Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Òî÷êè âîçâðàòà z3 è z4 ïîäïàäàþò ïîä ïðåäëîæåíèå 2. Ïîýòîìó èõ êðóãîâûå ìîëåêóëû öåëèêîì èçâåñòíû.  ÷àñòíîñòè, èìååì r(α4 β1 ) = 0 è r(α4 β2 ) = 0â ñåìåéñòâå III, ÷òî äàåò r-ìåòêè äëÿ ðåáåð ýòîãî æå ñåìåéñòâà ìîëåêóë òî÷åê z1 è z2 . Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âû÷èñëèòü îñòàâøèåñÿ r-ìåòêè, îòíîñÿùèõñÿê ñåìåéñòâó II, èç êàêèõ-ëèáî ýëåìåíòàðíûõ ñîîáðàæåíèé, êàê ýòî áûëî âñëó÷àå Ñòåêëîâà, íåâîçìîæíî.
Ïîçæå â ï. 3.5 ìû óáåäèìñÿ, ÷òî îíè òàêæåíóëåâûå. Çäåñü ìû ïðèâîäèì ýòîò ôàêò äëÿ ïîëíîòû.Òåîðåìà äîêàçàíà.3.4 Äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàòÓêàæåì äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò 3-àòîìîâ â òåðìèíàõ öèêëîâ λ∗ .Äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ñåäëîâûõ àòîìàõ β1 , β2 , γ1 è γ2 âûáåðåì èñõîäÿ èç ïðåäñòàâëåíèÿ îñîáåííîñòè òî÷êè P òèïà ñåäëî-ñåäëî â âèäåïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ (C2 ×C2 )/Z2 , ïðè÷åì ãðóïïà Z2 äåéñòâóåò öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé íà êàæäîì èç ñîìíîæèòåëåé.
Èìååì:(λγ1 , λβ1 )(II)&(I)%(λγ1 , −λγ2 )(I)&(λγ1 , −λγ2 )C2 γ1(λγ1 , λβ1 )(λγ2 , −λβ2 )(II)%(II)&(I)%(λγ2 , λγ1 )(I)&(λγ2 , λγ1 )C2 γ2(λγ2 , −λβ2 )(II)%81(λβ1 , −λβ1 +λβ2)2(II)&B(λβ1 , −(λβ2 ,λβ1 +λβ2)2λβ1 +λβ2)2λβ1 +λβ2)2β1→ (λβ1 , λγ1 + λβ1 )(III)%(II)&B(λβ2 ,(II)(II)β2→ (λβ2 , −(λγ2 + λβ2 ))(III)%Òåïåðü âûáåðåì äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ìèíèìàêñíûõ àòîìàõA áèôóðêàöèé α1 , . . . α5 .Äîïóñòèìûé áàçèñ íà àòîìå A α4 âûáèðàåòñÿ èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè z3 , èñõîäÿ èç òåõ æå ñîîáðàæåíèé, ÷òî ïðèâîäèëèñü äëÿ ñëó÷àÿ Ñòåêëîâà.(III)A α4 → (λα4 , λβ1 )Îòìåòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàÿ êðóãîâóþ ìîëåêóëó òî÷êè z4 , äëÿ ýòîé áèôóðêàöèè ìû ìîãëè òàêæå âûáðàòü áàçèñ (λα4 , λβ2 ).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîïàðû (λα4 , λβ1 ) è (λα4 , λβ2 ) èìåþò îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ.Ïîçæå â ï. 3.5 ìû óâèäèì, ÷òî íà ðåáðàõ ìîëåêóë òî÷åê z1 è z2 , îòíîñÿùèõñÿ ê ñåìåéñòâó II, ñòîÿò ìåòêè r = 0. Ýòî äàñò âîçìîæíîñòü âûáðàòüäîïóñòèìûé áàçèñ áèôóðêàöèè α3 . Ìû óêàçûâàåì åãî çäåñü äëÿ ïîëíîòûñïèñêà, îäíàêî ïîëüçîâàòüñÿ ýòèì ïîêà íå áóäåì:(II)A α3 → (λα3 , λβ1 )Çàäà÷à âûáîðà äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò äëÿ îñòàëüíûõ àòîìîâ Aÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíîé.  êàæäîì ñëó÷àå ìû ëåãêî íàéäåì öèêë, äîïîëíÿþùèé ïåðâûé äî áàçèñà, îäíàêî ïî òðåáîâàíèÿì äîïóñòèìîñòè îí åùå82äîëæåí èìåòü îðèåíòàöèþ, ñîãëàñîâàííóþ ñ ãàìèëüòîíîâûì ïîòîêîì âáëèçè áèôóðêàöèè.
Èç-çà îòñóòñòâèÿ îñîáåííîñòåé âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõîðáèò, â êîòîðûõ áû ó÷àñòâîâàëè ðàññìàòðèâàåìûå àòîìû A, ïðîâåðèòü ýòîñòàðûì ìåòîäîì íå óäàñòñÿ.Èç ìåòîê r = ∞ êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè N ñëåäóåò, ÷òî öèêëû λα1 èλγ1 ãîìîëîãè÷íû (ñ òî÷íîñòüþ äî îðèåíòàöèè). Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êèP òèïà ñåäëî-ñåäëî, ïîëó÷àåì, ÷òî èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ λγ1 è λβ1 ðàâåí 1.Ñëåäîâàòåëüíî, ïàðà (λα1 ± λβ1 ) îáðàçóåò áàçèñ áèôóðêàöèè α1 .
Ðàññóæäàÿàíàëîãè÷íî, ìû çàâåðøàåì ñïèñîê äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò:(II)(λα1 , ±λβ1 ) → A α1(I)(λα2 , ±λγ2 ) → A α2(I)(λα5 , ±λγ1 ) → A α5Ïîçæå â ï. 3.6 áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ïðàâèëüíûé âàðèàíò â êàæäîì èç ñëó÷àåâ ñîîòâåòñòâóåò çíàêó +, îäíàêî äëÿ ýòîãî áóäóò ïðèâëå÷åíû íåòðèâèàëüíûå äîïîëíèòåëüíûå ðàññóæäåíèÿ.3.5 Îïðåäåëåíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâÄëÿ îïðåäåëåíèÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ öèêëîâ λ∗ áóäåì ðàññìàòðèâàòüñåìåéñòâà òîðîâ I-III ïîî÷åðåäíî.Íà÷íåì ñ ñàìîãî ïðîñòîãî ñåìåéñòâà III.
Íà êàæäîì òîðå ýòîãî ñåìåéñòâà áèôóðêàöèè îïðåäåëÿþò öèêëû λα4 , λβ1 è λβ2 .  ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 3èç êðóãîâûõ ìîëåêóë îñîáûõ òî÷åê P , z3 è z4 ìîæíî èçâëå÷ü ñëåäóþùóþèíôîðìàöèþ îá èíäåêñàõ ïåðåñå÷åíèÿ öèêëîâ:83ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿλα4 , λβ11λα4 , λβ21λβ1 , λβ22Ñ äðóãîé ñòîðîíû, áàçèñû íà ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ ãðàíèöàõàòîìîâ äîëæíû èìåòü ðàçíóþ îðèåíòàöèþ.  ñèëó ÷åãî èç ñïèñêà äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò ñëåäóåò, ÷òî áàçèñû (λα4 , λβ1 ), (λα4 , λβ2 ) äîëæíûèìåòü îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ, à áàçèñû (λβ1 , −λβ1 +λβ2),2(λβ2 ,λβ1 +λβ2)2 ïðî-òèâîïîëîæíóþ èì.
Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòè óñëîâèÿ îïðåäåëÿþò âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå âñåõ öèêëîâ ðàññìàòðèâàåìîãî ñåìåéñòâà îäíîçíà÷íî.Ðåçóëüòàò èçîáðàæåí íà ðèñ. 10 â âèäå âåêòîðîâ íà öåëî÷èñëåííîé ðåøåòêåòîðà.Ïåðåéäåì ê èññëåäîâàíèþ ñåìåéñòâà II.Ðàññìîòðèì êðóãîâóþ ìîëåêóëó òî÷êè z3 . Èç ñïèñêà äîïóñòèìûõ ñèñòåìêîîðäèíàò è ðèñ. 10 íàõîäèì ìàòðèöó ñêëåéêè íà ðåáðå B −→ A, îòíîñÿùåìóñÿ ê óæå èññëåäîâàííîìó ñåìåéñòâó III:λα4=λβ11 11 0λβ1λ +λ− β1 2 β2 ñèëó çàìå÷àíèÿ 2, íà ðåáðå îòíîñÿùåìñÿ ê ñåìåéñòâó II, èìååì ñîîòíîøåíèå:λβ1λβ1 + λγ1=10k −1λβ1λ +λ− β1 2 β2,k ∈ ZÏðèìåíÿÿ ôîðìóëó Òîïàëîâà (1.1) ê êðóãîâîé ìîëåêóëå òî÷êè z3 , Q3τ ∼= T3 ,N (W ∗ ) = 0, èìååì:841 · (1/1 + [−k/1]) = 0 ⇔ k = 1 ⇒λβ1 + λγ1 = λβ1 +λβ1 + λβ2λβ + λβ2⇔ λγ1 = 1.22Ïðîâîäÿ òå æå ðàññóæäåíèÿ äëÿ êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè z4 , èìååì:λα4=λβ1λβ2−1 1−1 2=−(λβ2 + λγ2 )λβ2λβ1 +λβ2210k 0 −1λβ2λβ1 +λβ22 , k0 ∈ Z1 · (−1/1 + [−k 0 /1]) = 0 ⇔ k 0 = −1 ⇒−(λβ1 + λγ2 ) = −λβ1 −λβ1 + λβ2λβ + λβ2⇔ λγ2 = 1.22Äâà ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèÿ â êóïå ñ èíôîðìàöèåé îá èíäåêñàõ ïåðåñå÷åíèÿ èç êðóãîâûõ ìîëåêóë è îá îðèåíòàöèè áàçèñîâ èç ñïèñêà äîïóñòèìûõñèñòåì êîîðäèíàò îïðåäåëÿþò âçàèìíîå ïîëîæåíèå öèêëîâ λβ1 , λβ2 è λγ1 , λγ2îäíîçíà÷íî (ñì.
ðèñ. 10).Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè N öèêë λα1 ãîìîëîãè÷åí ñ òî÷íîñòüþ äîîðèåíòàöèè öèêëó λγ1 . Âîïðîñ îá åãî îðèåíòàöèè áóäåò ðåøåí â ï. 3.6.Îòíîñèòåëüíî öèêëà λα3 ïîêà ñîõðàíÿåòñÿ ïîëíàÿ íåîïðåäåëåííîñòü, ñâÿçàííàÿ ñ òåì, ÷òî ìû íå çíàåì r-ìåòîê â ñåìåéñòâå II ìîëåêóë òî÷åê z1 èz2 .Ðàññìîòðèì ìîëåêóëó â ïðîîáðàçå âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåéñïðàâà îò âñåõ îñîáûõ òî÷åê áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû. Ýòî òàê íàçûâàåìàÿ ìîëåêóëà áîëüøèõ ýíåðãèé (äëÿ èñõîäíîãî ãàìèëüòîíèàíà ÊëåáøàH ).
Âûïèøåì ìàòðèöû ñêëåéêè íà åå ðåáðàõ äëÿ ñëó÷àÿ g 2 < p1 , íàñêîëüêîîíè íàì ñåé÷àñ èçâåñòíû:85Ã!Ã!a b0±1∗ ∗±10A α3 -% A α2C2 γ 2A.à α3 !& A α2Ã!a b0±1∗ ∗±10Êàê èçâåñòíî, ìîëåêóëà áîëüøèõ ýíåðãèé â ìåõàíèêè òâåðäîãî òåëà âñå-ãäà èìååò òîïîëîãè÷åñêèé òèï RP 3 [1, ò.2, ãë.5]. Èìååì H1 (RP 3 ) = Z2 ⇒N (W ∗ ) = 2, è ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Òîïàëîâà (1.1):µb2a a00+ ++b b ±1 ±1¶= ±2 ⇔ ab = ±1 ðåçóëüòàòå äëÿ èçîáðàæåíèÿ öèêëà λα3 íà ðèñ. 10 îñòàåòñÿ ÷åòûðå âàðèàíòà: (1, −1), (1, −3), (−1, 1) è (−1, 3).
Âû÷èñëÿÿ ïåðâûå ñòðîêè ìàòðèöñêëåéêè íà ðåáðàõ êðóãîâûõ ìîëåêóë òî÷åê z1 è z2 äëÿ êàæäîé èç àëüòåðíàòèâ, óáåæäàåìñÿ, ÷òî òîëüêî äëÿ ñëó÷àÿ a = b = 1 ⇔ λα3 = (1, −1) âñå÷åòûðå ìåòêè ε ðàâíû +1:λα3=∗∗1 1∗ ∗λα3=λβ1λ +λ− β1 2 β2−1 1∗∗ ⇒ ε = +1,λβ2λβ1 +λβ22 ⇒ ε = +1,÷òî â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1 äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ. Òåì ñàìûì ïîëîæåíèå öèêëà λα3 â ñåìåéñòâå II íàìè óñòàíîâëåíî îäíîçíà÷íî.Çàìå÷àíèå 4 Èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ öèêëîâ λα3 ñ λβ1 è λα3 ñ λβ1 ðàâåí 1,ñëåäîâàòåëüíî, íà ðåáðàõ êðóãîâûõ ìîëåêóë òî÷åê z1 è z2 ñåìåéñòâà II86ìåòêè r = 0, à áàçèñ (λα3 , λβ1 ) ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì äëÿ áèôóðêàöèè α3 .Çàìå÷àíèå 5 Ê äàííîìó ìîìåíòó íàìè óñòàíîâëåíî, ÷òî ìîëåêóëà áîëüøèõ ýíåðãèé â ñëó÷àå Êëåáøà èìååò âèä:r=0r=0ε=1ε =?A (II)&(I)%AC2A (II)n=2%(I)&Ar=0r=0ε=1ε =?Îñòàëîñü óÿñíèòü âçàèìíîå ïîëîæåíèå öèêëîâ â ñåìåéñòâå I.Íà ýòîì ñåìåéñòâå îïðåäåëåíû öèêëû λα1 , λα5 , λγ1 è λγ2 , ïðè ýòîì èçâåñòíî, ÷òî öèêëû λα1 è λγ1 ñ òî÷íîñòüþ äî îðèåíòàöèè ãîìîëîãè÷íû, à ïàðà(λγ2 , λγ1 ) îáðàçóåò áàçèñ ïîëîæèòåëüíîé ãðàíèöû àòîìà.Îðèåíòàöèÿ öèêëà λα1 áóäåò íàéäåíà â ï.
3.6. Óñòàíîâèì ïîëîæåíèå öèêëà λα5 . Âûïèøåì ìàòðèöû ñêëåéêè äëÿ ìîëåêóëû áîëüøèõ ýíåðãèé äëÿñëó÷àÿ g 2 > p2 , íàñêîëüêî îíè íà äàííûé ìîìåíò íàì èçâåñòíû:Ã!Ã−1 101A α3 &!a0b0±10% A α5C2 γ1A%à α3 !& A α5Ã!−1 101Ñäåëàåì âàæíîå87a0b0±10Çàìå÷àíèå 6  ñëó÷àå Êëåáøà ìîëåêóëà áîëüøèõ ýíåðãèé îäèíàêîâà äëÿëþáûõ çíà÷åíèé g .Äåéñòâèòåëüíî, ñîîòâåòñòâóþùèå èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè ìîãóòáûòü ïåðåâåäåíû äðóã â äðóãà ãëàäêîé èçîòîïèåé ñ èçìåíåíèåì ïàðàìåòðàg , íå âñòðå÷àÿ îñîáûõ òî÷åê áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû. Ñëåäîâàòåëüíî,òèï ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ íà íèõ íå èçìåíèòñÿ.Ðàññìàòðèâàÿ ðàíåå ìîëåêóëó áîëüøèõ ýíåðãèé â ñëó÷àå g 2 < p1 , ìûóñòàíîâèëè, ÷òî ìåòêà r íà ðåáðàõ ñåìåéñòâà I ðàâíà 0, à ìåòêà n = 2.
Âï. 3.6 áóäåò äîêàçàíî, ÷òî ìåòêà ε = +1.  ðåçóëüòàòå íà êîýôôèöèåíòû a0è b0 èìååì óñëîâèÿ:r = 0 ⇒ a0 /b0 ∈ Z,ε = 1 ⇒ b0 > 0 ⇒ b0 = 1,·¸· 0¸1an = 2 ⇔ n = 2 − + 2 0 = 2 ⇔ a0 = 2.1bÒåì ñàì ïîëîæåíèå öèêëà λα5 îäíîçíà÷íî óñòàíîâëåíî.Äëÿ ñåìåéñòâà I îòäåëüíî ñëåäóåò îáãîâîðèòü ñëåäóþùåå îáñòîÿòåëüñòâî. ñëó÷àÿõ g 2 < p1 è g 2 > p2 àëãîðèòìîì âû÷èñëåíèÿ ìå÷åíîé ìîëåêóëû äëÿïðîèçâîëüíîé äîïóñòèìîé êðèâîé (ï.
2.7) ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ áåç êàêèõëèáî èçìåíåíèé. Îäíàêî â ñëó÷àå p1 < g 2 < p2 , êîãäà â ñåìåéñòâå I ñèäèòîñîáàÿ òî÷êà P òèïà ôîêóñ-ôîêóñ (ñì. ðèñ. 9 c), òàê ìîæíî ïîñòóïàòü ëèøüäëÿ êðèâûõ, ïðîõîäÿùèõ ñëåâà îò íåå, òî åñòü âäîëü îñòîâà áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììû.  ñëó÷àå, êîãäà êðèâàÿ ïðîõîäèò ñïðàâà îò òî÷êè P , ìåòêèìîëåêóëû óñòàíàâëèâàþòñÿ èç çàìå÷àåíèÿ 6.883.6 Ðàçðåøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé ñ îðèåíòàöèÿìèÄëÿ çàâåðøåíèÿ Ëèóâèëëåâîé êëàññèôèêàöèè ñèñòåìû Êëåáøà íàì îñòàëîñü óñòðàíèòü íåîïðåäåëåííîñòü, ñâÿçàííóþ ñ îðèåíòàöèåé âòîðûõ áàçèñíûõ öèêëîâ áèôóðêàöèé α1 , α2 è α5 .
Ïîñëå ýòîãî îðèåíòàöèè öèêëîâ λα1 èλα2 âûáèðàþòñÿ èñõîäÿ èç òðåáîâàíèÿ ñîãëàñîâàííîñòè îðèåíòàöèé áàçèñîâ(ñì. ï. 1.2.5). Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì ôóíäàìåíòàëüíûì ôàêòîì.Òåîðåìà 11 Ñëó÷àè Êëåáøà è Ýéëåðà ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèè.Äîêàçàòåëüñòâî:Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé Êëåáøà, çàäàâàåìûé ïàðîé (Hε , Fε ), êàêâîçìóùåíèå ñëó÷àÿ Ýéëåðà, ïîëó÷àþùåãîñÿ ïðè ε = 0. Çàôèêñèðóåì çíà÷åíèå g 6= 0 è áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì Hε × Fε .
Àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ε → 0 èìååìci → 0 ⇒ p1 , p2 → 0, ïîýòîìó, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî äîñòàòî÷íîãî ìàëîãîçíà÷åíèÿ ε, áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ïðèìåò âèä, óêàçàííûé íà ðèñ. 9 d,à â ïðåäåëå ïðåâðàòèòñÿ â áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó ñëó÷àÿ Ýéëåðà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
