Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2.8б). Уменьшение54МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХабРис. 2.8Тепловое (а)и механическое (б) взаимодействиесредней энергии системы в этом случае происходит за счет макроскопиче+ской работы, совершенной системой –(DE)2 = DA.В общем случае, учитывая оба вида взаимодействия, изменение энергиисистемы DE = DE1 + DE2 запишется в виде1E 2 1Q 3 1A.(2.25)Дифференциальная форма уравнения (2.25):dE 1 2Q 3 2A.(2.26)Соотношения (2.25) и (2.26) выражают первое начало термодинамики:существуют только два способа изменения внутренней энергии dEсистемы: теплообмен dQ и совершение системой работы –dA.Первое начало термодинамики устанавливает различие между работой итеплотой как формами обмена энергией.3адача 2.2.
Вывести условие теплового равновесия системы A 1 с неко+торой системой A2, если вместе они составляют изолированную системуA* = A1 + A2 с неизменной энергией E* = const (рис. 2.9).Решение. Тепловому равновесию систем А1 и А2 соответствует наиболеевероятное распределение энергии Е* между системами А1 и А2.Определим вероятность, с которой система А1 имеет энергию Е1, а систе+ма А2 — энергию Е2 = Е* – Е1. Пусть степень вырождения энергетическогоуровня E1 у системы А1 равна G1(E1), а степень вырождения уровня энергииE2 = E* – E1 у системы A2 равна G2(E* – E1).
Чтобы воспользоваться постула+том равной вероятности микросостояний (1.20), будем рассматривать мик+росостояния изолированной системы A* = A1 + A2. В системе А* с каждым изсостояний G1(E1) может реализоваться любое из состоянийG2(E* – E1). Для выбранного состояния s системы А1 (sмикросостояние, в котором известны состояния всех частиц,входящих в систему A1) с энергией E1 число G2(E* – E1) рав+но числу возможных состояний всей системы A*, при ко+тором реализуется данное состояние системы A1, т. е.G2(E* – E1) является термодинамической вероятностьюданного s+состояния с энергией E1.На основании постулата равной вероятности всех со+Рис.
2.9си+стояний изолированной системы вероятность выбранно+ Изолированнаястема A* с энергиейго s+состояния (s+микросостояния) системы A1 с энергией E* = const состоит издвух подсистем A1 иE1 равнаA2, которые могут12 ( E 3 E1 )энер+Ps ( E1 ) 4 2,(2.27) обмениватьсягией друг с другом2 0 ( E1 )ГЛАВА 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ТЕМПЕРАТУРА55где G0(E*) — полное число доступных состояний системы A* с энергией E*(при всевозможных распределениях энергии между системами A1 и A2).Поскольку число различных s6состояний, каждое из которых характери6зуется энергией E1, равно G1(E1), число доступных состояний G(E1, E* – E1)всей системы A * с распределением энергии между системами A1 и A 2(E1, E* – E1):G(E1, E* – E1) = G1(E1) × G2(E* – E1).(2.28)Если рассматривать выражение (2.28) с точки зрения реализации опре6деленного энергетического состояния системы A1, то параметры G1 и G2 в(2.28) приобретают определенный физический смысл:§ G2(E – E1) — термодинамическая вероятность любого из состояний систе6мы A1 с энергией E1;§ G1(E1) — степень вырождения уровня энергии E1;§ G(E1, E* – E1) = G1(E1) × G2(E* – E1) — термодинамическая вероятность,с которой система A1 обладает энергией E1, — вероятность энергетического уровня E1, т.
е. вероятность макросостояния с энергией E1 для си6стемы А1.Используя постулат равной вероятности микросостояний, получаем ве6роятность E16уровня (макросостояния) системы A1 с энергией E1:PL ( E1 ) 42( E1, E1 3 E1 ).2 0 ( E1 )(2.29)Заметим, что для состояний системы A2 сомножители имели бы следую6щую интерпретацию:§ G2(E* – E1) — степень вырождения уровня энергии E2 = E* – E1;§ G1(E1) — термодинамическая вероятность любого из состояний системыA2 с энергией E2;§ G(E1, E* – E1) = G1(E1) × G2(E* – E1) — термодинамическая вероятность,с которой система A2 обладает энергией E2, — вероятность энергетического уровня E2, т. е.
вероятность макросостояния с энергией E2 для си6стемы А2.Условие энергетического (теплового) равновесия — это условие макси6мума вероятности (2.28) для функции G(E1, E* – E1) относительно E1:d2( E1, E1 3 E1 )dE1тепл.4 0.(2.30)равнов.С учетом (2.28) выражение (2.30) принимает вид12d11d12 11 2 3 0.dE1dE1(2.31)Поскольку dE1 = –dE2 (так как E1 + E2 = const), при тепловом равнове6сии систем А1 и А2 имеемd1d112 1 2 11 2 .(2.32)dE1dE256МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРазделим параметры, относящиеся к разным системам.
Тогда (2.32) мож*но записать в видеd ln 11 d ln 12(2.33)2.dE1dE2Соотношение (2.33) означает, что скорость изменения с энергией лога*рифма числа доступных состояний d ln 1( E) для систем, находящихся в теп*dEловом равновесии друг с другом, одинакова. Эта величина в статистическойтермодинамике определяется как обратная абсолютная температура Т в со*ответствии с уравнениемd ln 112,dEkBT(2.34)где kB — постоянная Больцмана. Абсолютная температура является поло*жительной величиной.
(Понятие отрицательных температур используетсядля описания неравновесных систем.)Таким образом, условием теплового равновесия (2.33) для систем, имею*щих возможность обмена энергией, является равенство их температур:T1 1 T2 .(2.35)Нулевое начало термодинамики: существует функция равновесного со*стояния системы, называемая температурой. Условие теплового равновесияразных систем и частей одной системы — равенство температур (2.35) вовсех точках.
Температура определяется только для состояний равновесия.Замечания.1. Системы A1 и A2 могут быть совершенно различными по своей природе.Например, A1 может быть куском металла, а A2 — окружающим его возду*хом в комнате, имеющим температуру Т. В условиях установившегося теп*лового равновесия температура металла равна температуре окружающеговоздуха.2. Система A1 может являться подсистемой системы A2.
В этом случае(2.35) является условием теплового равновесия внутри системы.3. В качестве системы А1 можно выделить определенные степени свободывсей системы, тогда условие (2.35) означает равновесное распределение энер*гии между степенями свободы внутри системы.Температура Т — макроскопический параметр равновесного состояния,определяемый экспериментально. Поэтому представляет большой интерессвязь с температурой других характеристик равновесной системы.
Напри*мер, можно определить при заданной температуре равновесное, т. е. наибо*лее вероятное значение какого*либо изучаемого макропараметра, а такжевероятность s*микросостояния с известной энергией.Следует также обратить внимание на то, что если задана температура Тсистемы, то система находится в равновесном, наиболее вероятном состоянии.Задача 2.3. Рассмотрим систему A1, состоящую из N1 = 4 частиц, положе*ние которых в пространстве фиксировано.
Пусть каждая частица обладаетГЛАВА 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ТЕМПЕРАТУРА57магнитным моментом m, который может бытьнаправлен либо вдоль оси ОХ (вверх ), либо впротивоположном направлении (вниз ¯) (анало0гично двум состояниям монет: орел и решка взадаче 1.12). Исследуемая система A1 находитсяРис. 2.10Одно из возможных состояний в тепловом равновесии с аналогичной системойизолированной системы А *,при котором система А1 имеет A2, содержащей N2 = 7 таких же частиц. Сово0безразмерный магнитный мо0 купная система A* = A1 + A2 помещается во внеш0мент m1 = –2, а система А2 — нее постоянное магнитное поле с магнитной ин0безразмерный магнитный мо0дукцией В, направленной вверх вдоль оси ОХ.мент m2 = +5В этом случае энергия частицы с магнитным мо0ментом вверх равна –(mB), а вниз ¯ — +(mB).
Таким образом, в отличие отсистемы монет, два состояния частицы с магнитным моментом характеризу0ются разной энергией (рис. 2.10).Пусть система A* = A1 + A2 изолирована и имеет энергию E* = –3m0B.Определить:1) вероятность PS(E) (s — state) одного из состояний с энергией Е длянеизолированной системы A1;2) вероятность PL (L — level), с которой система A1 имеет энергию Е.Найти состояния и их энергию, соответствующие равновесию системы A1с системой A2.Решение. Задача сводится к рассмотрению микро0 и макросостояний под0системы A1 изолированной системы A*.Изолированная система A* содержит N = N1 + N2 = 11 частиц. Число до0ступных состояний такой системы было определено в задаче 2.1 ((2.8), рис.
2.4):1 )/24( E1 ) 5 CN( N 2m511!5 330.( 11223 )!( 11233 )!В соответствии с основным постулатом для изолированных систем веро0ятность каждого из 330 доступных микросостояний одинакова и равна11.23( E1 ) 330(2.36)Для удобства рассмотрения микросостояний системы A1 составим табл. 2.2.1 2 3 4 5 6 2 7 89871232452467589794534754527178597445452711337259529411349989434 5452711!792" 1277#!792"952#97"2"595294 47" 952#9"114434$11 34$4111112131145145121672819713333144443331 5 177 5 2 11316328193133341444333317 5 17 5 7 12781181813344144333331 5 32 173 5 12317193281631344414333333157 13119728167144444133333331 5 2 178 5 2 12151721451158МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХGS — термодинамическая вероятность sмикросостояния системы A1, обладающей моментом m.
Онаопределяется числом микросостояний изолированной системы A*, в которых у подсистемы A1 фиксированное sмикросостояние. Так, например, состояние(¯¯¯) системы A1 с магнитным моментом m1 = –2 осуществляется в семи микросостояниях изолированнойсистемы A*, изображенных на рис.
2.11.Термодинамическая вероятность состояния (¯¯¯)равна21 (3444) 5 22 ( N2 5 7, m2 5 5) 5 C7( N2 1m2 )/2 5 C76 5 7,а с учетом (2.36) вероятность этого состояния равнаP(1222) 3 41 (1222) 51736 0,021.330 330Таким образом, термодинамическая вероятностьGS sсостояния системы А1 равна числу возможныхмикросостояний системы А2, составляющей вместес А1 изолированную систему. Другими словами, термодинамическая вероятность, с которой система А1находится в одном из состояний с безразмерныммагнитным моментом m (и с соответствующей емуэнергией), равна термодинамической вероятности,с которой система А2 имеет магнитный момент m2 == m* – m:3 S 4 3 S ( E) 4 3(m) 5 32 ( N2 , m * 2m) 5 CN( N2 2 1 m*2m)/2 (2.37)Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
