Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Îøåìêîâ, ëþáîé ãàìèëüòîíèàí H ñëó÷àÿ Ñòåêëîâà ïðåäñòàâèì â âèäå,H = αH0 + βF0 + γf1 + δf2 ,ãäåεεa1 = (2A2 A3 − A3 A1 − A1 A2 ), a2 = (2A3 A1 − A1 A2 − A2 A3 ),33ε1a3 = (2A1 A2 − A2 A3 − A3 A1 ), α =,32εA1 A2 A3¶¶µµ3111 12(AA+AA+AA)122331++, γ = ε2− A1 A2 A3 ,β=6 A1 A2 A327A1 A2 A3¶¶µµεA2 A3 A3 A1 A1 A2δ=++.5(A1 + A2 + A3 ) − 29A1A2A3Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü èíòåãðèðóåìóþ ñèñòåìó ñ ãàìèëüòîíèàíîìH0 è äîïîëíèòåëüíûì èíòåãðàëîì F0 . Òåì ñàìûì ìû ôàêòè÷åñêè ïîíèæàåì ÷èñëî ïàðàìåòðîâ ñ ÷åòûðåõ äî äâóõ. Ïåðåíóìåðàöèåé ïåðåìåííûõ39äîáüåìñÿ, ÷òîáûa1 < 0 6 a2 < a3 .Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ìîìåíòà F:F : Mg4 → R2 (f, h)F : x → (F0 (x), H0 (x)) ñëó÷àå Ñòåêëîâà ïðè ëþáîì çíà÷åíèè g áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììàñîñòîèò èç êðèâîé, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè:f = −8µg − 12µ2 , h = −4µ2 g − 8µ3 , −(g + a3 ) 6 2µ 6 −(g + a1 ),(2.1)è òðåõ ëó÷åé ëåæàùèõ íà ïðÿìûõ h = ai f + 4a3i + 4ga2i (i = 1, 2, 3).
Ëó÷èçàäàþòñÿ òàê: {h = ai f + 4a3i + 4ga2i , f > T − 12a2i − 8gai }, ãäå T íåêîòîðîåíåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî.Êðèâàÿ (2.1), çàäàííàÿ ïàðàìåòðè÷åñêè ñ ïàðàìåòðîì µ, èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 3.a) g < −3a3 ,b) −3a3 < g < −3a2 ,c) −3a2 < g < −3a1 ,d) g > −3a1 .Äëÿ òî÷êè êðèâîé, îòìå÷åííîé öèôðîé i, çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ðàâíî − 21 (g+ai ).
Ýòî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ êðèâîé è ïðÿìîé h = ai f + 4a3i + 4ga2i . Äëÿ òî÷êèâîçâðàòà êðèâîé ìû èìååì µ =g3ïðè −3a3 < g < −3a1 .  òî÷êå êàñàíèÿëó÷à ñ êðèâîé çíà÷åíèå ïàðàìåòðà íà êðèâîé ðàâíî ai . ðåçóëüòàòå äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé g ïîëó÷àåì â îáùåé ñëîæíîñòè10 êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûõ áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì.
Îíè èçîáðàæåíû íàðèñ. 4. Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ g òàêîâû:40a) g < −3a3 ,b) −3a3 < g < a1 − a3 ,c) a1 − a3 < g < a1 − a2 ,d) a1 − a2 < g < −3a2 ,e) −3a2 < g < a2 − a3 ,f) a2 − a3 < g < a3 − a2 ,g) a3 − a2 < g < a2 − a1 ,h) a2 − a1 < g < a3 − a1 ,i) a3 − a1 < g < −3a1 ,j) g > −3a1 .Íà ðèñ. 4 ãëàäêèå äóãè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû îáîçíà÷åíû ìàëûìèãðå÷åñêèìè áóêâàìè ñ èíäåêñàìè. Îêðåñòíîñòè èõ ïðîîáðàçîâ â Q3 ïðåäñòàâëÿþò èç ñåáÿ áîòòîâñêèå ïåðåñòðîéêè òîðîâ Ëèóâèëëÿ, îïèñûâàåìûå3-àòîìàìè. Óêàæåì èõ òèïû:2A : α1 , α2 , α3 , α4 , α5 , α6 , α9 , α10 , α11 , α124A : α7 , α82B : β1 , β2 , β3 , β4C2 : γ12C2 : γ2 , γ3Ðåãóëÿðíûå òî÷êè îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà íà R2 (f, h) ÿâëÿþòñÿ îáðàçàìèíåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà íåñâÿçíûõ òîðîâ Ëèóâèëëÿ.
Ýòè òîðû åñòåñòâåííûìîáðàçîì ðàçáèâàþòñÿ íà ñåìåéñòâà, êîòîðûå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ðèìñêèìèöèôðàìè I-V (ñì. ðèñ. 4). ×èñëî ïðîîáðàçîâ äëÿ êàæäîé îáëàñòè ðåãóëÿðíîñòè òàêæå âû÷èñëåíî â [17]. Èìååì:41ñåìåéñòâî ÷èñëî òîðîâ ËèóâèëëÿI2II2III2IV4V2 êàæäîå ñåìåéñòâî ìû îòíåñëè òîðû, êîòîðûå èñïûòûâàþò îäèíàêîâûå áèôóðêàöèè íà ãðàíèöàõ îáëàñòè ðåãóëÿðíîñòè. Ïîÿâëåíèå ïàð òîðîâáëèçíåöîâ íå äîëæíî íàñ óäèâëÿòü. Äåëî â òîì, ÷òî ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâîâ ñëó÷àå Ñòåêëîâà, îáëàäàåò î÷åâèäíîé ñèììåòðèåéΦ : (s, r) → (−s, −r),òàêîé ÷òî Φ : (f1 , f2 , H0 , F0 ) → (f1 , f2 , H0 , F0 ).Îñîáî îòìåòèì, ÷òî ðåãóëÿðíûå òîðû Ëèóâèëëÿ ìîãóò ëåæàòü è â ïðîîáðàçàõ êðèâûõ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, êàê ýòî ïðîèñõîäèò, íàïðèìåð,ñ äóãîé β1 . Äåëî â òîì, ÷òî êðèâàÿ β1 ÿâëÿåòñÿ áèôóðêàöèîííîé òîëüêîäëÿ ñåìåéñòâà III, à äëÿ ñåìåéñòâà II òîðîâ ýòà äóãà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ îáëàñòè ðåãóëÿðíîñòè.
Ýòîò ýôôåêò îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà (âìåñòå ñ ðåãóëÿðíûì òî÷êàìè) åñòü ïðîåêöèÿ áàçû ñëîåíèÿËèóâèëëÿ íà R2 (f, h).  ðåçóëüòàòå ðåãóëÿðíûå è îñîáûå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè îäíîãî ñëîÿ, óäàëåííûå äðóã îò äðóãà íà M 4 , îòîáðàæàþòñÿ â îäíóòî÷êó ïëîñêîñòè.Èñõîäíûé ãàìèëüòîíèàí Ñòåêëîâà H ïðåäñòàâèì â âèäå H = αH0 +βK0 +γf1 + δf2 , â ñèëó ÷åãî ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè Q3h = {H(x) = h} áóäóò îòîáðàæàòüñÿ â ñå÷åíèÿ áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììû ñåìåéñòâîì ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ αh+βf = c. Ïðè ýòîì ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òå ïðÿìûå, êîòîðûå ïåðåñåêàþò áèôóðêàöèîííóþ42äèàãðàììó ïî êîìïàêòíîìó ìíîæåñòâó, íå ïðîõîäÿò ÷åðåç åå îñîáûå òî÷êèè ïåðåñåêàþò äóãè äèàãðàììû òðàíñâåðñàëüíî.
Òåì ñàìûì ìû ãàðàíòèðóåìâûïîëíåíèå óñëîâèé ðåãóëÿðíîñòè, íàêëàäûâàåìûõ íà èçîýíåðãåòè÷åñêèåïîâåðõíîñòè.Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî ïðåäñòàâëåííîé â ýòîì ïóíêòå èíôîðìàöèè äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü ãðóáûå ìîëåêóëû ýòèõ ïîâåðõíîñòåé,÷òî ñîñòàâëÿåò ãðóáóþ ëèóâèëëåâó êëàññèôèêàöèþ ñëó÷àÿ Ñòåêëîâà.Ïîñëå ýòîãî äëÿ ïîëó÷åíèÿ èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà íàì îñòàåòñÿâû÷èñëèòü ÷èñëîâûå ìåòêè ýòèõ ìîëåêóë.
Îäíàêî ìû ðåøèì áîëåå îáùóþçàäà÷ó: íàó÷èìñÿ âû÷èñëÿòü ìå÷åíóþ ìîëåêóëó äëÿ ïðîèçâîëüíîé äîïóñòè-ìîé êðèâîé. Ïîä äîïóñòèìîé êðèâîé ïîíèìàåòñÿ ãëàäêàÿ êðèâàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ äóãè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû òðàíñâåðñàëüíî è íå ïðîõîäÿùàÿ÷åðåç å¼ îñîáûå òî÷êè. Ïîòðåáóåì, êàê è ðàíåå, ÷òîáû êðèâàÿ ïåðåñåêàëàîáðàç îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ïî êîìïàêòíîìó ìíîæåñòâó.  êîíöå ãëàâû ìûïðåäúÿâèì àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ìå÷åíîé ìîëåêóëû äëÿ ïðîèçâîëüíîé äîïóñòèìîé êðèâîé â ñëó÷àå Ñòåêëîâà è â êà÷åñòâå ïðèìåðà âû÷èñëèì îäíóèç èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë.2.2 Êëàññèôèêàöèÿ êðóãîâûõ ñëîåíèé ËèóâèëëÿÒî÷êè M , N , P , Q, R, L è zi íà ðèñ.
4 ÿâëÿþòñÿ îñîáûìè òî÷êàìè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû. Îíè îáðàçîâàíû òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ, êàñàíèÿ èëèâîçâðàòà ãëàäêèõ êðèâûõ. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ îñîáóþ òî÷êó. Îïèøåì âîêðóã íåå ìàëóþ îêðóæíîñòü. Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé äîïóñòèìîé êðèâîé.  ïðîîáðàçå îêðóæíîñòè èìååòñÿ íåêîòîðîå òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå,íà êîòîðîì âîçíèêàåò ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ. Èíâàðèàíò Ôîìåíêî-Öèøàíãà ýòîãî ñëîåíèÿ íàçûâàþò êðóãîâîé ìîëåêóëîé äàííîé îñîáåííîñòè. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî, ñ îäíîé ñòîðîíû, êðóãîâûå ìîëåêóëû ìíîãî çíàþò î ãëîáàëüíîì43ñëîåíèè ñèñòåìû, à ñ äðóãîé èõ íåñëîæíî âû÷èñëèòü, òàê êàê îíè öåëèêîìîïðåäåëÿþòñÿ ëîêàëüíîé ñòðóêòóðîé ñëîåíèÿ âáëèçè îñîáåííîñòè.Òåîðåìà 5 Êðóãîâûå ìîëåêóëû âñåõ îñîáûõ òî÷åê ñëó÷àÿ Ñòåêëîâà ïðèâåäåíû â òàáëèöå 1.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû áóäåò ïîëó÷åíî â äâóõ ñëåäóþùèõ ïóíêòàõ.2.3 Êëàññèôèêàöèÿ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ïðîîáðàçàõ òî÷åê M , N , P , Q, R è L áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ëåæàòòî÷êè, â êîòîðûõ ðàíã îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ïàäàåò äî íóëÿ.
Ýòî îáðàçûñëîåâ, ñîäåðæàùèõ îäíó èëè íåñêîëüêî íåïîäâèæíûõ òî÷åê äåéñòâèÿ Ïóàññîíà. Áóäåì äàëåå íàçûâàòü èõ òî÷êàìè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû.Äàäèì îïðåäåëåíèå íåâûðîæäåííîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äëÿ èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Ïóñòü íà (M 4 , ω) çàäàíà èíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì H èäîïîëíèòåëüíûì èíòåãðàëîì F . Ïóñòü òî÷êà x ∈ M 4 òàêàÿ, ÷òî dH(x) =dF (x) = 0. Òîãäà íà Tx M êîððåêòíî îïðåäåëåíû äâà ñèìïëåêòè÷åñêèõ îïåðàòîðà AH = Ω−1 d2 H è AF = Ω−1 d2 F , ïîðîæäàþùèå â àëãåáðå Ëè sp(4, R)íåêîòîðóþ êîììóòàòèâíóþ ïîäàëãåáðó K(H, F ).Îïðåäåëåíèå 11 Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ x íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííûì,åñëè ïîäàëåáðà K(H, F ) ÿâëÿåòñÿ êàðòàíîâñêîé ïîäàëãåáðîé â sp(4, R).Èçâåñòíî, ÷òî â sp(4, R) ñóùåñòâóåò ðîâíî ÷åòûðå íåñîïðÿæåííûõ ïîäàëãåáðû Êàðòàíà, ðàçëè÷àåìûõ ïî òèïó ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé åå ýëåìåíòîâ. çàâèñèìîñòè îò íèõ, íåâûðîæäåííîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ îòíîñÿò ê îäíîìó èç ñëåäóþùèõ òèïîâ:1. ia, −ia, ib, −ib öåíòð-öåíòð,442.
a, −a, ib, −ib ñåäëî-öåíòð,3. a, −a, b, −b ñåäëî-ñåäëî,4. a + ib, a − ib, −a + ib, −a − ib ôîêóñ-ôîêóñ,ãäå a, b ∈ R+ .Òåïåðü óêàæåì ýôôåêòèâíûé ñïîñîá ïðîâåðêè êàðòàíîâîñòè ïîäàëãåáðûK(H, F ).Äëÿ íà÷àëà çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîðû AH è AF ñîâïàäàþò ñ ëèíåàðèçàöèÿìè âåêòîðíûõ ïîëåé sgradH è sgradF ñîîòâåòñòâåííî, ÷òî ïîçâîëÿåò ëåãêî âû÷èñëÿòü ìàòðèöû, êîòîðûìè îíè çàäàþòñÿ â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ.Äåéñòâèòåëüíî,∂(sgradH)i∂=∂xj∂xjµ∂Hω ik k∂x¶∂ 2H=ω= (Ω−1 d2 H)ijjk∂x ∂xikÊîììóòàòèâíàÿ ïîäàëãåáðà â sp(4, R) ÿâëÿåòñÿ êàðòàíîâñêîé åñëè è òîëüêî åñëè îíà äâóìåðíà è ñðåäè åå ýëåìåíòîâ íàéäåòñÿ ëèíåéíûé îïåðàòîð ñïîïàðíî ðàçëè÷íûìè íåíóëåâûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè.
Èòàê, ñíà÷àëà íóæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îïåðàòîðû AH è AF ëèíåéíî íåçàâèñèìû, è çàòåìïðîâåðèòü, ÷òî íåêîòîðàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ λAH + µAF èìååò ïîïàðíîðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.Íåâûðîæäåííûå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îáëàäàþò ìíîãèìè çàìå÷àòåëüíûìè ñâîéñòâàìè.  ÷àñòíîñòè îêðåñòíîñòè èõ ñëîåâ â M 4 ïðåäñòàâèìû ââèäå ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ 2-àòîìîâ.
Ñòðóêòóðà ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿâáëèçè îñîáûõ ñëîåâ, ñîäåðæàùèõ íåâûðîæäåííûå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ,ïîëíîñòüþ îïèñàíà. Äëÿ ñëó÷àåâ ìàëîé ñëîæíîñòè (ïî êîëè÷åñòâó íåïîäâèæíûõ òî÷åê íà ñëîå) èìåþòñÿ êëàññèôèêàöèîííûå òàáëèöû, â êîòîðûõ,â ÷àñòíîñòè, óêàçàíû êðóãîâûå ìîëåêóëû. Èçëîæåíèþ ýòîé òåîðèè ïîñâÿùåíà ãëàâà [1, ò.1, ãë.9].45Âåðíåìñÿ ê ñëó÷àþ Ñòåêëîâà.Òåîðåìà 6 Óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè, òèïû è ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ äëÿ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ, ëåæàùèõ â ïðîîáðàçàõ òî÷åê M , N , P , Q, R, L áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû óêàçàíû âòàáëèöå:óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòèòèïï/ï ïðîèçâ.M g ∈ (−∞, a2 − a3 ) ∪ (a3 − a2 , +∞)\{−3a1 } öåíòð-öåíòð2(A × A)ñåäëî-öåíòð2(A × B)N g ∈ (−∞, a1 − a2 ) ∪ (a2 − a1 , +∞)\{−3a3 } öåíòð-öåíòð2(A × A)g ∈ (a1 − a2 , a2 − a1 )ñåäëî-öåíòð2(A × B)g ∈ (−∞, a1 − a3 ) ∪ (a3 − a1 , +∞)ñåäëî-öåíòð(A × C2 )g ∈ (a1 − a3 , a3 − a1 )\{−3a2 }ñåäëî-ñåäëî(B × C2 )Qg ∈ (a1 − a3 , a1 − a2 )ñåäëî-öåíòð2(A × C2 )Rg ∈ (a3 − a2 , a3 − a1 )ñåäëî-öåíòð2(A × C2 )Lg ∈ (a2 − a3 , a2 − a1 )öåíòð-öåíòð4(A × A)g ∈ (a2 − a3 , a3 − a2 )PÊðóãîâûå ìîëåêóëû òî÷åê M , N , P , Q, R, L óêàçàíû â òàáëèöå 1.
Äðóãèõêðèòè÷åñêèõ òî÷åê ó ãàìèëüòîíèàíà H0 íà Mg4 íåò.Äîêàçàòåëüñòâî:Êîîðäèíàòû (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ) êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãàìèëüòîíèàíà H0 íàMg4 áûëè íàéäåíû À. À. Îøåìêîâûì [17]:xM = ±(g, 0, 0, 1, 0, 0),xN = ±(0, 0, g, 0, 0, 1),xP = ±(0, g, 0, 0, 1, 0),xQ = (0, (a1 − a3 )u1 , (a1 − a2 )v1 , 0, u1 , v1 )46u21 =g + a2 − a1,a2 − a3v12 =g + a3 − a1,a3 − a2a1 − a3 6 g 6 a1 − a2 ;xL = ((a2 − a3 )v2 , 0, (a2 − a1 )u2 , v2 , 0, u2 )u22 =g + a3 − a2,a3 − a1v22 =g + a1 − a2,a1 − a3a2 − a3 6 g 6 a2 − a1 ;xR = ((a3 − a2 )u3 , (a3 − a1 )v3 , 0, u3 , v3 , 0)u23 =g + a1 − a3,a1 − a2v32 =g + a2 − a3,a2 − a1a3 − a2 6 g 6 a3 − a1 .Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó íåâûðîæäåííîñòè ñèìïëåêòè÷åñêîé ôîðìû ω íàMg4 , óñëîâèÿ dH0 |Mg4 = 0 è sgradH0 = 0 ýêâèâàëåíòíû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
