Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

ðèñ. 13):a) g = 0,b) 0 < g < 12 ,c)12< g < 1,d) g > 1.Îòìåòèì, ÷òî ïðè g = 0 â ïðîîáðàçå ëåâîé ñòåíêè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ëåæàò êðèòè÷åñêèå òîðû. Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî íåêðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ g .Íà ðèñ. 13 ãëàäêèå äóãè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû îáîçíà÷åíû ìàëûìè ãðå÷åñêèìè áóêâàìè ñ èíäåêñàìè.

 èõ ïðîîáðàçàõ ëåæàò áîòòîâñêèåïåðåñòðîéêè òîðîâ Ëèóâèëëÿ, îïèñûâàåìûå 3-àòîìàìè. Óêàæåì èõ òèïû:97α1 : 2Aβ1 : 2Bα2 : 2Aβ2 : 2Bα3 : 2Aβ2 : 2Bα4 : 4Aγ1 : C 2α5 : 2Aγ2 : 2C2α6 : 2Aδ1 : 2Aδ22A∗Ñåìåéñòâà òîðîâ Ëèóâèëëÿ îáîçíà÷åíû ðèìñêèìè öèôðàìè I-V. Êàæäàÿòî÷êà ñåìåéñòâ I-IV îáðàçîâàíà ïàðîé ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî èíâîëþöèè Φ : (s, r) → (−s, −r) òîðîâ. Ñåìåéñòâî V ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ êîìïîíåíòñâÿçíîñòè. ïðîîáðàçå ïðÿìûõ A, B, C, D, E, F, G, H è I ëåæàò èçîýíåðãåòè÷åñêèåïîâåðõíîñòè Q3h c ðàçíûì òèïîì ëèóâèëëåâîãî ñëîåíèÿ. Ï. Å. Ðÿáîâ [24]óêàçàë ãðóáûå ìîëåêóëû, êîòîðûå èì ñîîòâåòñòâóþò, è âû÷èñëèë òîïîëîãè÷åñêèå òèïû ýòèõ ïîâåðõíîñòåé.

Îíè òàêîâû: A, B 2S 2 ; C, D, H, I S1 ×S2 ;G (S1 ×S2 )](S1 ×S2 )](S1 ×S2 ); E, F RP 3 . Íàøåé ãëàâíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿâû÷èñëåíèå r, ε è n ìåòîê ýòèõ ìîëåêóë.4.3 Íåâûðîæäåííûå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ñëó÷àå Ñîêîëîâà ýòîì ïóíêòå ìû äàåì êëàññèôèêàöèþ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû Ñîêîëîâà è âû÷èñëÿåì èõ êðóãîâûå ìîëåêóëû.Òåîðåìà 15 Óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè, òèïû è ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ äëÿ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ, ëåæàùèõ â ïðîîáðàçàõ òî÷åê M , N , P , Q, L, R áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû óêàçàíû âòàáëèöå.98òî÷êà óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñèMg>0N0<g<P0<g<1Q1212<g<112Lg>Rg>1òèïï/ï ïðîèçâåäåíèåöåíòð-öåíòð2(A × A)ñåäëî-öåíòð2(A × B)ñåäëî-ñåäëîB × C2ñåäëî-öåíòð2(A × C2 )öåíòð-öåíòð2(A × A)ñåäëî-öåíòðA × C2Êðóãîâûå ìîëåêóëû ýòèõ îñîáûõ òî÷åê ïðèâåäåíû â òàáëèöå 5.

Äðóãèõêðèòè÷åñêèõ òî÷åê ó ãàìèëüòîíèàíà H íà Mg4 íåò.Äîêàçàòåëüñòâî:Ñèñòåìà óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà v = sgardH , çàïèñàííàÿ â êîîðäèíàòàõ(s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ), èìååò âèä:ṡi = {si , H}, ṙi = {ri , H} ⇔ṡ1 = (−s2 + r3 )(r2 + s3 ), ṙ1 = r3 s2 − 2r2 s3 − r22 ,ṡ2 = s3 s1 + s1 r2 − r1 r3 ,ṙ2 = −s1 r3 + 2r1 s3 + r1 r2 ,ṡ3 = −r1 s3 ,ṙ3 = s1 r2 − s2 r1Ïðèðàâíèâàÿ ê íóëþ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé, íàõîäèì êîîðäèíàòû êðèòè÷åñêèõ òî÷åê H íà Mg4 . Íàéäåííûå òî÷êè òàêæå ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû.99óñë. ñóù. êîë-âî êîîðäèíàòûP, Q g ∈ R2Mg∈R2N, L g ∈ R2Q126g61 4±(g, 0, 0, 1, 0, 0)µ¶2ggg1± 0, √ 2 , − √ 2 , 0, √ 2 , − √ 2g +1g +1g +1g +1µ¶q± 0, √ g2 1 , g 2 + 41 − √ 12 1 , 0, √ 12 1 , √ g2 1g +42 g +42 g +4g +4¡ √¢√√√√± ∓ 2g − 1, 1 − g, 0, ∓ 2g − 1, 1 − g, 1 − gÄîêàæåì, ÷òî äëÿ êàæäîé èç òî÷åê, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà AHïîïàðíî ðàçëè÷íû, îòëè÷íû îò íóëÿ è ñîîòâåòñòâóþò óêàçàííîìó òèïó.Íà÷íåì ñ âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû ëèíåàðèçàöèè A6H ãàìèëüòîíîâà ïîòîêàv = sgradH â e(3)∗ â îáùåì âèäå:0−(r2 + s3 ) −s2 + r30−s2 + r3 r2 + s30s1−r3s1−r1 r2 + s 300−r1−s300A6H = 0r3−2 r20−2(s3 + r2 )s2 −r302 r12 s 3 + r2r1−s1r2−r10−s2s10Ðàññìîòðèì òî÷êè P è R.

 ïðîîáðàçå êàæäîé ëåæèò ïî äâà ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñ êîîðäèíàòàìè ±(g, 0, 0, 1, 0, 0). Ïðîâåäåìâû÷èñëåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ çíàêà +.  êà÷åñòâå ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò íà Mg4âîçüìåì (s2 , s3 , r2 , r3 ). Òîãäà êàíîíè÷åñêèé áàçèñ â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàí-100ñòâå çàäàåòñÿ ìàòðèöåé:4T Mg = − rr21− rr31r2 s1 −s2 r1r12r3 s1 −s3 r1r121000010000− rr21− rr31001000010 01 00 14 ⇒ TP,R Mg = 0 00 00 00 00 00 00 01 00 1È ìû ëåãêî íàõîäèì ìàòðèöó èñêîìîãî îïåðàòîðà AH = A6H |TP,R M :0 g g −1 0 −1 0 0 AH =  0 1 1 −g −1 0 g 0Óðàâíåíèå íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:det(A − λE) = (λ − 1)(λ + 1)(λ2 + g − 1) = 0 ⇒ λ1,2 = ±1, λ3,4 = ±p1−gÊàê âèäíî, ïðè g = 1 ïðîèñõîäèò âûðîæäåíèå: òî÷êà P ïðåâðàùàåòñÿ âòî÷êó R, ìåíÿÿ ñâîé òèï ñ ñåäëî-ñåäëî íà ñåäëî-öåíòð.Ïðîäåëàåì òó æå ïðîöåäóðó äëÿ òî÷êè M .

 åå ïðîîáðàçå ëåæèò äâàñèììåòðè÷íûõ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ:Ãg± 0, pg22+1g, −pg2+1g, 0, pg2+1!1, −pg2+1.Ïðîâåäåì âû÷èñëåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ çíàêà −.  êà÷åñòâå ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò âîçüìåì (s1 , s2 , r1 , r2 ), òîãäà:1014T Mg = 10000100r1 s3 −s1 r3r32r2 s3 −s2 r3r32− rr13 − rr230010000100− rr13− rr131 00 10 g4 ⇒ TM M g = 0 00 00 00 00 00 01 00 10 g6Îïåðàòîð AHïåðåâîäèò äàííûé áàçèñ êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà â âåêòîðà:g(1+g 2 )A6H · TM2√2√1+g200g +1g +100− √ 120g +100− √ g20g +1=1+2g 2g3√√00−g 2 +1g 2 +1 −√ 1√ g2002 +1gg +12√g2− √ g200g +1g +1Ðàçëàãàÿ íàéäåííûå âåêòîðà ïî âûáðàííîìó áàçèñó â TM Mg4 , ïîëó÷àåì ìàòðèöó îïåðàòîðà AH = A6H |TM M :000−1p g(1 + g 2 ) 0 1 + 2g 2 0 g 2 + 1 · AH = 0−10g 231+g0−g0p ðåçóëüòàòå íàõîäèì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ det(λ1,2 = ±ig 2 + 1 · AH − λE) = 0 ⇒pg 2 + 1, λ3,4 = ±i(g 2 +1), ñîîòâåòñòâóþùèå òèïó öåíòð-öåíòð.

Ïðèg = 0 îíè ðàâíû (±i, ±i), è ïðîèñõîäèò âûðîæäåíèå.102Ðàññìàòðèâàÿ ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå çíàêó +, äëÿòî÷åê N è L â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ (s1 , s2 , r1 , r2 ), èìååì:4TN,L Mg = 10001010 − 2g0001000000001−14g 2,011− 2g¢0g2 +0 ¡ 2 1¢ g +0−g04¡1¢r200−g01462³´g + · AH · TN,L = ⇒¡¢11240g + 2g0−2 g + 2 202g0 −g10−g02¡ 2 1¢0−g0g +4¡ 2 1¢¡ 2 1¢r1 − g +40g +20 1gg 2 + · AH = 420−g02g ¡ 2 1¢¡ 2 1¢10−2 g + 20− 2g g + 4qÑîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà g 2 + 14 · AH :p λ1,2 = ± 1 1 − 16g 44 λ = ± i p16g 4 + 12g 2 + 2¢¡− g 2 + 413,4Ïðè g =121− 2g¡142èìååì λ1,2 = 0.

Ìû âèäèì, ÷òî òî÷êà âûðîæäàåòñÿ, ìåíÿÿ ñâîéòèï ñ ñåäëî-öåíòð, íà öåíòð-öåíòð.Íàêîíåö, ðàññìàòðèì ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ³ p´pppp− 2g − 1, 1 − g, 0, − 2g − 1, 1 − g, 1 − g ,103ëåæàùåå â ïðîîáðàçå òî÷êè Q, â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ (s2 , s3 , r2 , r3 ). Èìååì:q4TQ Mg = 1−g2g−1q1−g2g−1010001001−g2g−1001000q0q1−g− 2g−1 00q,1−g 2g−1 011−g0g−1gp 2 − 3g 2g − 1 1 − 3g 1 − g2g − 1 · AH =  −g02 − 3g −g4g − 3012g − 2√Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà 2g − 1 · AH λ1,2 = ±(2g − 1) λ = ±2ip−2g 2 + 3g − 13,4ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ïðè12< g < 0 òî÷êà íåâûðîæäåíà è èìååò òèïñåäëî-öåíòð.Èòàê ìû çàêîí÷èëè âû÷èñëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà AH ,íî íåîáõîäèìî åùå ïðîâåðèòü åãî ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü ñ îïåðàòîðîìAF .

Èç-çà òîãî, ÷òî èíòåãðàë F ÿâëÿåòñÿ ñëîæíûì ïîëèíîìîì ÷åòâåðòîéñòåïåíè, ñäåëàòü ýòî íå òàê ëåãêî. Ïîýòîìó ìû âû÷èñëèì ëèøü ÷àñòü êîýôôèöèåíòîâ ìàòðèöû ëèíåàðèçàöèè A6F âåêòîðíîãî ïîëÿ 12 sgradF â e(3)∗ .Èìååì:10412 {r1 , F }= −s3 r2 (s21 + s22 + s23 + 2(r2 s3 − r3 s2 ) + r22 + r32 )++s23 (s2 r3 − s3 r2 − r22 − r32 )++(r1 s1 + r2 s2 + r3 s3 )(s3 r3 − s2 r2 + r2 r3 ),12 {r2 , F }= s3 r1 (s21 + s22 + s23 + 2(r2 s3 − r3 s2 ) + r22 + r32 )++s23 (s3 r1 − s1 r3 + r1 r2 ) + (r1 s1 + r2 s2 + r3 s3 )(s2 r1 − r2 r1 ),12 {r3 , F }= s23 (s1 r2 − s2 r1 + r3 r1 ) − (r1 s1 + r2 s2 + r3 s3 )r1 s3 .(A6F )i+3,j =1 ∂{ri , F }, 1 6 i, j 6 3,2 ∂sj(A6F )i+3,j+3 =1 ∂{ri , F }, 1 6 i, j 6 3,2 ∂riÐàññìîòðèì òî÷êè P è R.

Âåêòîð v = (0, 1, 0, 0, 0, 0)t ∈ TP,R M ïîä äåéñòâèåì îïåðàòîðà AH = A6H |T M ïåðåõîäèò â âåêòîð (∗, ∗, ∗, 0, 0, −1)t , à ïîääåéñòâèåì îïåðàòîðà AF = A6F |T M â âåêòîð(∗, ∗, ∗, (A6F )4,2 , (A6F )5,2 , (A6F )6,2 )t = (∗, ∗, ∗, 0, g, 0)t . Ïîñëåäíèå äâà âåêòîðàçàâåäîìî ëèíåéíî íåçàâèñèìû ïðè g 6= 0, à ñëåäîâàòåëüíî è îïåðàòîðû AHè AF áóäóò ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Äëÿ îñòàëüíûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü îïåðàòîðîâ AH è AF óñìàòðèâàåì èç ñîîòíîøåíèé, ïðèâåäåííûõ íèæå.• òî÷êà M :tv = (0, 0,µ 0, 1, 0, 0) ∈ TM M ,AH v2= ∗, ∗, ∗, 0, − √ g2 , − √g2g +1g +1µ¶tg2AF v =∗, ∗, ∗, 0, 0, −3(g 2 +1) 2¶t,.AH v è AF v çàâåäîìî ëèíåéíî íåçàâèñèìû ïðè g 6= 0.• òî÷êè N è L:v = (0, 0, 0, 1, 0, 0)t ∈ TN,L M ,105µ2AH v =µAF v =∗, ∗, ∗, 0, √4g24g +1¶t, − √ 2g24g +1,g 2 (4g 2 −1) (4g 2 −1−16g 3 )(4g 2 −1)∗, ∗, ∗, 0, √4g 2 +1,34(4g 2 +1) 2¶t,AH v è AF v çàâåäîìî ëèíåéíî íåçàâèñèìû ïðè g 6= 0, ± 21 .• òî÷êà Q:q1−gv = ( 2g−1, 1, 0, 0, 0, 0)t ∈ TQ M ,´t³√g−1g√√AH v = ∗, ∗, ∗, 1 − g, 2g−1 , 2g−1 ,¡¢t√√AF v = ∗, ∗, ∗, −g 1 − g, −g 2g − 1, 0 .AH v è AF v çàâåäîìî ëèíåéíî íåçàâèñèìû ïðè12< g < 1.Òåì ñàìûì çàêîí÷åíà ïðîâåðêà óñëîâèé íåâûðîæäåííîñòè.

Îòìåòèì ÷òîïðè ïðîâåäåíèè ïðîìåæóòî÷íûõ âûêëàäîê ìû àêòèâíî ïîëüçîâàëèñü ïàêåòîì ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé Matlab 6.5 Symbolic Math Toolbox.Ïîñëå ýòîãî òèïû, ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ïî÷òè ïðÿìûõ ïðîèçâåäåíèé èêðóãîâûå ìîëåêóëû òî÷åê M , N , P , Q, L, è R îïðåäåëÿþòñÿ ïî òàáëèöàìïðèâåäåííûì â [1, ò.1, ãë.9].Òåîðåìà äîêàçàíà.4.4 Êðóãîâûå ìîëåêóëû âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèòÒî÷êè z1 , z2 , z3 è z4 ñîîòâåòñòâóþò íåáîòòîâñêèì êðèòè÷åñêèì îêðóæíîñòÿìñèñòåìû Ñîêîëîâà.Òåîðåìà 16 Êðóãîâûå ìîëåêóëû òî÷åê z1 , z2 , z3 è z4 ïðèâåäåíû â òàáëèöå 5.Äîêàçàòåëüñòâî: ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1 îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü ìåòêè r íà ðåáðàõ, âåäóùèõâ àòîìû A. Áóäåì çà r(xy), îáîçíà÷àòü r-ìåòêó ðåáðà êîòîðîå ñîåäèíÿåò106áèôóðêàöèè x è y .

Ðàññìîòðèì ðåáðà êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè z1 , îòíîñÿùèåñÿ ê ñåìåéñòâó V. Îíè ñîåäèíÿþò áèôóðêàöèè β1 è α4 . Èç êðóãîâîéìîëåêóëû òî÷êè P èìååì r(β1 γ2 ) = 0, òî÷êè Q r(γ2 α4 ) = ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ ìåòîê (ñì. ï. 2.4), r(β1 α4 ) = 0. Àíàëîãè÷íîïîëó÷àåì:• òî÷êà z1 :ñåìåéñòâî I: r(β1 γ1 ) = 0, r(γ1 α2 ) = ∞ ⇒ r(β1 α2 ) = 0• òî÷êà z2 :ñåìåéñòâî IV: r(δ1 α6 ) = 0, r(γ2 α6 ) = ∞ ⇒ r(δ1 γ2 ) = 0• òî÷êà z4 :ñåìåéñòâî II:r(β2 γ1 ) = 0, r(γ1 α3 ) = ∞ ⇒ r(β2 α3 ) = 0ñåìåéñòâî III: r(β2 γ2 ) = 0, r(γ2 α5 ) = ∞ ⇒ r(β2 α5 ) = 0ñåìåéñòâî IV: r(β2 γ2 ) = 0, r(γ2 α6 ) = ∞ ⇒ r(β2 α6 ) = 0 ðåçóëüòàòå íå âû÷èñëåííîé îñòàåòñÿ òîëüêî ìåòêà r íà ðåáðå AB ìîëåêóëû òî÷êè z3 .

Характеристики

Список файлов диссертации