Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 14
Текст из файла (страница 14)
 äåéñòâèòåëüíîñòè, îíà ðàâíà 12 . Ýòîò ôàêò ìû ïîëó÷èì,âû÷èñëèâ èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìîëåêóëû. Çäåñü ìû ïðèâîäèì åãî äëÿ ïîëíîòû êàðòèíû.Òåîðåìà äîêàçàíà.4.5 Ïîñòðîåíèå äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàòÄîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà 3-àòîìàõ êðèâûõ β1 , β2 , γ1 , γ2 âûáèðàþòñÿ èñõîäÿ èç 4-îêðåñòíîñòè òî÷êè ñåäëî-ñåäëî P , êîòîðàÿ èìååò òèï ïðÿìîãîïðîèçâåäåíèÿ B × C2 òàêîé æå, êàê â ñëó÷àå Ñòåêëîâà. Ñòðåëî÷êè óêàçûâàþò íàïðàâëåíèå ðîñòà F .107(λγ1 , λβ1 )(I)&(II)%(λγ1 , −λβ2 )(I)%(II)&(λγ1 , −λβ2 )(V )&(III)%(λγ2 , −λβ2 )(IV )&(λγ2 , −λβ2 )C2 γ 1(λγ1 , λβ1 )(λγ2 , λβ1 )C2 γ 2(λγ2 , λβ1 )(V )%(V ).(λβ1 , λγ2 )(V )-(λβ1 , λγ2 )(I)(λβ1 , −λγ1 ) ← Bβ1(III).(λβ2 , λγ2 )(IV )-(λβ2 , λγ2 )(II)(λβ2 , −λγ1 ) ← Bβ2Äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà àòîìàõ A âûáåðåì, ïîëüçóÿñü òåì, ÷òîíà ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåáðàõ êðóãîâûõ ìîëåêóë òî÷åê M, z1 , z2 , z4 r-ìåòêèðàâíû 0.
Äëÿ áèôóðêàöèè α1 , îðèåíòàöèÿ âòîðîãî áàçèñíîãî öèêëà óñòàíàâëèâàåòñÿ èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî ïðè g → 0 êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè àòîìîâ α1è γ1 áåñêîíå÷íî ñáëèæàþòñÿ. Ïîëó÷àåì:(I)A α1 → (λα1 , λγ1 )(I)(λα2 , λβ1 ) → A α2(II)(λα3 , λβ2 ) → A α3(V )(λα4 , λβ1 ) → A α4(III)(λα5 , λβ2 ) → A α5(IV )(λα6 , λβ2 ) → A α6108(IV )(λδ1 , λγ2 ) → Aδ1Ìû íå áóäåì âûáèðàòü âòîðûå áàçèñíûå öèêëû äëÿ àòîìîâ Bβ3è A∗â òåðìèíàõ λ∗ .
Îáîçíà÷èì èõ xβ , −yβ , −xδ , yδ .(λβ3 , xβ )(III)&B(λβ3 , xβ )δ2(V )β3→ (λβ3 , −yβ )(IV )%(II)(III)(λδ2 , −xδ ) → A∗→ (λβ3 , yδ )δ2Èç çàìå÷àíèÿ 2 ñëåäóåò, ÷òîxβ = λβ1 + k1 λγ2 ,yβ = λβ2 + k2 λγ2 ,xδ = λγ2 + k3 λδ2 ,yδ = λγ1 + k4 λδ2 ,ãäå ki ∈ Z íåèçâåñòíû.4.6 Îïðåäåëåíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâÏðîàíàëèçèðóåì èíôîðìàöèþ èç êðóãîâûõ ìîëåêóë è ñïèñêà äîïóñòèìûõñèñòåì êîîðäèíàò äëÿ îïðåäåëåíèÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèè öèêëîâ λ∗ . Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñåìåéñòâà òîðîâ Ëèóâèëëÿ I-V ïîî÷åðåäíî.Ñåìåéñòâî IÍà êàæäîì òîðå ýòîãî ñåìåéñòâà áèôóðêàöèè îïðåäåëÿþò öèêëû λα1 , λα2 ,λβ1 , λγ1 .
Èç êðóãîâûõ ìîëåêóë îñîáûõ òî÷åê M, P, R, z1 â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 3 ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ èíôîðìàöèþ îá èíäåêñàõ ïåðåñå÷åíèÿ öèêëîâλ∗ :109ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿλα1 , λα21λβ1 , λγ11λα2 , λγ10λα2 , λβ11Ñ äðóãîé ñòîðîíû, áàçèñû íà ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ ãðàíèöàõàòîìîâ äîëæíû èìåòü ðàçíóþ îðèåíòàöèþ.  ñèëó ÷åãî èç ñïèñêà äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò ñëåäóåò, ÷òî áàçèñû (λα2 , λβ1 ), (λγ1 , λβ1 ), (λβ1 , −λγ1 )äîëæíû èìåòü îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ, à áàçèñ (λα1 , λα2 ) ïðîòèâîïîëîæíóþ èì.Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòè óñëîâèÿ îïðåäåëÿþò âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå öèêëîâ λα1 , λα2 è λγ1 îäíîçíà÷íî, à ïðî öèêë λβ1 ìîæíî óòâåðæäàòü,÷òîλβ1 = λα1 + l1 λγ1 , l1 ∈ Z.Íà ðèñ.
14 ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà òîðà èçîáðàæåíà â âèäå öåëî÷èñëåííîé ðåøåòêè íà ïëîñêîñòè, à öèêëû â âèäå âåêòîðîâ íà íåé. Ýòî ïîçâîëÿåòíàãëÿäíî îòîáðàçèòü ñîáðàííóþ èíôîðìàöèþ.Ñåìåéñòâî IIÖèêëû ñåìåéñòâà: λα3 , λβ2 , λγ1 , λδ2 .Èíäåêñû ïåðåñå÷åíèÿ öèêëîâ:ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿλβ2 , λδ20λβ2 , λγ11λα3 , λγ10λα3 , λβ21Èç ìåòîê ε êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè z3 ñëåäóåò, ÷òî λβ2 = λδ2 .110Ïðè ýòîì áàçèñû (λα3 , λβ2 ), (λβ2 , λγ1 ) èìåþò îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ.Ïåðå÷èñëåííûå óñëîâèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèåöèêëîâ λ∗ ýòîãî ñåìåéñòâà. Ðåçóëüòàò èçîáðàæåí íà ðèñ.
14.Ñåìåéñòâî IIIÖèêëû ñåìåéñòâà: λα5 , λβ2 , λβ3 , λγ2 , λδ2 .Èíäåêñû ïåðåñå÷åíèÿ öèêëîâ:ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿλβ2 , λδ20λβ2 , λγ21λα5 , λγ20λα5 , λβ21Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷åê z2 è z3 ñëåäóåò, ÷òî λβ2 = λδ2 è λβ3 = λγ2 .Ïðè ýòîì áàçèñû (λα5 , λβ2 ) è (λβ2 , λγ2 ) èìåþò ïðîòèâîïîëîæíóþ îðèåíòàöèþ.Ïåðå÷èñëåííûå óñëîâèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèåöèêëîâ λ∗ ýòîãî ñåìåéñòâà. Ðåçóëüòàò èçîáðàæåí íà ðèñ. 14.Ñåìåéñòâî IVÖèêëû ñåìåéñòâà: λα6 , λβ2 , λγ2 , λδ1 .Èíäåêñû ïåðåñå÷åíèÿ öèêëîâ:ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿλγ2 , λδ11λβ2 , λγ21λα6 , λγ20λα6 , λδ11λα6 , λβ21111Ïðè ýòîì áàçèñû (λα6 , λβ2 ), (λδ1 , λγ2 ) èìåþò îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ, àáàçèñ (λβ2 , λγ2 ) ïðîòèâîïîëîæíóþ èì.Ïåðå÷èñëåííûå óñëîâèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèåöèêëîâ λα6 , λβ2 , λγ2 .
Ïðî öèêë λδ1 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òîλδ1 = −λβ2 + l2 λγ2 , l2 ∈ Z.Áîëåå òîãî, íà ðåáðå B A ìîëåêóëû òî÷êè z3 ìåòêà r êîíå÷íà, à ìåòêàε = +1, ïîýòîìó ñ íåîáõîäèìîñòüþ âûïîëíåíî l2 > 1.Ñåìåéñòâî VÖèêëû ñåìåéñòâà: λα4 , λβ1 , λβ3 , λγ2 .Èíäåêñû ïåðåñå÷åíèÿ öèêëîâ:ïàðà öèêëîâ èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿλβ3 , λγ20λβ1 , λγ21λα4 , λγ20λα4 , λβ11Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè z2 ñëåäóåò, ÷òî λβ3 = λγ2 .Ïðè ýòîì áàçèñû (λα4 , λβ1 ) è (λγ2 , λβ1 ) èìåþò îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ.Ïåðå÷èñëåííûå óñëîâèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèåöèêëîâ λ∗ ýòîãî ñåìåéñòâà.
Ðåçóëüòàò èçîáðàæåí íà ðèñ. 14.4.7 Ïðèìåíåíèå ôîðìóëû ÒîïàëîâàÐåçóëüòàòû äâóõ ïðåäûäóùèõ ïóíêòîâ ïîçâîëÿþò âûïèñàòü ìàòðèöû ñêëååê èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè k1 , k2 , k3 ,k4 , l1 , l2 . Îíè ïðèâåäåíû â òàáëèöå 6. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû âû÷èñëèòü ïî ýòèì ìàòðèöàì ìåòêè r, ε è n, âîâñå íåîáÿçàòåëüíî çíàòü òî÷íûå112çíà÷åíèÿ âñåõ êîýôôèöèåíòîâ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îò k1 è k2 ìåòêè âîîáùåíå çàâèñÿò, à îò k3 è k4 çàâèñèò òîëüêî n-ìåòêà íà àòîìàõ A∗ ìîëåêóëû F.Ïðåäëîæåíèå 4 Íà àòîìàõ A∗ â ìîëåêóëå F ìåòêà n = −1; l1 = 1, l2 = 2.Äîêàçàòåëüñòâî:Äëÿ ìîëåêóë E, F ïðèìåíèì ôîðìóëó Òîïàëîâà (1.3):N (W ∗ ) = ±2p (ñ1 ñ2 − 2ñb−20 )Ybj ,jãäå ÷èñëî ñ1 ñîîòâåòñòâóåò àòîìó C2 , ñ àòîìàì B èëè A∗ , b0 êîýôôèöèåíò ìàòðèöû ñêëåéêè íà ðåáðàõ C2 B ëèáî C2 A∗ , à ïðîèçâåäåíèåQj bjáåðåòñÿ ïî âñåì ðåáðàì ìîëåêóëû.Íàì èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ìîëåêóë E è F Q3 ∼= RP 3 ⇒ H1 (Q3 ) = Z2 ⇒N (W ∗ ) = 2.Äëÿ ìîëåêóëû E èìååì n(B) = [− l12 ] = −1 (âåäü l2 > 1 ), ñ1 = −2l1 .Ôîðìóëà Òîïàëîâà äàåò:±2 = l22 (−2l1 (−1 + 1 −1 21) − 2(−1 + 1 − )) ⇔ l1 = ±1 + l2 ⇒ l1 > 0l2l2Äëÿ ìîëåêóëû F ñ = n(A∗ ) + 12 , ñ1 = −2l1 .
Ïîëó÷àåì:11±2 = 4(−2l1 (n(A∗ ) + )2 − 2(n(A∗ ) + ))22±2 = (−2l1 (2n(A∗ ) + 1)2 − 4(2n(A∗ ) + 1))±1 = (2n(A∗ ) + 1)(l1 (2n(A∗ ) + 1) + 2)Ïðè óñëîâèè l1 > 0 ýòî óðàâíåíèå â öåëûõ ÷èñëàõ èìååò åäèíñòâåííîåðåøåíèå n(A∗ ) = −1, l1 = 1 ⇒ l2 = 2. ×òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.Òåïåðü ïî òàáëèöå 6 ìîæíî âû÷èñëèòü âñå ìåòêè èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë A,B .
. . , I.113Çàìå÷àíèå 7 Èç ìîëåêóëû E, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ìåòêà r =12íà ðåáðå B A êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè z3 .Ñôîðìóëèðóåì èòîãîâûé ðåçóëüòàò ãëàâû.Òåîðåìà 17 Ïîëíûé ñïèñîê èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà äëÿ ñëó÷àÿÑîêîëîâà ïðèâåäåí â òàáëèöå 7. Ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ ïîñòîÿííîé ïëîùàäåé g è ýíåðãèè h îáíàðóæèâàåòñÿ 9 íåýêâèâàëåíòíûõ ñëîåíèé Ëèóâèëëÿ.114Ãëàâà 5Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿèíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿÊîâàëåâñêîé-ßõüè ïðè g = 0Ñëó÷àé èíòåãðèðóåìîñòè Êîâàëåâñêîé-ßõüè ýòî îáîùåíèå êëàññè÷åñêîãî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé íà ñëó÷àé çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî ãèðîñòàòà.Âî ìíîãèõ îòíîøåíèÿõ îí ÿâëÿåòñÿ ñàìûì ñëîæíûì èç èçâåñòíûõ ñëó÷àåâèíòåãðèðóåìîñòè ìåõàíèêè òâåðäîãî òåëà. Äëÿ âñÿêîãî çíà÷åíèÿ ãèðîñòàòè÷åñêîãî ïàðàìåòðà λ ïàðà (Hλ , Fλ ) Êîâàëåâñêîé-ßõüè äàåò èíòåãðèðóåìóþãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íà êàæäîé ïîâåðõíîñòèMg4 . Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî òîïîëîãè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò îáîèõ ïàðàìåòðîâ.
Íà ðèñ. 15 íà ïëîñêîñòè R2 (g, λ) èçîáðàæåíû êðèâûå, ðàçäåëÿþùèå îáëàñòè ñ êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûì âèäîì áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì ñèñòåìû. Îíè áûëè ïîëó÷åíûÏ. Å. Ðÿáîâûì è Ì. Ï. Õàðëàìîâûì [21]. Êàê âèäíî, ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõïàðàìåòðîâ íàáëþäàåòñÿ 18 óñòîé÷èâûõ òèïîâ áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì.Ðàáîòà [2] ïîñâÿùåíà îïèñàíèþ ñòðóêòóðû ëèóâèëëåâà ñëîåíèÿ â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé (λ = 0).  ýòîé ãëàâå ìû ðåøàåì àíàëîãè÷íóþçàäà÷ó äëÿ ñëó÷àÿ g = 0.
Èñ÷åðïûâàþùåå èññëåäîâàíèå ïî ëèóâèëëåâîé115êëàññèôèêàöèè âñåãî ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ â ðàìêàõ äàííîé ðàáîòû íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Òåì íè ìåíåå, ïðè èçó÷åíèè òîïîëîãèèñëîåíèé â êàêîé-ëèáî òî÷êå îáùåãî ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû Êîâàëåâñêîé-ßõüèïîëíàÿ êëàññèôèêàöèÿ äâóõ îáðàçóþùèõ ñåìåéñòâ ìîæåò ïîñëóæèòü õîðîøåé îòïðàâíîé òî÷êîé. Îòäåëüíûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò èññëåäîâàíèåêðèòè÷åñêèõ äâèæåíèé, íàïðèìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êå A.5.1 Ãàìèëüòîíèàí è äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàëÐàññìîòðèì ñëåäóþùåå îáîáùåíèå ãàìèëüòîíèàíà Êîâàëåâñêîé:H=s21s2(s3 + λ)2+ 2 ++ a1 r1 + a2 r22A 2AAÊàê âïåðâûå â 1986 ãîäó óêàçàë Õ.
Ì. ßõüÿ [5, 6] äëÿ íåãî ñóùåñòâóåòäîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë ÷åòâåðòîé ñòåïåíè:µF =s21 − s22+ a2 r2 − a1 r12A−¶2³s s´21 2+− a1 r2 − a2 r1 −A2λ4λr3(s3 + 2λ)(s21 + s22 ) +(a1 s1 + a2 s2 ).2AAÇäåñü (A, A, A2 ) - ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè òâåðäîãî òåëà, ïàðàìåòðû a1è a2 çàäàþò ïîëîæåíèå òî÷êè ïîäâåñà âîë÷êà â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòèýëëèïñîèäà èíåðöèè, à λ âåëè÷èíó ïîñòîÿííîãî ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà, íàïðàâëåííîãî ïî óñëîâèþ âäîëü îñè äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè âîë÷êà.Ïðè λ = 0 ïîëó÷àåì êëàññè÷åñêèé ñëó÷àé Êîâàëåâñêîé.116Ëèíåéíîé çàìåíîé êîîðäèíàò íà e(3)∗q ³´ζaa12s1 = A − ζ s̃1 + ζ s̃2q ³´ζaa21s2 = A − ζ s̃1 − ζ s̃2q s = ζ s̃3A 3r1 = − aζ1 r̃1 + aζ2 r̃2r2 = − aζ2 r̃1 − aζ1 r̃2 r = r̃3ãäå ζ =p3a21 + a22 , äîáèâàþòñÿ èñêëþ÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ A, a1 è a2 .
 íîâûõïåðåìåííûõ (s̃1 , s̃2 , s̃3 , r̃1 , r̃2 , r̃3 ), ñêîáêà Ëè-Ïóàññîíà, îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèÿìè (1.4), áóäåò ïðîïîðöèîíàëüíà èñõîäíîé, à ãàìèëüòîíèàí è äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë Êîâàëåâñêîé-ßõüè ïðèìóò óïðîùåííûé âèä:s21 s22 (s3 + λ)2H=+ +− r1 ,442µF =s21 − s22+ r14¶2³s s´2 λ1 2++ r2 − (s3 + 2λ)(s21 + s22 ) + 2λs1 r3 .22Çäåñü è äàëåå ìû äëÿ ïðîñòîòû èñïîëüçóåì ñòàðûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ íîâûõïåðåìåííûõ. Çà íîâûé ïàðàìåòð λ îáîçíà÷åíà èñõîäíàÿ âåëè÷èíà√ζAλ.Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ (1.5) â êîîðäèíàòàõ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå:ṡ1 = − s22 (s3 + 2λ)ṡ2 =s12 (s3ṡ2 = −r2ṙ1 =s2 r32− r2 (s3 + λ)+ 2λ) + r3 ṙ2 = − s12r3 + r1 (s3 + λ)ṙ3 =s1 r22−(5.1)s2 r12Èòàê, íà âñÿêîì ÷åòûðåõìåðíîì ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè Mg4 äëÿçàäàííîãî çíà÷åíèÿ λ ìû ïîëó÷àåì èíòåãðèðóåìóþ ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñäâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, çàäàâàåìóþ ïàðîé (Hλ , Fλ ).117 íàñòîÿùåé ãëàâå, îòòàëêèâàÿñü îò ðåçóëüòàòîâ ïî ñòðóêòóðå áèôóðêàöèîííîãî ìíîæåñòâà, ðàíåå ïîëó÷åííûõ Ì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
