Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Микроскопическое состояние системы задается указанием состоянийкаждой частицы. Если каждая частица системы имеет f степеней свободы,то микросостояние задается значениями Nf параметров, где N — число ча2стиц в системе.2. Описание макросостояний начинается с рассмотрения изолированнойсистемы — системы, энергия которой не изменяется с течением времени.Макроскопическое состояние изолированной системы задано, если извест2ны энергия (или узкий интервал энергий (E, E + dE)) системы и значениявнешних параметров Fext.Мы будем рассматривать, в основном, две системы: идеальную системумагнитных моментов, энергия частиц которой имеет только два дискретных значения, и идеальный газ, энергия молекул которого может прини2мать непрерывный ряд значений.
В обеих системах (как абстрактных моде2лях) частицы почти не взаимодействуют друг с другом, но взаимодействиене отсутствует полностью. В системе спинов — это слабое взаимодействиемагнитного момента отдельной частицы с магнитным полем соседа, а в газе —абсолютно упругие соударения. Эти взаимодействия вызывают переходы си2стемы между микросостояниями (с одной и той же полной энергией).Одно макросостояние (E*, Fext) может реализовываться в ряде микросо2стояний, которые называются доступными состояниями системы. Их числообозначается G(E, Fext) и называется степенью вырождения данного энергетического уровня Е*.
Знак «*» будем применять для изолированных систем.3. В основе вычисления вероятностей лежит основной постулат статистической механики для изолированных систем — постулат равной априор2ной вероятности микросостояний (1.20).Из постулата следует, что вероятность любого микросостояния с энерги2ей E* и при заданных внешних параметрах Fext равнаPs ( E1 , Fext ) 21.3( E1 , Fext )(2.1)Основной постулат совместно с умением вычислять число микросостоя2ний дает возможность рассчитывать все свойства любой статистической сис2темы, находящейся в равновесии.4. Пусть нас интересует макроскопический параметр y изолированнойсистемы, находящейся в равновесии (магнитный момент всей системы илиее части (задачи 2.3 и 2.5), объем (задача 2.6)).
И пусть среди доступных со2стояний системы G0 будет G(yi) микросостояний с заданным значением yi.Тогда вероятность, с которой параметр y системы принимает заданное значе2ние y = yi, и среднее значение áyñ равны соответственно:Pi 2461( yi );10(2.2)МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ1 y2 3 5 yi Pi 3i1yi 4(yi ).40 5i(2.3)Задача 2.1. Доступные состояния изолированной системы.
Изолированная парамагнитная система состоит из N магнитных моментов (спинов) m0,расположенных в фиксированных точках (рис. 2.3). Каждый спин имеет только два возможных состояния: магнитный момент может быть направлен либовверх (+m0), либо вниз ¯ (–m0). Система находится во внешнем постоянноммагнитном поле с индукцией B, направленной вверх.
Полная энергия системы равна E*. Определить число G(E, B) доступных состояний системы, т. е.степень вырождения уровня энергии Е*.Решение. Если система изолирована, то ее полная энергия E* = const.Поскольку мы рассматриваем систему только с одной степенью свободы,значение энергии E* связано только с этой степенью свободы и определяется магнитным моментом M всей системы. Так как энергия системы постоянна,–(MB) = E* = const,(2.4)магнитный момент M = const также не изменяется. Введем безразмерныймагнитный момент:m1|M|,20(2.5)который, как и М, является макропараметром системы.Доступные состояния — это все состояния с m = const, т.
е. с определенным числом n частиц в состоянии (+m0) и (N – n) частиц в состоянии ¯(–m0):m = n – (N – n) = 2n – N.(2.6)Согласно (2.6) число магнитных моментов, направленных вверх:n2( N 1 m),2(2.7)а направленных вниз:n¢ = N – (N + m)/2 = (N – m)/2.Термодинамическая вероятность такого состояния G(E*, B) может бытьвычислена по аналогии с задачей о монетах (задача 1.12), так как и там,Рис. 2.3Линейная цепочка из N идентичных спинов, обладающих магнитными моментами m0,находится в магнитном поле с индукцией В. Система изолирована и имеет магнитныймомент M = mm0 = (2n – N)m0ez и энергию Е* == –(mB)m0. Показано одно из возможных микросостояний системы, в котором магнитные моменты первых n спинов в линейной цепочке сонаправлены с вектором магнитной индукции В,а остальные (N – n) спинов имеют магнитные моменты, ориентированные против направленияиндукции ВГЛАВА 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
ТЕМПЕРАТУРА47и здесь каждая случайная величина может принимать только два значения.Таким образом, степень вырождения энергетического уровня E* равна (1.25)1( E , B)n CN( N 4 m) CN 22E1 3 17 N 5 9 B 86 2 CN 0 .(2.8)Замечание. Число доступных состояний изолированной системы N маг:нитных моментов зависит от значения E*, т. е. от m. В табл. 2.1 и на гисто:грамме (рис.
2.4) для системы из N = 11 моментов приведены значения чис:ла доступных состояний G(m) системы с разной энергией E* = –(MB) = –mm0B,т. е. с разным магнитным моментом m.Вычисление G(m) по формуле (2.8) при больших значениях числа частицв системе достаточно трудоемко. Однако в случае N ? 1, n ? 1 и n¢ ? 1 можновоспользоваться формулой Стирлинга для больших чисел:ln n ! 1 n ln n 2 n.(2.9)1 2 3 4 5 6 2 7 89712345267846938928997268118789695868288852889832825658328812881348 552$8!526782556459 "827898326285281%8 5 8!2823"4526832628"523818#!2582345267825"6683188131483445441656 24 54437571654 2 44 54438581659 2 54435165 2 4 54435165 2 6 544345165 2 9 544453165 2 9 544531658 2 6 54453165 2 4 54485381657 2 544753716546 2 44 54444534416544 2 4 5441 1 223451 2 3 6 3 181Рис. 2.4Число доступных состояний G(m) изолиро:ванной системы N = 11 магнитных момен:тов в зависимости от безразмерного магнит:ного момента системы m = –E */(m0B), гдеE* — энергия изолированной системы48МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЛогарифмируя (2.8), получаем:( N 3m)2ln 5(m) 6 ln CN6 ln N !4 ln1 (N 23 m) 2!4 ln 1 (N 24 m) 2!,6 ln N !4 ln1 (N 23 m) 2!4 ln 1 (N 24 m) 2!.а с учетом (2.9):( N 3 m)2ln 5(m) 6 ln CN(2.10)Определим, какому m соответствует максимальное число микросостояний.
Для этого сначала найдем производную от ln G(m):1223 ln 4(m)NmN 6 m m ( N 5 m) [( N 5 m) 6 ( N 6 m)]17 25 ln57N 5m2 ( N 6 m)3mN 5 m2 2( N 5 m )2(2.11)N 6mm11 816 m/N 97 5 ln7 5 ln 7 5 arthN 5mN22 1 5 m / N 1(формулы (2.10) и (2.11) нам в дальнейшем понадобятся).
При вычислении(2.11) использовано равенство1 11 xln2 arth x при | x |3 1.2 14 x(2.12)3 ln 4(m)5 0,3m 1m2находим, что максимальной термодинамической вероятностью обладает мак1 m2росостояние, для которого arth3 0, т. е. ámñ = 0 (рис. 2.4).NПреобразуем выражение (2.10) для случая m/N = 1.Второе слагаемое в правой части (2.10) раскладываем в ряд по маломупараметру m :N223NNm 4N mln( N 2 5 m2 ) 6 ln N 2 81 57 N ln N 5.(2.13)922N 2 NРешая уравнение, соответствующее условию максимума1 21 2Третье слагаемое формулы (2.10) преобразуем, используя (2.12) и приближениеarth x » x при x = 1.(2.14)В результате12mN 3 m m 4 1 3 m/N 5m m26 ln 86 m arth 7ln.N mN N22 1 m / N 9Таким образом, для (2.10) получаемln 1(m) 2 N ln2 3иm22N1 2mN 2.3(m) 4 2N exp 52(2.15)ГЛАВА 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
ТЕМПЕРАТУРА49Выражение (2.15) является распределением Гаусса и может быть запи+сано в общем виде:1 2mN 2,3(m) 4 A exp 52(2.16)где константа А находится из условия нормировки распределения.Замечание. В задаче не рассчитывается вероятность, с которой системамагнитных моментов обладает энергий E*, а вычисляется, сколько доступ+ных состояний у системы, если ее энергия известна и равна E*, т. е. еслиизвестно число n магнитных моментов с направлением вверх.
Таким обра+зом вычисляется термодинамическая вероятность, с которой система имеетn магнитных моментов, направленных вверх, а (n – m) моментов — вниз.Аналогичная задача рассматривалась выше (задача 1.12) при определениитермодинамической вероятности появления определенного числа m решек всистеме, состоящей из N = 4 монет.Учитывая сказанное, данный результат (распределение Гаусса (2.16))можно было предвидеть заранее, поскольку использовались предположенияо малых отклонениях от средних значений в системе большого числа частиц:n, n¢ ? 1 при m = N. В данном приближении рассматривается система N ? 1спинов. Каждый спин с равной вероятностью может иметь направление вверхили вниз: p = q = 1/2.
Вероятность, с которой в системе n спинов направленывверх, а остальные — вниз, определяется биномиальным распределением(1.27). Среднее число частиц со спином вверх — среднее значение макропа+раметра системы: ánñ = Np = N/2; среднеквадратичное отклонение от средне+го значения 12n 2 Npq 2 N /4.При N ? 1 и малых отклонениях макропараметра от среднего значенияможно перейти от биномиального распределения к непрерывному распреде+лению Гаусса (1.61). Вероятность отклонения от среднего n – ánñ для распре+деления Гаусса равнаP(n) 6 PG (n) 7n 64 (n 1 2n3)2 51exp 817n,22 9 2где Dn = 1 — шаг, с которым изменяется макропараметр.Перейдем к макропараметру m, учитывая, чтоn = (m + N)/2;Dn = Dm/2;n – ánñ = m/2;s2 = Npq = N/4;P(m) 6 PG (m)7m 64 (m 1 2m3)2 52exp 819 7m.2N2NТак как ámñ = 0, для вероятности получаемP(m) 3 PG (m)4m 3501 m2 21 m2 214m 3 A exp 654m,exp 6578 2N 98 2N 792N(2.17)МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХа для плотности вероятности11 m2 21 m2 2exp 543 A exp 54,(2.18)67 2N 87 2N 6829Nпричем минимальный шаг изменения безразмерного магнитного моментасистемы Dm = 2.PG (m) 32.3.
МИКРОСОСТОЯНИЯ ИЗОЛИРОВАННОЙСИСТЕМЫ МОЛЕКУЛ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗАЯ смело могу сказать, что квантовой механики никтоне понимает.Ричард ФейнманТеперь перейдем к описанию микросостояний системы молекул идеаль6ного газа, т. е. углубимся в микромир частиц, размеры которых имеют поря6док нескольких ангстрем (10–10 м).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
