïàðà (±λα1 , ±λβ4 ) îáðàçóåòáàçèñ íà òîðàõ ñåìåéñòâà I.
Îñòàëîñü ðàçîáðàòüñÿ ñ îðèåíòàöèåé. Ïåðåä λβ4ñ íåîáõîäèìîñòüþ äîëæåí ñòîÿòü çíàê + òàê êàê íà ñîîòâåòñòâóþùåì ðåáðå êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè z8 ñòîèò ìåòêà ε = +1. Çíàê ïåðåä λα1 ëèøåíñìûñëà, òàê êàê ýòîò öèêë ïîêà îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî îðèåíòàöèè. Ïîñòàâèì ïåðåä íèì çíàê +, à îðèåíòàöèþ λα1 âûáåðåì òàêîé, ÷òîáû áàçèñ(λα1 , λβ4 ) èìåë òàêóþ æå îðèåíòàöèþ, êàê è ïðî÷èå áàçèñû ïîëîæèòåëüíûõãðàíèö àòîìîâ ñåìåéñòâà I. Èòàê:(I)A α1 → (λα1 , λβ4 )Äëÿ îñòàëüíûõ àòîìîâ A èç êðóãîâûõ ìîëåêóë òî÷åê zi àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì:(II)(λα2 , λβ1 ) → A α2(I)(λα3 , λβ2 ) → A α366(II)(λα4 , λβ1 ) → A α4(III)(λα5 , λβ1 ) → A α5(III)(λα6 , λγ2 ) → A α6(IV )(λα7 , λβ2 ) → A α7(IV )A α8 → (λα8 , λβ3 )(V )A α9 → (λα9 , λβ4 )(I)A α10 → (λα10 , λβ4 )(II)A α11 → (λα11 , λβ3 )(V )A α12 → (λα12 , λγ3 )2.6 Îïðåäåëåíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâÏðîàíàëèçèðóåì èíôîðìàöèþ èç êðóãîâûõ ìîëåêóë è ñïèñêà äîïóñòèìûõñèñòåì êîîðäèíàò äëÿ îïðåäåëåíèÿ âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè öèêëîâ λ∗ íàòîðàõ ñåìåéñòâ I-V.Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî I.
Íà êàæäîì òîðå ýòîãî ñåìåéñòâà áèôóðêàöèèîïðåäåëÿþò öèêëû λα1 , λα3 , λα10 λβ2 , λβ4 , λγ1 è λγ3 .  ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 3èç êðóãîâûõ ìîëåêóë îñîáûõ òî÷åê M, P, R, z3 , z6 , z8 ìîæíî èçâëå÷ü ñëåäóþùóþ èíôîðìàöèþ îá èíäåêñàõ ïåðåñå÷åíèÿ öèêëîâ:67ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿλα1 , λα31λα1 , λβ20λα10 , λγ10λβ2 , λγ11λβ4 , λγ11λβ4 , λγ31λα1 , λγ30λα3 , λβ21λα3 , λβ21λβ2 , λγ30λα1 , λβ41λα10 , λβ41Ñ äðóãîé ñòîðîíû, áàçèñû íà ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ ãðàíèöàõàòîìîâ äîëæíû èìåòü ðàçíóþ îðèåíòàöèþ.  ñèëó ÷åãî èç ñïèñêà äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò ñëåäóåò, ÷òî áàçèñû (λα1 , λβ4 ), (λα10 , λβ4 ), (λγ1 , λβ2 ),(λγ1 , −λβ4 ), (λγ3 , −λβ4 ) äîëæíû èìåòü îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ, à áàçèñû(λα3 , λβ2 ), (λβ4 , −λγ1 ) ïðîòèâîïîëîæíóþ èì.Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòè óñëîâèÿ îïðåäåëÿþò âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå âñåõ öèêëîâ ðàññìàòðèâàåìîãî ñåìåéñòâà îäíîçíà÷íî.Àíàëèç îñòàëüíûõ ñåìåéñòâ òîðîâ ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî.
Ìû íå ïðèâîäèì çäåñü ýòè ðàññóæäåíèÿ â ñèëó èõ òðèâèàëüíîñòè.  êàæäîì ñëó÷àåèíôîðìàöèè èç ñïèñêà êðóãîâûõ ìîëåêóë è äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàòîêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå öèêëîâ.Íà ðèñ. 7 ïðåäñòàâëåí èòîãîâûé ðåçóëüòàò. Ôóíäàìåíòàëüíûå ãðóïïû ñå68ìåéñòâ òîðîâ èçîáðàæåíû â âèäå öåëî÷èñëåííîé ðåøåòêè íà ïëîñêîñòè, àöèêëû â âèäå âåêòîðîâ íà íåé.
Ýòî ïîçâîëÿåò íàãëÿäíî îòîáðàçèòü ñîáðàííóþ èíôîðìàöèþ.2.7 Àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòà Ôîìåíêî-ÖèøàíãàÐèñ. 7 ñëåäóåò ñ÷èòàòü îòâåòîì íà ïîñòàâëåííóþ â äàííîé ðàáîòå çàäà÷ó.Äåéñòâèòåëüíî, çíàÿ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå áàçèñíûõ öèêëîâ íà òîðàõ èâñå äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò, ìîæíî âû÷èñëèòü ìîëåêóëó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ëþáîé äîïóñòèìîé êðèâîé. Äåéñòâîâàòü ñëåäóåò òàê:1.
Èçîáðàçèòü êðèâóþ íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå.2. Çàäàòü íà êðèâîé îðèåíòàöèþ.3. Âûïèñàòü äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà àòîìàõ, ëåæàùèõ â ïðîîáðàçå êðèâîé; ïîäêîððåêòèðîâàòü îðèåíòàöèè àòîìîâ, ñîãëàñóÿ èõ ñîðèåíòàöèåé íà êðèâîé. Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ñìåíå îðèåíòàöèè íà ñåäëîâûõ àòîìàõ, ìåíÿþòñÿ çíàêè âñåõ âòîðûõ áàçèñíûõ öèêëîâ, à â ñëó÷àåàòîìà A çíàê ïåðâîãî áàçèñíîãî öèêëà.4. Âûïèñàòü ìàòðèöû ñêëååê íà ðåáðàõ ìîëåêóëû, ïîëüçóÿñü ðèñ.
7.5. Âû÷èñëèòü ïî ìàòðèöàì ñêëååê ÷èñëîâûå ìåòêè r, ε è n.2.8 Ïðèìåð âû÷èñëåíèÿ ìå÷åíîé ìîëåêóëû êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ âûøåèçëîæåííîãî àëãîðèòìà âû÷èñëèììåòêè ìîëåêóëû, ñîîòâåòñòâóþùåé âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ïðàâåå âñåõ îñîáûõ òî÷åê áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû. Ýòî òàê íàçûâàåìàÿìîëåêóëà áîëüøèõ ýíåðãèé (äëÿ èñõîäíîãî ãàìèëüòîíèàíà Ñòåêëîâà H ).69Îðèåíòèðóåì ïðÿìóþ ïî âîçðàñòàíèþ H0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
