Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела (1105023), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Íèæå29çà bi îáîçíà÷åí âòîðîé ýëåìåíò ìàòðèöû ñêëåéêè ðåáðà ei . Ïðåäïîëàãàåòñÿ,÷òî âñå ðåáðà ei êîíå÷íû, òî åñòü bi 6= 0. Ïîä êîëè÷åñòâîì çâåçäî÷åê ñåìüèïîíèìàåòñÿ ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî îñîáûõ ñëîåâ ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà. Ñòðåëêà íà ðåáðå óêàçûâàåò, äîïóñòèìûé áàçèñ êàêîãî àòîìàìû ïîëó÷èì, óìíîæèâ áàçèñ âòîðîãî àòîìà íà ìàòðèöó ñêëåéêè.1. Ìîëåêóëà ñîñòîèò èç îäíîé ñåìüè F c p çâåçäî÷êàìè, èç êîòîðîé èñõîeiäÿò ðåáðà e1 , . . . en âèäà F −→ A:N (W ∗ ) = ±2p b1 . .
. bn ñ(F )(1.1)e0ei2. Ìîëåêóëà ñîñòîèò èç ôðàãìåíòà F1 −→ F2 è ðåáåð Fj −→ A, âåäóùèõâ àòîìû A; ñóììàðíîå ÷èñëî çâåçäî÷åê äâóõ ñåìåé ðàâíî p:N (W ∗ ) = ±2p b0 b1 . . . bn (ñ(F1 )ñ(F2 ) − b−20 )e0e1(1.2)ei3. Ìîëåêóëà ñîñòîèò èç ôðàãìåíòà F0 −→ F2 −→ F1 è ðåáåð Fj −→ A,âåäóùèõ â àòîìû A; ñóììàðíîå ÷èñëî çâåçäî÷åê ñåìåé ðàâíî p:−2N (W ∗ ) = ±2p b0 b1 . . . bn (ñ(F0 )ñ(F1 )ñ(F2 ) − ñ(F0 )b−20 − ñ(F1 )b1 ) (1.3)1.3 Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû â ìåõàíèêå òâåðäîãîòåëà1.3.1 Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî.Îïðåäåëèì ïàðó (M 4 , ω), âîçíèêàþùóþ â ìå-õàíèêå òâåðäîãî òåëà.Ðàññìîòðèì àëãåáðó Ëè e(3) ãðóïïû Ëè E(3) äâèæåíèé òðåõìåðíîãî åâ∗êëèäîâà ïðîñòðàíñòâà. Íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå e(3) îïðåäåëåíà ñêîáêà30Ëè-Ïóàññîíà äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ãëàäêèõ ôóíêöèé f è g :{f, g}(x) = x([dx f, dx g]),∗ãäå x ∈ e(3) , à [ , ] êîììóòàòîð â àëãåáðå Ëè e(3). êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ:(s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 )∗íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå e(3) ýòà ñêîáêà çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:{si , sj } = εijk sk{ri , sj } = εijk rk{ri , rj } = 0,(1.4)ãäå1 6 i, j, k 6 3,1εijk = (i − j)(j − k)(k − i).2∗Ïóñòü íà e(3) çàäàíà íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H(s, r).
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé:ṡi = {si , H}, ṙi = {ri , H}(1.5)Ôóíêöèè f1 = r12 + r22 + r32 è f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 ëåæàò â ÿäðå ñêîáêèËè-Ïóàññîíà è ïîýòîìó ÿâëÿþòñÿ ïåðâûìè èíòåãðàëàìè óðàâíåíèé (1.5). Íàñîâìåñòíûõ ÷åòûðåõìåðíûõ ïîâåðõíîñòÿõ óðîâíÿ ôóíêöèé f1 è f2 :Mg4 = {f1 = r12 + r22 + r32 = 1, f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 = g},îãðàíè÷åíèå ñèñòåìû (1.5) ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñäâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ïîâåðõíîñòè Mg4 ÿâëÿþòñÿ íåîñîáûìè ãëàäêè∗ìè ñèìïëåêòè÷åñêèìè ïîäìíîãîîáðàçèÿìè â e(3) , äèôôåîìîðôíûìè T S 2 .Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà çàäàåòñÿ îãðàíè÷åíèåì ñêîáêè Ëè-Ïóàññîíà èç31∗îáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâà e(3) .
Ñèñòåìà áóäåò èíòåãðèðóåìîé íà ïîâåðõíîñòè Mg4 , åñëè íà íåé ñóùåñòâóåò ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìàÿ ñ H ãëàäêàÿôóíêöèÿ F (s, r), òàêàÿ ÷òî {H, F } = 0. Åñëè òàêàÿ ôóíêöèÿ ñóùåñòâóåò∗ãëîáàëüíî íà âñåì e(3) , òî íà êàæäîì Mg4 âîçíèêàåò èíòåãðèðóåìàÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ïàðàìåòð g çäåñü èìååòôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîñòîÿííîé ïëîùàäåé.1.3.2 Îñíîâíûå ñëó÷àè èíòåãðèðóåìîñòè.Ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü â ìåõà-íèêå òâåðäîãî òåëà èãðàåò ñëó÷àé èíòåãðèðóåìîñòè Ýéëåðà (1765 ãîä) [4],êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ñâîáîäíîìó äâèæåíèþ òâåðäîãî òåëà, çàêðåïëåííîãîâ öåíòðå ìàññ.
Óêàæåì êîíêðåòíûé âèä ãàìèëüòîíèàíà H è äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà F ñëó÷àÿ Ýéëåðà:H=s21s2s2+ 2 + 3 ,2A1 2A2 2A3F = s21 + s22 + s23 .Çäåñü âåùåñòâåííûå ïàðàìåòðû 0 < A1 < A2 < A3 èìåþò ñìûñë ãëàâíûõìîìåíòîâ èíåðöèè òâåðäîãî òåëà.Õîðîøî èçâåñòíû òàêæå ñëó÷àè èíòåãðèðóåìîñòè Êëåáøà è Ñòåêëîâà,êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò çàäà÷å î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà â æèäêîñòè:Ñëó÷àé Êëåáøà (1871 ãîä) [29]:s21s2s2ε+ 2 + 3 + (A1 r12 + A2 r22 + A3 r32 ),2A1 2A2 2A3 2ε1F = (s21 + s22 + s23 ) − (A2 A3 r12 + A1 A3 r22 + A1 A2 r32 ).22H=Ñëó÷àé Ñòåêëîâà (1893 ãîä) [30]:s22s23s21+++ ε(A1 r1 s1 + A2 r2 s2 + A3 r3 s3 )+H=2A1 2A2 2A332+ε2(A1 (A22 + A23 )r12 + A2 (A23 + A21 )r22 + A3 (A21 + A22 )r32 ),2F = (s21 + s22 + s23 ) − 2ε(A2 A3 s1 r1 + A3 A1 s2 r2 + A1 A2 s3 r3 )+ε2 (A21 (A2 − A3 )2 r12 + A22 (A3 − A1 )2 r22 + A23 (A1 − A2 )2 r32 ).Çäåñü ε ∈ R íåêîòîðûé äåéñòâèòåëüíûé ïàðàìåòð.
Êàê âèäíî, ýòè äâàñëó÷àÿ èíòåãðèðóåìîñòè ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü, êàê îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå âîçìóùåíèÿ ñëó÷àÿ Ýéëåðà â êëàññå èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì.Êàê èçâåñòíî, ïîìèìî ñëó÷àÿ Ýéëåðà, ñóùåñòâóþ åùå äâà ñëó÷àÿ èíòåãðèðóåìîñòè çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà, ïîäâåøåííîãî âïîëå òÿæåñòè: ñëó÷àè Ëàãðàíæà è Êîâàëåâñêîé. Óêàæåì äëÿ íèõ âèä èíòåãðàëîâ H è F .Ñëó÷àé Ëàãðàíæà (1788 ãîä):s21s22s23H=+++ ar3 , K = s3 .2A 2A 2BÑëó÷àé Êîâàëåâñêîé (1889 ãîä) [33, 34]:s21s22s23H=++ + a1 r1 + a2 r2 ,2A 2A Aµ¶2 ³´2s21 − s22s1 s2F =+ a2 r2 − a1 r1 +− a1 r2 − a2 r1 .2AAÒàêæå èçâåñòåí ñëó÷àé ÷àñòè÷íîé èíòåãðèðóåìîñòè Ãîðÿ÷åâà-×àïëûãèíà(1899 ãîä) [35, 36].
Ó ýòîé ñèñòåìû {H, F } = 0 ëèøü íà îäíîé ïîâåðõíîñòè4Mg=0:s21s222s23H=+++ a1 r1 + a2 r2 ,2A 2AA33F = s3 (s21 + s22 ) − Ar3 (a1 s1 + a2 s2 ). ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðàõ ïàðàìåòðû A, B > 0 îòâå÷àþò çíà÷åíèÿìãëàâíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè òâåðäîãî òåëà, a, a1 , a2 ∈ R îïðåäåëÿþò òî÷êóçàêðåïëåíèÿ òâåðäîãî òåëà.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå ïðèâåäåííûå âûøå ñëó÷àè èíòåãðèðóåìîñòè çàäà÷èî äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà â ïîëå òÿæåñòè äîïóñêàþò îáîáùåíèÿ íà ñëó÷àéíàëè÷èÿ â ñèñòåìå ïîñòîÿííûõ ãèðîñòàòè÷åñêèõ ñèë.
Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñ òåëîì æåñòêî ñâÿçàí âîë÷îê, âðàùàþùèéñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîéñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî îñè ñâîåé äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè. Äàííûå ñëó÷àèäàþò ïðèìåðû âîçìóùåíèÿ îïèñàííûõ âûøå ñèñòåì â êëàññå âïîëíå èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëèóâèëëþ.Ñëó÷àé Æóêîâñêîãî (1885 ãîä)[32]:H=(s1 + λ1 )2 (s2 + λ2 )2 (s3 + λ3 )2++,2A12A22A3F = s21 + s22 + s23 .Ñëó÷àé Ëàãðàíæà ñ ãèðîñòàòîì:H=s21s2(s3 + λ)2+ 2 ++ ar3 , K = s3 .2A 2A2BÑëó÷àé Êîâåëåâñêîé-ßõüè (1986 ãîä)[5, 6]:H=µF =s2(s3 + λ)2s21+ 2 ++ a1 r1 + a2 r2 ,2A 2AAs21 − s22+ a2 r2 − a1 r12A−¶2´2³s s1 2+− a1 r2 − a2 r1 −A2λ4λr322(s+2λ)(s(a1 s1 + a2 s2 ).+s)+312A2A34Ñëó÷àé ÷àñòè÷íîé èíòåãðèðóåìîñòè Ñðåòåíñêîãî (1963 ãîä) [37]:s21s222(s3 + λ)2H=+++ a1 r1 + a2 r2 ,2A 2AAF = (s3 + 2λ)(s21 + s22 ) − Ar3 (a1 s1 + a2 s2 ).Ïàðàìåòðû λ, λ1 , λ2 , λ3 ∈ R çàäàþò ïîñòîÿííûé ãèðîñòàòè÷åñêèé ìîìåíò. ïîñëåäíèå ãîäû â ñâÿçè ñ áóðíûì ðàçâèòèåì êîìïüþòåðíûõ ìåòîäîâ èïîÿâëåíèåì âûñîêîïðîèçâîäèòåëüíûõ ïàêåòîâ ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé óäàëîñü çíà÷èòåëüíî ïðîäâèíóòüñÿ â çàäà÷å íàõîæäåíèÿ êâàäðàòè÷íûõ ãàìèëüòîíèàíîâ óðàâíåíèé (1.5), äîïóñêàþùèõ ïîëèíîìèàëüíûé äîïîëíèòåëüíûéèíòåãðàë.
Îòìåòèì ðàáîòû Â. Â. Ñîêîëîâà [7, 8], Âîëüôà è Åôèìîâñêîé [9].Îáíàðóæåííûå ñëó÷àè èíòåãðèðóåìîñòè çà÷àñòóþ íå èìåþò ÿñíîé ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè, ÷òî, âïðî÷åì, íå ìåøàåò çàíèìàòüñÿ èññëåäîâàíèåìèõ òîïîëîãèè êàê èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. Ïðèìåðîì îäíîéèç òàêèõ ñèñòåì ìîæåò ñëóæèòü ñëó÷àé èíòåãðèðóåìîñòè Ñîêîëîâà (2001ãîä) [7], ïîäðîáíî èçó÷åííûé â íàñòîÿùåé ðàáîòå:11H = (s21 + s22 + 2s23 ) + r2 s3 − r32 ,22F = s23 (s21 + s22 + s23 + 2(r2 s3 − r3 s2 ) + r22 + r32 ) + 2s3 (s2 − r3 )(r1 s1 + r2 s2 + r3 s3 ).1.3.3 Ðåçóëüòàòû ëèóâèëëåâîé êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ.Ïå-ðå÷èñëèì îñíîâíûå èçâåñòíûå íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ðåçóëüòàòû â íàïðàâëåíèè ëèóâèëëåâîé êëàññèôèêàöèè êîíêðåòíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ìåõàíèêè òâåðäîãî òåëà.35Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ ñëó÷àåâ Ýéëåðà è Ëàãðàíæà ïîäðîáíî èçëîæåíà â [1, ò.2, ãë.5].
 ðàáîòå [2] À. Â. Áîëñèíîâûì, Ï. Ðèõòåðîì è À. Ò. Ôîìåíêî áûë âïåðâûå ïðåäëîæåí ìåòîä êðóãîâûõ ìîëåêóë, ñòàâøèé ãëàâíûìèíñòðóìåíòîì âû÷èñëåíèÿ ìå÷åííûõ ìîëåêóë ñëîæíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, êîòîðûé òàêæå ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ìåòîäîì èññëåäîâàíèé â äàííîé ðàáîòå. Ïðè ïîìîùè íåãî àâòîðàìè áûëè âû÷èñëåíû âñå èíâàðèàíòû ÔîìåíêîÖèøàíãà âîë÷êà Êîâàëåâñêîé. Òåì ñàìûì áûëà çàâåðøåíà ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ âñåõ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè çàäà÷è î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà,ïîäâåøåííîãî â ïîëå òÿæåñòè.Äî ýòîãî, â 1996 ãîäó, Ï.
Òîïàëîâ [3] ïîëó÷èë îáùóþ ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ ÷èñëîâûå ìåòêè ìîëåêóëû ñ òîïîëîãèåé åå èçîýíåðãåòè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ, ÷òî ïîçâîëèëî åìó âû÷èñëèòü âñå ìå÷åíûå ìîëåêóëû ñëó÷àÿ Æóêîâñêîãî, à â ñëó÷àÿõ Êîâàëåâñêîé è Ñðåòåíñêîãî ïîëó÷èòü êîíå÷íûé ñïèñîê àëüòåðíàòèâ äëÿ òîíêèõ ëèóâèëëåâûõ èíâàðèàíòîâ. Ôîðìóëà Òîïàëîâàîêàçàëàñü ìîùíûì ñðåäñòâîì äëÿ íàõîæäåíèÿ ãëîáàëüíûõ ëèóâèëëåâûõ èíâàðèàíòîâ ñëîåíèé è àêòèâíî ïðèìåíÿåòñÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå.Ãðóáàÿ ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ ñëó÷àåâ Êëåáøà, Ñòåêëîâà è Æóêîâñêîãî áûëà ïîëó÷åíà â äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå À.
À. Îøåìêîâà è îïóáëèêîâàíà â [16, 17].Äëÿ ñèñòåìû Ãîðÿ÷åâà-×àïëûãèíà Î. Å. Îðåë [20] áûëà äàíà òðàåêòîðíàÿêëàññèôèêàöèÿ. Ìå÷åíûå ìîëåêóëû ñëó÷àÿ Ñðåòåíñêîãî áûëè âû÷èñëåíûÂ. Â. Êîðíååâûì ïðè ïîìîùè ìåòîäà êðóãîâûõ ìîëåêóë [38]; îòâåò ìîæíîíàéòè â [1, ò.2, ãë.5]. ñåðèè ðàáîò Ï. Å. Ðÿáîâà , Î. Å. Îðåë, Ì. Ï.
Õàðëàìîâà [21, 22, 23, 24]áûëè ïîñòðîåíû áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû è äàíà ãðóáàÿ ëèóâèëëåâàêëàññèôèêàöèÿ ìíîãèõ íåäàâíî îáíàðóæåííûõ ñëîæíûõ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè, â òîì ÷èñëå ñèñòåìû Êîâàëåâñêîé-ßõüè è Ñîêîëîâà.36Îòìåòèì òàêæå áîëåå ðàííèå ðàáîòû Ì. Ï. Õàðëàìîâà [19, 43] è Ò. È. Ïîãîñÿíà [44, 45, 46], â êîòîðûõ áûëè âïåðâûå ïîñòðîåíû áèôóðêàöèîííûåäèàãðàììû ìíîãèõ óïîìÿíóòûõ âûøå ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè.Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ïîäðîáíîìó èññëåäîâàíèþ ñòðóêòóðû ñëîåíèéËèóâèëëÿ â ñëó÷àÿõ Ñòåêëîâà, Êëåáøà, a òàêæå Ñîêîëîâà è Êîâàëåâñêîéßõüè (ïîñëåäíåå ïðè g = 0). Äàíà êëàññèôèêàöèÿ âñåõ íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ (ñì. 2.3), âû÷èñëåíû âñå êðóãîâûå ìîëåêóëû (ñì.
2.2)è èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà. Ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â ñåðèè ñòàòåé [39, 40, 41, 42].37Ãëàâà 2Ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿèíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ ÑòåêëîâàÂû÷èñëåíèå òîíêèõ ëèóâèëëåâûõ èíâàðèàíòîâ îòäåëüíûõ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè ìåõàíèêè òâåðäîãî òåëà íà÷íåì ñ ñèñòåìû Ñòåêëîâà [30]:H=s21s2s2+ 2 + 3 + ε(A1 r1 s1 + A2 r2 s2 + A3 r3 s3 )+2A1 2A2 2A3ε2+ (A1 (A22 + A23 )r12 + A2 (A23 + A21 )r22 + A3 (A21 + A22 )r32 ),2F = (s21 + s22 + s23 ) − 2ε(A2 A3 s1 r1 + A3 A1 s2 r2 + A1 A2 s3 r3 )+ε2 (A21 (A2 − A3 )2 r12 + A22 (A3 − A1 )2 r22 + A23 (A1 − A2 )2 r32 ).Ïîðÿäîê èçëîæåíèÿ äëÿ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè âûáðàí èñõîäÿ èç ïðèíöèïà äâèæåíèÿ îò ïðîñòîãî ê ñëîæíîìó.
Òåõíèêà è ïðèåìû âû÷èñëåíèÿ ìå÷åííûõ ìîëåêóë áóäóò îáîãàùàòüñÿ ïðè ïåðåõîäå ê êàæäîìó ñëåäóþùåìóèíòåãðèðóåìîìó ñëó÷àþ. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ åñòåñòâåííî íà÷àòü ñî ñëó÷àÿÑòåêëîâà, äëÿ êîòîðîãî ìåòîä êðóãîâûõ ìîëåêóë [2] äàåò îêîí÷àòåëüíûé îòâåò ñ ïðèâëå÷åíèåì ëèøü íåêîòîðûõ îáùèõ äîïîëíèòåëüíûõ ñîîáðàæåíèé,38ñïðàâåäëèâûõ äëÿ ëþáîé äðóãîé èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû.2.1 Ãðóáàÿ ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ ñèñòåì ñëó÷àÿ ÑòåêëîâàÁèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû è ãðóáûå ìîëåêóëû äëÿ èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Ñòåêëîâà áûëè âû÷èñëåíû À.
À. Îøåìêîâûì â ðàáîòå [17].  ýòîì ïóíêòå ìû âêðàòöå ïðèâîäèì åãî ðåçóëüòàòû è ââîäèì ïîíÿòèÿ è îáîçíà÷åíèÿ,êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ íàì äëÿ âû÷èñëåíèÿ òîíêèõ ëèóâèëëåâûõ èíâàðèàíòîâ.Ðàññìîòðèì êîììóòèðóþùóþ ïàðó ôóíêöèé íà e(3)∗ :H0 = a1 s21 + a2 s22 + a3 s23 + 2(a21 s1 r1 + a22 s2 r2 + a23 s3 r3 ) + a31 r12 + a32 r22 + a33 r32 ,F0 = s21 + s22 + s23 − 2(a1 s1 r1 + a2 s2 r2 + a3 s3 r3 ) − 3(a21 r12 + a22 r22 + a23 r32 ),ãäå a1 + a2 + a3 = 0. Êàê âïåðâûå çàìåòèë À. À.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
