Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Îòìåòèì, ÷òî áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñëó÷àÿ Ýéëåðà (ñì. ðèñ. 12) êà÷åñòâåííî íå îòëè÷àåòñÿ îò áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû Êëåáøà ïðè g 2 > p2 .Ðàññìîòðèì âåðòèêàëüíóþ ïðÿìóþ, êîòîðàÿ â ïðîöåññå äåôîðìàöèè îñòàåòñÿ ñïðàâà îò îñîáûõ òî÷åê áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû. Èç ïðèâåäåííûõâûøå ðàññóæäåíèé ñëåäóåò, ÷òî ýòî âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü. Òàêàÿ ïðÿìàÿ ñîîòâåòñòâóåò ìîëåêóëå áîëüøèõ ýíåðãèé. Îíà èñïûòûâàåò ãëàäêóþ èçîòîïèþè ñëîåíèå â åå ïðîîáðàçå íå ìåíÿåòñÿ.Äëÿ ñëó÷àÿ g = 0 óòâåðæäåíèå òåîðåìû òàêæå âåðíî â ñèëó çàìå÷àíèÿ 6.Òåîðåìà äîêàçàíà.89Ìîëåêóëà áîëüøèõ ýíåðãèé ñëó÷àÿ Ýéëåðà èçâåñòíà èç [1, ò.2, ãë.5]: îíàñîâïàäàåò ñ ìîëåêóëîé, óêàçàííîé â çàìå÷àíèè 5, ïðè ýòîì âñå åå ìåòêèε = +1.
Ñëåäîâàòåëüíî, è â ñëó÷àå Êëåáøà ìåòêè ε, îòíîñÿùèåñÿ ê ðåáðàì ñåìåéñòâà I åäèíñòâåííûå, îñòàâàâøèåñÿ äî íàñòîÿùåãî ìîìåíòà íåâû÷èñëåííûìè, ðàâíû +1. Çàìåòèì, ÷òî îñòàëüíûå ìåòêè ìîëåêóëû áûëè âû÷èñëåíû íàìè áåç èñïîëüçîâàíèÿ a priori ýêâèâàëåíòíîñòè Ýéëåðà èÊëåáøà. Òî ÷òî ýòè ìåòêè ñîâïàëè ñ îæèäàåìûìè ãîâîðèò â ïîëüçó ïðàâèëüíîñòè ïðîäåëàííîãî àíàëèçà.Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ íàéäåííîé ìîëåêóëîé áîëüøèõ ýíåðãèé Êëåáøàäëÿ ðàçðåøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé ñ îðèåíòàöèÿìè öèêëîâ.Ïðè g 2 < p1 íà ðåáðå ñåìåéñòâà I èìååì:λα2=±λγ20 ±1±10λγ2.λγ1Èç-çà òîãî, ÷òî ìåòêà ε = 1, çàêëþ÷àåì, ÷òî èìååò ìåñòî ñëó÷àé çíàêà +,è ïðàâèëüíûé âàðèàíò äîïóñòèìîãî áàçèñà äëÿ α2 :(I)(λα2 , λγ2 ) → A α2Ðàññìàòðèâàÿ ñëó÷àé g 2 > p2 , äëÿ áèôóðêàöèè α5 èìååì:λα5±λγ1=2 ±1±10λγ1−λγ2(I) , ε = 1 ⇒ (λα5 , λγ1 ) →Aα5Îðèåíòàöèþ âòîðîãî áàçèñíîãî öèêëà äëÿ áèôóðêàöèè α1 óñòàíîâèì èñõîäÿ èç îñîáåííîñòè òî÷êè N òèïà ñåäëî-öåíòð.
Ñîãëàñíî [1, ò.1, ãë.9] êðóãîâàÿ ìîëåêóëà îñîáåííîñòè òèïà ñåäëî-öåíòð îáëàäàåò ñâîéñòâîì: ε = +1 íàâñåõ èñõîäÿùèõ ðåáðàõ è ε = −1 íà âñåõ âõîäÿùèõ ðåáðàõ, èëè íàîáîðîò â çàâèñèìîñòè îò îðèåíòàöèè íà Q3τ . Âû÷èñëèì ε-ìåòêè íà ðåáðàõ ñåìåéñòâàI:90λα2=λγ210λγ10 −1 ⇒ ε = 1.−λγ2Òîãäà íà ðåáðàõ ñåìåéñòâà II äîëæíà ñòîÿòü ìåòêà ε = −1:λγ1λβ1=∓100 ±1λα1±λβ1 , ε = −1 ⇒ (λα1 , λβ1 ) (II)→ Aα1è äîïóñòèìûé áàçèñ äëÿ áèôóðêàöèè α1 òåïåðü óñòàíîâëåí.3.7 Âû÷èñëåíèå ìîíîäðîìèè îñîáåííîñòè òèïà ôîêóñ-ôîêóñÏîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ P ïðè p1 < g 2 < p2 ÿâëÿåòñÿ îñîáåííîñòüþ òèïàôîêóñ-ôîêóñ. Êàê èçâåñòíî [1, ò.1, ãë.9], âñÿêàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ñèíãóëÿðíîãî ñëîÿ â ýòîì ñëó÷àå ýòî òîð ñ m ïåðåòÿæêàìè.
Ýòè ïåðåòÿæêè èåñòü íåïîäâèæíûå òî÷êè äåéñòâèÿ Ïóàññîíà. Êîëè÷åñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê íà ñâÿçíîé êîìïîíåíòå ñèíãóëÿðíîãî ñëîÿ îïðåäåëÿåò êëàññ ëèâèëëåâîéýêâèâàëåíòíîñòè îñîáåííîñòè ôîêóñ-ôîêóñ è, â ÷àñòíîñòè, åå ìîíîäðîìèþ.Åñëè íà òîðå ôèêñèðîâàòü íåêîòîðûé áàçèñ, òî ìîíîäðîìèÿ çàäàåòñÿ ìàòðèöåé ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòîãî áàçèñà ïðè îáõîäå îñîáåííîñòè ïî îêðóæíîñòè.Èçâåñòíî, ÷òî åñëè êîëè÷åñòâî ïåðåòÿæåêðàâíî m, òî â ïîäõîäÿùåì áàçèñåìàòðèöà ìîíîäðîìèè èìååò âèä 1 0.m 1Íàì èçâåñòíî, ÷òî â ïðîîáðàçå òî÷êè P ëåæèò äâå íåïîäâèæíûõ òî÷êè,îäíàêî íå ÿñíî, ðàñïîëàãàþòñÿ ëè îíè íà åäèíñòâåííîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ñèíãóëÿðíîãî ñëîÿ, èëè æå ñèíãóëÿðíûé ñëîé ñîñòîèò èç äâóõ êîìïîíåíò, òî åñòü äâóõ òîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò ïî îäíîé ïåðåòÿæêå.Ïðîâåäåííûé â ïðåäûäóùèõ ïóíêòàõ àíàëèç ïîâîëèò íàì ëåãêî âû÷èñëèòüìîíîäðîìèþ è òåì ñàìûì óáåäèòüñÿ, ÷òî èìååò ìåñòî âòîðîé âàðèàíò.91Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó ïðè p1 < g 2 <p2 (ðèñ.
9 c) è âû÷èñëèì ìàòðèöó ñêëåéêè íà ðåáðå ñåìåéñòâà I ìîëåêóëû áîëüøèõ ýíåðãèé. Èç çàìå÷àíèÿ 6 íàì èçâåñòíû âñå ìåòêè, ïîýòîìó ñíåîáõîäèìîñòüþ ïîëó÷àåì:Ã!Ã−1 10!2 111 0A α3 &% A α2C2 γ1A%à α3 !& A α2Ã!−1 12 1011 0Ïóòü âîêðóã òî÷êè P ïðåäñòàâèì â âèäå êîìïîçèöèè ïóòè, ñîåäèíÿþùåãîäóãó α2 ñ äóãîé γ1 ñëåâà îò òî÷êè P , è ïóòè, ñîåäèíÿþùåãî äóãóγ1 ñ äóãîé α21ñïðàâà îò íåå. Ìàòðèöà ñêëåéêè ïåðâîãî ïóòè ðàâíà 0, à ìàòðèöà0 −1ñêëåéêè âòîðîãî ïóòè åñòü ìàòðèöà ñêëåéêè íà ðåáðå ñåìåéñòâà I ìîëåêóëûáîëüøèõ ýíåðãèé ïðè p1 < g 2 < p2 è áûëà òîëüêî ÷òî âû÷èñëåíà.
 èòîãå,íàõîäèì ìàòðèöó ìîíîäðîìèè U :U =2 −11=02 11 010.0 −1Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòà ìàòðèöà ëåæèò â îäíîì êëàññå ñîïðÿæåííîñòèñ ìàòðèöåé 1 01 1U = C −1 . Äåéñòâèòåëüíî:1 01 1C = 1 −12 −11 01 192−1 1−2 1=2 −110.3.8 Ïîëíûé ñïèñîê èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë ñëó÷àÿ Êëåáøà ïðåäûäóùèõ ïóíêòàõ íàìè ïîëó÷åí ïîëíûé ñïèñîê äîïóñòèìûõ ñèñòåìêîîðäèíàò è óñòàíîâëåíî âçàèìíîå ïîëîæåíèå öèêëîâ λ∗ â ñëó÷àå Êëåáøà.Äàííàÿ èíôîðìàöèÿ ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ìå÷åíóþ ìîëåêóëó ëþáîé äîïóñòèìîé êðèâîé â ñîîòâåòñòâèè ñ àëãîðèòìîì ï. 2.7. êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì âàæíûé ñëó÷àé èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè ïðè îòîáðàæåíèèìîìåíòà H0 × F0 ïåðåõîäÿò â ïðÿìûå αh + βf = c ñ óãëîì íàêëîíà èççîí I è II ðèñ. 8. Ðàçëè÷íûå ñå÷åíèÿ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû òàêèìèïðÿìûìè ïîêàçàíû íà ðèñ.
11. ×àñòü èç íèõ äëÿ óäîáñòâà èçîáðàæåíà êðèâûìè, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò èçîòîïíûì èì ïðÿìûì ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõïàðàìåòðîâ c1 , c2 è c3 .Íîìåðàì ïðÿìûõ íà ðèñ. 11 ñîîòâåòñòâóþò ìîëåêóëû â òàáëèöàõ 3 è 4. Âïåðâîé ïðèâåäåíû ìîëåêóëû ñ ñ ìàòðèöàìè ñêëååê, âî âòîðîé ìå÷åíûå ìîëåêóëû.  ïîñëåäíåé òàáëèöå òàêæå óêàçàíû òîïîëîãè÷åñêèå òèïû ñîîòâåòñòâóþùèõ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé Q3h , âû÷èñëåííûå À. À. Îøåìêîâûì [17].
Çà N 3 îáîçíà÷åíà ñâÿçíàÿ ñóììà (S1 × S2 )](S1 × S2 )](S1 × S2 ).C ó÷åòîì òîãî, ÷òî ìîëåêóëû íîìåð 1 è 11, à òàêæå 10 è 12 ñîâïàäàþò ñòî÷íîñòüþ äî âûáîðà îðèåíòàöèè íà Q3h , ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû:Òåîðåìà 12 Ïîëíûé ñïèñîê èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë ñëó÷àÿ Êëåáøàïðèâåäåí â òàáëèöå 4. Ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ ïîñòîÿííîé ïëîùàäåé g èýíåðãèè h îáíàðóæèâàåòñÿ 10 íåýêâèâàëåíòûõ ñëîåíèé Ëèóâèëëÿ.3.9 Ýêâèâàëåíòíîñòè ñëó÷àåâ Ýéëåðà, Êëåáøà è ÑòåêëîâàÏðîâåäåííûé àíàëèç ïîçâîëÿåò â ÷àñòíîñòè óñòàíîâèòü åñòåñòâåííûå ýêâèâàëåíòíîñòè ìåæäó ñëó÷àÿìè èíòåãðèðóåìîñòè Ýéëåðà, Êëåáøà è Ñòåêëîâà.93Òåîðåìà 131.
Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ èíòåãðàëîâ ýíåðãèè ñëó÷àè Ýéëåðà, Êëåáøà è Ñòåêëîâà ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû.2. Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ çíà÷åíèÿõ ïîñòîÿííîé ïëîùàäåég ñëó÷àè Êëåáøà è Ñòåêëîâà ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû ñëó÷àþ Ýéëåðàñ íåíóëåâîé ïîñòîÿííîé ïëîùàäåé êàê ñèñòåìû íà ÷åòûðåõìåðíûõñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ (òî åñòü â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 5).Äîêàçàòåëüñòâî:Ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñðàçó ñëåäóåò èç ñîâïàäåíèÿ ìîëåêóë áîëüøèõ ýíåðãèé òðåõ ñèñòåì.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ ðàññìîòðèì áèôóðêàöèîííûåäèàãðàììû ñëó÷àÿ Êëåáøà ïðè g 2 > p2 è ñëó÷àé Ýéëåðà ïðè g 0 6= 0 (ðèñ. 12).Ñëó÷àé Ñòåêëîâà ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Óòâåðæäàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ïîñëîéíîãî äèôôåîìîðôèçìà ÷åòûðåõìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé:4Φ : Mg4 → M 0 g0Çäåñü ïîâåðõíîñòü M ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ Êëåáøà, à M 0 ñëó÷àþ Ýéëåðà;g 2 > p2 è g 0 6= 0.Ðàññìîòðèì ðàçðåçû 1, 2, 1' è 2', ðàçäåëÿþùèå áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íà çîíû, îáîçíà÷åííûå ðèìñêèìè öèôðàìè.Ïðîîáðàç êàæäîé èç çîí I, I', III è III' ñóòü íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèÿ äâóõîäèíàêîâûõ îêðåñòíîñòåé îñîáåííîñòè òèïà öåíòð-öåíòð. Íà ðèñ.
12 èçîáðàæåí çàìêíóòûé äèñê D1 è îòêðûòûé äèñê D2 , êàæäûé èç êîòîðûõ ðàññëîåííà îêðóæíîñòè. Îêðåñòíîñòü îñîáåííîñòè öåíòð-öåíòð ìîæåò áûòü çàäàíà94êàê D1 × D2 (òî åñòü ïðîèçâåäåíèå 2-àòîìîâ A × A). Êðàåì ìíîãîîáðàçèÿñëóæèò ðàññëîåííîå íà òîðû Ëèóâèëëÿ ïîëíîòîðèå ∂D1 × D2 .Ïðîîáðàçû çîí II è II' ÿâëÿþòñÿ ÷åòûðåõìåðíûìè îêðåñòíîñòÿìè îñîáåííîñòè ñåäëî-öåíòð òèïà A × C2 è àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ îòêðûòîãî äèñêà D3 è äâóìåðíîéïîâåðõíîñòè C2 ñ êðàåì ∂C2 èç ÷åòûðåõ îêðóæíîñòåé.
Äâå èç íèõ ñîîòâåòñòâóþò ðàçðåçó 1 è îáðàçóþò ÷àñòü êðàÿ ∂C2+ , à äâå äðóãèõ ðàçðåçó 2, èõîáîçíà÷èì çà ∂C2− . Êðàåì ÷åòûðåõìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñëóæèò ∂C2 ×D3 =(∂C2+ × D3 ) ∪ (∂C2− × D3 ) îáúåäèíåíèå ÷åòûðåõ ðàññëîåííûõ íà òîðû Ëèóâèëëÿ ïîëíîòîðèé.4Ìíîãîîáðàçèÿ Mg4 è M 0 g0 ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðèêëåèâàÿ ê áàçå C2 × D3ðó÷êè D1 × D2 ñ ñîõðàíåíèåì ñòðóêòóðû ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ. Äëÿ ýòîãîòðåáóåòñÿ óêàçàòü ïîñëîéíûé äèôôåîìîðôèçì äâóõ ïîëíîòîðèé. Îò âûáîðà ïàð ñêëåèâàåìûõ òîðîâ ðåçóëüòàò, î÷åâèäíî, íå çàâèñèò. À ñïîñîá ñêëåéêè êàæäîé ïàðû òîðîâ öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ ìåòêàìè íà ñîîòâåòñòâóþùåìðåáðå ìîëåêóëû áîëüøèõ ýíåðãèé.
Íî îíè îäèíàêîâû, ñëåäîâàòåëüíî, ìíî4ãîîáðàçèÿ Mg4 è M 0 g0 áóäóò ïîñëîéíî äèôôåîìîðôíû.Òåîðåìà äîêàçàíà.95Ãëàâà 4Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿèíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà4.1 Ãàìèëüòîíèàí è äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë ñëó÷àÿ ÑîêîëîâàÈíòåãðèðóåìûé ñëó÷àé Ñîêîëîâà [7], îáíàðóæåííûé â 2001 ãîäó, çàäàåòñÿíà e(3)∗ ãàìèëüòîíèàíîì H :11H = (s21 + s22 + 2s23 ) + r2 s3 − r32 .22Äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë F ÷åòâåðòîé ñòåïåíè èìååò âèä:F = s23 (s21 + s22 + s23 + 2(r2 s3 − r3 s2 ) + r22 + r32 ) + 2s3 (s2 − r3 )(r1 s1 + r2 s2 + r3 s3 ).Îòìåòèì, ÷òî ýòîò ñëó÷àé èíòåãðèðóåìîñòè áûë îáíàðóæåí ïðè ïîìîùèêîìïüþòåðíûõ ìåòîäîâ.
 íàñòîÿùåé ãëàâå ïîëíîñòüþ èññëåäîâàíî ëèóâèëëåâî ñèñòåìû Ñîêîëîâà: äàíà êëàññèôèêàöèÿ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèéðàâíîâåñèÿ, âû÷èñëåíû âñå êðóãîâûå è èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìîëåêóëû.4.2 Ðåçóëüòàòû Ï. Å. ÐÿáîâàÃðóáàÿ ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà áûëàïîëó÷åíà Ðÿáîâûì [24].  ýòîì ïóíêòå ìû âêðàòöå ïðèâîäèì åãî ðåçóëüòàòû.96Òåîðåìà 14 (Ï.
Å. Ðÿáîâ [24]) Íà ïëîñêîñòè R2 (f, h) áèôóðêàöèîííàÿäèàãðàììà ñèñòåìû Ñîêîëîâà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåäèíåíèå ãëàäêèõ êðèâûõ Γi , i = 1, ..5, ãäåΓ1 : f = −g 2 , h > 12 (g 2 − 1),Γ2 : f = 2g 2 h − g 4 , 12 (g 2 − 1) 6 h 6 g 2 ,Γ3 : f = (h + 21 )2 − g 2 , h > g 2 − 12 ,Γ4 : f = h2 , h > g 2 − 14 ,Γ5 : f = 0,h > 0, åñëè 0 6 g 6 12 ,h > g − 12 , åñëèh>g22,126 g 6 1,åñëè g > 1.Ïðè ïðîòèâîïîëîæíûõ çíà÷åíèÿõ g ïîëó÷àåì èçîìîðôíûå ñèñòåìû, ïîýòîìó äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî g > 0. Ñëåäóåò ðàçëè÷àòü ÷åòûðåêà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûõ âèäà áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
