Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Îíî ñîåäèíÿåò áèôóðêàöèè β1 è α2 . Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè Pèìååì r(β1 β3 ) = 0, òî÷êè Q r(β3 α2 ) = ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðàâèëóñëîæåíèÿ ìåòîê r(β1 α2 ) = 0. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì:• òî÷êà z1 :ñåìåéñòâî II: r(β1 β4 ) = 0, r(β4 α3 ) = ∞ ⇒ r(β1 α3 ) = 0• òî÷êà z5 :ñåìåéñòâî VII: r(α7 α8 ) = 0, r(α8 β4 ) = ∞ ⇒ r(β4 α7 ) = 0129• òî÷êà z6 :ñåìåéñòâî II:r(β6 β4 ) = 0, r(β4 α3 ) = ∞ ⇒ r(β6 α3 ) = 0ñåìåéñòâî III:r(β3 β5 ) = 0, r(β3 α9 ) = ∞ ⇒ r(β5 α9 ) = 0ñåìåéñòâî IV:r(β3 β6 ) = 0, r(β3 α10 ) = ∞ ⇒ r(β6 α10 ) = 0ñåìåéñòâî VII: r(β5 β4 ) = 0, r(β4 α8 ) = ∞ ⇒ r(β5 α8 ) = 0Äëÿ òî÷êè z2 íà ðåáðå B A ìåòêà r = 0 â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 2.Òî÷êà z7 íàáëþäàåòñÿ òîëüêî ïðè λ = 0 è îòíîñèòñÿ ê êëàññè÷åñêîìóñëó÷àþ Êîâàëåâñêîé. Åå êðóãîâàÿ ìîëåêóëà óêàçàíà â [2].Íåñëîæíî âèäåòü, ÷òî íåäîñòàþùèå ìåòêè ìîëåêóë òî÷åê z3 è z4 íåëüçÿ âû÷èñëèòü òàêèì ýëåìåíòàðíûì ñïîñîáîì.
Îêîí÷àòåëüíûé îòâåò áóäåòïîëó÷åí â ïîñëåäóþùèõ ïóíêòàõ. Çäåñü ìû ïðèâîäèì åãî äëÿ ïîëíîòû.Îïðåäåëèì òàêæå òîïîëîãè÷åñêèå òèïû êðóãîâûõ ìíîãîîáðàçèé Q3τ âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò.Ðàññìîòðèì òî÷êó z3 . Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî â äåéñòâèòåëüíîñòè åéîòâå÷àåò äâå íåñâÿçíûõ îñîáåííîñòè, êîòîðûå ñïðîåöèðîâàíû â îäíó òî÷êó áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû îòîáðàæåíèåì ìîìåíòà. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿíàëè÷èå äëÿ íåå äâóõ êðóãîâûõ. Ðàññìîòðèì îñîáåííîñòü, îòâå÷àþùóþ ìîëåêóëå AA∗ A. Åå áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà èçîáðàæåíà íà ðèñ. 18.Ïðîèçâåäåì äåôîðìàöèþ êîíòóðà ABC0 D0 â ABC1 D1 . Ïðè ýòîì òîïîëîãè÷åñêèé òèï ìíîãîîáðàçèÿ â ïðîîáðàçå êîíòóðà íå èçìåíèòñÿ: ïðîîáðàçîòðåçêà CD îïðåäåëÿåòñÿ â M 4 óðàâíåíèåì H = const, à èç òåîðåìû 18 íàìèçâåñòíî, ÷òî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê H â îêðåñòíîñòè z3 íåò.
Îñòàëüíûå çâåíüÿêîíòóðà èñïûòûâàþò ãëàäêóþ èçîòîïèþ, íå âñòðå÷àÿ òî÷åê áèôóðêàöèé.Êîíòóð ABC0 D0 îïðåäåëÿåò êðóãîâóþ ìîëåêóëó íåîñîáîé òî÷êè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, áîëåå òî÷íî êðóãîâóþ ìîëåêóëó 3-àòîìà A êðèâîéα6 . Òàêèå êðóãîâûå ìîëåêóëû ïîëíîñòüþ îïèñàíû â [1, ò.2, ãë.1]. Ïðèâåäåìòîïîëîãè÷åñêèå òèïû êðóãîâûõ ìíîãîîáðàçèé äëÿ îñíîâíûõ 3-àòîìîâ:1303-àòîìòèï êðóãîâîãî ìí-èÿðåãóëÿðíàÿ òî÷êàT3AS1 × S2A∗H3BS1 × (S2 + 2g)C2S1 × (S2 + 3g)Çäåñü (S2 + N g) côåðà ñ N ðó÷êàìè; çà H 3 îáîçíà÷åíî ðàññëîåíèå Çåéôåðòà ñî ñëîåì îêðóæíîñòü è áàçîé T2 ñ äâóìÿ îñîáûìè òî÷êàìè òèïà (2, 1).Òàêèì îáðàçîì, êðóãîâîå ìíîãîîáðàçèå ðàññìîòðåííîé îñîáåííîñòè òî÷êèz3 , ëåæàùåå â ïðîîáðàçå êîíòóðà ABC1 D1 , òîïîëîãè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ S1 × S2 .Ïðîâîäÿ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ äëÿ äðóãèõ âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò è èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííóþ âûøå òàáëèöó, ïîëó÷àåì òîïîëîãè÷åñêèå òèïû îñòàëüíûõ êðóãîâûõ ìíîãîîáðàçèé òî÷åê zi .Òåîðåìà äîêàçàíà.5.5 Ïîñòðîåíèå äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàòÏîñòàâèì íàøåé öåëüþ âûáðàòü äëÿ êàæäîãî 3-àòîìà äîïóñòèìûå ñèñòåìûêîîðäèíàò, ñîñòàâëåííûå èç öèêëîâ λ∗ .Äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ñåäëîâûõ àòîìàõ âûáåðåì èñõîäÿ èçïðåñòàâëåíèÿ â âèäå ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ îñîáåííîñòåé òî÷åê N èP òèïà ñåäëî-ñåäëî.
Àíàëîãè÷íàÿ ïðîöåäóðà ïðîäåëûâàåòñÿ â [2] äëÿ êëàññè÷åñêîãî ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîé, ãäå îñîáåííîñòè òèïà ñåäëî-ñåäëî â òî÷íîñòèòàêèå æå. Ïîýòîìó íàì îñòàåòñÿ âûïèñàòü îòâåò.Ðàññìàòðèâàÿ òî÷êó N ñ ïðåäñòàâëåíèåì (B × C2 )/Z2 , ïîëó÷àåì:131(λβ2 , −λβ2 +λδ2)2(I)&Bλ +λ(λβ2 , − β2 2 δ1 )(I)→ (λβ2 , λβ2 + λβ1 )β2(V I)%µ¶λδ1 + λβ2 (V I) ∗ (V )λδ1 ,→ A→ (λδ1 , −λγ )δ12µλδ + λβ2λδ2 , 22(λγ , −λδ1 )¶(I)(IV )→ A∗ → (λδ2 , −λγ )δ2(V )&(II)%(λγ , λβ1 )(II)&(λγ , λβ1 )C2 γ(λγ , −λδ2 )(IV )%Ðàññìàòðèâàÿ òî÷êó P ñ ïðåäñòàâëåíèåì B × B ïîëó÷àåì:(II)%(λβ1 , λβ4 )(II)&(λβ1 , λβ4 )(I)(λβ1 , −λβ3 ) → Bβ1(III)%(λβ3 , −λβ5 )(IV )&(λβ3 , −λβ6 )(I)(λβ3 , λβ1 ) → Bβ3132(V II)%(λβ4 , −λβ5 )(II)&(λβ4 , −λβ6 )(II)(λβ4 , λβ1 ) → Bβ4(V II)%(λβ5 , λβ4 )(V II)&(λβ5 , λβ4 )(III)(λβ5 , −λβ3 ) → Bβ5(II)%(λβ6 , λβ4 )(II)&(λβ6 , λβ4 )(IV )(λβ6 , −λβ3 ) → Bβ6Òåïåðü âûáåðåì äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ìèíèìàêñíûõ àòîìàõA.Íà ðåáðå êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè z7 , ñîîòâåòñòâóþùåìó ñåìåéñòâó I,r(α1 β2 ) = 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, öèêëû λα1 è λβ2 èìåþò èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ 1è îáðàçóþò áàçèñ. Ïîñêîëüêó âòîðîé öèêë èìååò îðèåíòàöèþ, çàäàííóþ ãàìèëüòîíîâûì ïîòîêîì, áàçèñ ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî àòîìà A α1 . Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì äîïóñòèìûå áàçèñû äëÿîñòàëüíûõ áèôóðêàöèé.
Èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿþòñÿ àòîìû A α5 è A α6 , äëÿêîòîðûõ ìû ïîêà íå ìîæåì óêàçàòü âòîðûå áàçèñíûå öèêëû, èç-çà òîãî ÷òîñîîòâåòñòâóþùèå r-ìåòêè êðóãîâûõ ìîëåêóë íàì åùå íåèçâåñòíû. Èõ ìûíàéäåì ïîçæå, à çäåñü ïðèâåäåì îòâåò äëÿ çàâåðøåííîñòè ñïèñêà.(I)A α1 → (λα1 , λβ2 )133(I)(λα2 , λβ1 ) → A α2(II)(λα3 , λβ1 ) → A α3(V I)(λα4 , λβ2 ) → A α4(III)(λα5 , λβ5 ) → A α5(V )A α6 → (λα6 , λγ )(V II)(λα7 , λβ4 ) → A α7(V II)(λα8 , λβ5 ) → A α8(III)(λα9 , λβ5 ) → A α9(IV )(λα10 , λβ6 ) → A α10(I)A α11 → (λα11 , λβ2 )(V I)A α12 → (λα12 , λβ2 )5.6 Îïðåäåëåíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâÏðîàíàëèçèðóåì èíôîðìàöèþ èç êðóãîâûõ ìîëåêóë è ñïèñêà äîïóñòèìûõñèñòåì êîîðäèíàò äëÿ îïðåäåëåíèÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ öèêëîâ λ∗ íàêàæäîì èç ñåìåéñòâ òîðîâ.Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî I.
Íà êàæäîì òîðå ýòîãî ñåìåéñòâà áèôóðêàöèèîïðåäåëÿþò öèêëû λα1 , λα2 , λα11 , λβ1 , λβ2 , λβ3 è λδ2 . Èç êðóãîâûõ ìîëåêóëîñîáûõ òî÷åê M , N , P , Q è z1 , z7 èçâëåêàåì ñëåäóþùóþ èíôîðìàöèþ îáèíäåêñàõ ïåðåñå÷åíèé öèêëîâ λ∗ :134ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿλα1 , λα21λα1 , λβ21λα2 , λβ11λα2 , λβ30λα11 , λβ21λβ1 , λβ21λβ1 , λβ31λβ2 , λδ22Ñ äðóãîé ñòîðîíû, áàçèñû íà ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ ãðàíèöàõ 3-àòîìîâ äîëæíû èìåòü ðàçíóþ îðèåíòàöèþ.  ñèëó ÷åãî èç ñïèñêàäîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò çàêëþ÷àåì, ÷òî áàçèñû (λα1 , λβ2 ), (λα11 , λβ2 )è (λβ2 , λβ2 +λβ1 ) äîëæíû èìåòü îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ, à áàçèñû (λα2 , λβ1 ),(λα2 , λβ1 ), (λβ1 , −λβ3 ), (λβ1 , λβ2 ), (λδ2 ,λδ2 +λβ2)2è (λβ2 , −λβ2 +λδ2)2 ïðîòèâîïî-ëîæíóþ èì.Ýòè óñëîâèÿ îïðåäåëÿþò âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå âñåõ öèêëîâ êðîìå λα11îäíîçíà÷íî. Ïîñëåäíèé öèêë îòíîñèòñÿ ê êëàññè÷åñêîìó ñëó÷àþ Êîâàëåâñêîé è ñîîòíîøåíèå íà íåãî λα11 =λβ2 −λδ22ìû ïîëó÷àåì èç [2].Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå öèêëîâ îñòàëüíûõ ñåìåéñòâ àíàëèçèðóåòñÿ ïîàíàëîãè÷íîé ñõåìå.
Íà ðèñ. 19 ôóíäàìåíòàëüíûå ãðóïïû òîðîâ èçîáðàæåíûâ âèäå öåëî÷èñëåííûõ ðåøåòîê íà ïëîñêîñòè, à öèêëû â âèäå âåêòîðîâ íàíèõ. Ýòî ïîçâîëÿåò íàãëÿäíî îòîáðàçèòü ñîáðàííóþ èíôîðìàöèþ.Ïîëîæåíèå öèêëîâ α4 , α5 , α5 è α7 , îäíàêî æå, îïðåäåëèòü òàêèì ìåòîäîì íå óäàåòñÿ. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ìû äî íàñòîÿùåãî ìîìåíòà íå çíàåìíåêîòîðûõ ìåòîê êðóãîâûõ ìîëåêóë. Äàííóþ íåîïðåäåëåííîñòü ìû îêîí÷àòåëüíî óñòðàíèì â ñëåäóþùåì ïóíêòå, ïîêà æå îòâåò äëÿ ýòèõ öèêëîâ135èçîáðàæåí ïóíêòèðîì.5.7 Ïðèìåíåíèå ôîðìóëû ÒîïàëîâàÒåïåðü ìû èñïîëüçóåì ôîðìóëó Òîïàëîâà â âàðèàíòå (1.1) äëÿ ðàçðåøåíèÿîñòàâøèõñÿ íåîïðåäåëåííîñòåé.Ðàññìîòðèì êðóãîâóþ ìîëåêóëó òî÷êè z2 . Íàõîäèì ìàòðèöó ñêëåéêè íàáåñêîíå÷íîì ðåáðå:λβ2λ +λ− β2 2 δ21=0λβ21 −1λβ2 + λβ1Íà êîíå÷íîì ðåáðå ìàòðèöà ñêëåéêè èìååò âèä:λα4=λβ2m 11 0λβ2,m ∈ Zλ +λ− β 2 2 δ1Òîïîëîãè÷åñêèé òèï êðóãîâîãî ìíîãîîáðàçèÿ - T3 , H1 (T3 ) = Z3 ⇒ N (W ∗ ) =0.
Èìååì:ñ = n +Xri + p/2 = m − 1,(1.1) ⇒ (m − 1) · 1 = 0 ⇒ m = 1Òåì ñàìûì îïðåäåëåíî ïîëîæåíèå öèêëà λα4 îòíîñèòåëüíî äðóãèõ öèêëîâñåìåéñòâà VI.Äàëåå ðàññìîòðèì êðóãîâóþ ìîëåêóëó òî÷êè z3 , èìåþùóþ âèä AA∗ A.Òåïåðü ìû ìîæåì âû÷èñëèòü ìàòðèöó ñêëåéêè íà åå ðåáðå, îòíîñÿùåìñÿ êñåìåéñòâó VI:λα4λβ2=−1 1−1 2λδ1λδ1 +λβ22Âòîðóþ ìàòðèöó ñêëåéêè ìîëåêóëû ⇒r=0a b îïðåäåëèì èç óðàâíåíèÿc dÒîïàëîâà. Òîïîëîãè÷åñêèé òèï ìíîãîîáðàçèÿ - S1 × S2 , H1 (S1 × S2 ) = Z ⇒N (W ∗ ) = 0.
 ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1 ε = +1 ⇒ b > 0.136ñ = n +Xri + p/2 =haib−1+naob+1 a 1= − ,2b 2(1.1) ⇒ (a/b − 1/2)b = 0 ⇒ 2a = b ⇒ a = 1, b = 2 ⇒ r = 1/2.Ìû ïîëó÷èëè ñîîòíîøåíèå íà äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò, îïðåäåëÿþùåå ïîëîæåíèå öèêëà λα6 :λα6=x12k 2k − 1λδ1,k ∈ Z−λγÂòîðàÿ ñòðîêà çàäàåò ìíîæåñòâî äëÿ âûáîðà âòîðîãî ýëåìåíòà äîïóñòèìîãîáàçèñà äëÿ α6 .  ñïèñêå äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò ìû äëÿ îïðåäåëåííîñòè çàôèêñèðîâàëè âàðèàíò ñîîòâåòñòâóþùèé k = 0.Àíàëèç êðóãîâûõ ìíîãîîáðàçèé òî÷åê z5 , à çàòåì z4 ïîçâîëÿåò â òî÷íîñòè àíàëîãè÷íî îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå öèêëîâ λα7 è λα5 è âûáðàòü âòîðîéáàçèñíûé ýëåìåíò äëÿ α5 .Òåì ñàìûì çàâåðøåíû âû÷èñëåíèå êðóãîâûõ ìîëåêóë, âûáîð äîïóñòèìûõ êîîðäèíàò è îïðåäåëåíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâ,ïîñëå ÷åãî âû÷èñëåíèå èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë ïðåâðàùàåòñÿ â íåñëîæíóþ àëãîðèòìè÷åñêóþ ïðîöåäóðó.
Èç ñïèñêà äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàòè âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâ âû÷èñëÿåì âñå ìàòðèöû ñêëååêèçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë. Ðåçóëüòàò ïðèâåäåí â òàáëèöå 9. Ïî ìàòðèöàìñêëååê âû÷èñëÿåì ÷èñëîâûå ìåòêè. Ñôîðìóëèðóåì èòîãîâûé ðåçóëüòàò ââèäå òåîðåìû.Òåîðåìà 20 Ïîëíûé ñïèñîê èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà äëÿ ñëó÷àÿèíòåãðèðóåìîñòè Êîâàëåâñêîé-ßõüè ïðè g = 0 ïðèâåäåí â òàáëèöå 10. Âçàâèñèìîñòè çíà÷åíèé ãèðîñòàòè÷åñêîãî ïàðàìåòðà λ è óðîâíÿ ýíåðãèèîáíàðóæèâàåòñÿ 10 íåýêâèâàëåíòûõ ñëîåíèé Ëèóâèëëÿ.137Ñïèñîê òàáëèö1. Êðóãîâûå ìîëåêóëû ñëó÷àÿ Ñòåêëîâà2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
