Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В равновесном состоянии отклонения от наивероятнейших (равновес*ных) значений малы, а в задаче 3.1 (рис. 3.1) наблюдается довольно широ*кий максимум. Почему?Ответ: резкий и узкий максимум характерен для макроскопическихтермодинамических систем с N ? 1.3. Если известна кинетическая энергия e одноатомной молекулы в неко*торый момент времени, можно ли определить температуру этой молекулы изсоотношения e = 3kBT/2?Ответ: во*первых, эта формула определяет среднюю кинетическую энер*гию áeñ = 3kBT/2, а не мгновенную e. Во*вторых, нельзя говорить о темпера*туре одной молекулы, так как температура является параметром тепловогоравновесия больших (N ? 1) статистических систем.
Если вопрос сформу*лировать иначе: можно ли, зная среднюю кинетическую энергию одноймолекулы áeñ одноатомного газа, определить температуру газа по формулеáeñ = 3kBT/2, то ответ будет утвердительным.Задача 3.3. Распределение Максвелла — Больцмана. Идеальный одно*атомный газ находится при температуре Т в потенциальном поле, так чтопотенциальная энергия молекулы газа, находящейся в точке с радиус*век*тором r, равна U(r). Покажите, что координаты r = (x, y, z) и скоростиv = (vx, vy, vz) молекулы являются независимыми случайными величинами,т.
е. вероятность dP(v, r), с которой молекула имеет координату в интерва*ле (r, r + dr) = [(x, x + dx), (y, y + dy), (z, z + dz)] и скорость в интервале(v, v + dv) = (vx, vx + dvx), (vy, vy + dvy), (vz, vz + dvz), является произведени*ем вероятностей: dP(v, r) = dPM(v)dPB(r).Решение. Вероятность dP(p, r) нахождения молекулы в элементе фазовогопространства dpx × dpy × dpz × dx × dy × dz º dtp × dtr вблизи точки (px, py, pz, x, y, z)фазового пространства равна произведению числа состояний dg в объемеdtp × dtr на вероятность каждого состояния, определяемую распределениемГиббса (2.46), (2.47)):E 2dP( px , py , pz , x, y, z) 3 dg ( px , py , pz , x, y, z) 4 exp 16 57.k8 BT 976МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХВыразим импульсы р через скорости v.
Число состояний в фазовом объе(ме dtv × dtr равно (п. 2.3)d1 p d1r dvx dvy dvz dxdydzd1v d1r22.33(231)(231 / m)(231 / m)3dg 2Полная энергия молекулыE(v, r) = mv2/2 + U(r).(3.17)Таким образом, для вероятности dP(v, r) нахождения в окрестности точ(ки (v, r) фазового пространства получаем:2 mv2 /2 1 U(r) 3dP(v, r) 4 A 5 exp 8 69 d7v d7r .kBTВероятность (3.18) может быть представлена в виде(3.18)dPM–B (v, r ) 1 dPM (v)dPB (r),(3.19)где1 mv2 2dPM (v) 3 A1 exp 6 47 d5v — распределение Максвелла по скоростям,8 2kBT 91 U (r ) 2dPB (r) 3 A2 exp 6 47 d 5r8 kBT 9(3.20)— распределение Больцмана по координатам. Константы А1 и А2 находят(ся из условий нормировки распределений. Элемент объема dtr — это объем1 2 3 4 5 6 2 7 8971234567428792735552147423425325323456555425323752212345674869848645751234567486934326318284864575374234567749747 1 1478847884775354562762532532345612345674869848645758!# 3 4 $%& 26 578 " 9123456748697232628443475147 47'82(49)7*58862*29744 3! 4 " 5+,- $%& 26 5" 79 8.32*7227272/ 407)3*7743832*22723456748687427! 4 1 5*82385 - 4 - 5 - 1ГЛАВА 3.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА77в координатном пространстве, находясь в котором молекула имеет потенци*альную энергию U(r). В частности, он может быть записан в виде: dtr = dxdydz.Ответ: dPM–B(v, r) = dPM(v)dPB(r).Систематизация рассмотренных выше распределений представлена втабл. 3.1.3.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ПО СКОРОСТЯМЗадача 3.4. Используя распределение Гиббса, получите распределениемолекул идеального газа по компонентам скоростей и по абсолютным значе*ниям скоростей.Решение. Определим вероятность dP(vx, vy, vz), с которой молекула иде*ального газа имеет скорость, компоненты которой лежат в интервале(vx, vx + dvx), (vy, vy + dvy), (vz, vz + dvz).
В пространстве скоростей (в коорди*натах (vx, vy, vz)) все благоприятные значения скоростей занимают объемdtv = dvx × dvy × dvz вблизи точки (vx, vy, vz). Объем одного квантового состоя*ния в пространстве скоростей (2.19)1 234vx 5 4vy 5 4vz 61 231.m3 L(3.21)Число квантовых состояний в объеме dtv пропорционально этому объему:dg 31 21 2 dv 5 dv 5 dv 3 A 5 dv dv dv ,L3m3Lmd4v 3261(261)33xyzxyz(3.22)3mL— постоянная, не зависящая от скорости.241С учетом того, что вероятности всех квантовых состояний в объеме dtvодинаковы и определяются распределением Гиббса (2.46), для вероятности,с которой молекула имеет скорость в заданном объеме dtv, получаем:где A 32 mvx2 1 mvy2 1 mvz2 3mv2 3expdP(vx , vy , vz ) 4 dg 5 exp 72 64A678 dvx dvy dvz .
(3.23)82kBT9 2kBT 9Распределение Максвелла (3.23) по компонентам скоростей может бытьпредставлено в виде произведения трех независимых распределений по каж*дой из компонент в отдельности:dP(vx , vy , vz ) 1 dP(vx ) 2 dP(vy ) 2 dP(vz ) 13 mvy2 43 mvx2 43 mvz2 4dvx 2 A1/3 exp 6 5dvy 2 A1/3 exp 6 51 A1/3 exp 6 5777 dvz .8 2kBT 98 2kBT 98 2kBT 9Определяя константу А из условия нормировки:1212124 mvx2 1 mvy2 1 mvz2 5expA738dvz 6 1, 2kBT9323232получаем распределения по компонентам скоростей:dvx78dvyМОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ§ для вероятности:3/2m 3dP(vx , vy , vz ) 4 2679 28kBT 2 mvx2 1 mvy2 1 mvz2 3exp 6 57 dvx dvy dvz ;2kBT9(3.24)§ для плотности вероятности:3/2m 3f (vx , vy , vz ) 4 267829 kBT 2 mvx2 1 mvy2 1 mvz2 3exp 6 57;2kBT9(3.25)и по каждой компоненте в отдельности:dP(vx ) 3f (vx ) 3dP(vy ) 3f (vy ) 3dP(vz ) 3f (vz ) 31 mvx2 2mexp 5 46 dvx ;27kBT8 2kBT 91 mvx2 2mexp 5 46;27kBT8 2kBT 91 mvy2 2mexp 5 46 dvy ;27kBT8 2kBT 91 mvy2 2mexp 5 46;27kBT8 2kBT 91 mvz2 2mexp 5 46 dvz ;27kBT8 2kBT 91 mvz2 2mexp 5 46.27kBT8 2kBT 9(3.26)(3.27)(3.28)(3.29)(3.30)(3.31)(а)Плотность вероятности f(vx) распределениямолекул идеального газа по компоненте скоро#сти vx представлена на рис.
3.2а.(б)Рис. 3.2Зависимость плотности вероятностираспределения Максвелла f(vx) по ком#поненте скорости vx от безразмерного па#раметра vx/ávñ (а) и плотности распреде#ления f(v) по абсолютной величине ско#рости от безразмерного параметра v/ávñ(б). На вставке (рис. б) показаны ха#рактерные скорости молекул: средняя,наиболее вероятная и среднеквадра#тичнаяГЛАВА 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА791234536789384342827773825781 2 3 4 5 6 2 7 8974342827773825781234567899313 1 51232729331 4 2 1 63 27 389 4 5 3679 8 12322565673 51232729333576599323 82333 3332933123272933357659936652823 8333 3$333 33 3 6 29 47 8 33 4 6 27389 4 5 3679 8 4 5 3679 8 3 46 27 8 !"# 39 3 4 6 27 !"# 39 %31Распределение Максвелла по абсолютному значению скорости определяет вероятность, с которой молекула идеального газа имеет значение скорости в интервале (v, v + dv), независимо от направления скорости v. Объем,который занимают интересующие нас скорости в пространстве скоростей,представляет собой сферический слой (аналогичный слою, изображенномуна рис.
2.6), радиус которого равен v, а толщина dv. Число квантовых состояний в этом объеме пропорционально объему сферического слоя 4pv2dv.По аналогии с (3.22) получаем:dg(v) = B × 4pv2dv,где В — константа, не зависящая от скорости.Используя распределение Гиббса для каждого состояния в сферическомслое, находим распределение Максвелла по абсолютным значениям скоростей:1 mv2 21 mv2 22dP(v) 3 dg (v)exp 6 43 B exp 6 477 45v dv.8 2kBT 98 2kBT 91Вычислив В из условия нормировкительно получаем:2 mv2 3 B exp 79 4 2kBT 845v2dv 6 1,оконча03/2m 2mv2 22exp 61 4(3.32)dP(v) 3 1677 45v dv8 25kBT 98 2kBT 9и для плотности вероятности распределения молекул по абсолютным значениям скоростей (рис.
3.2):m 2f (v) 3 1678 25kBT 93/2mv2 22exp 61 47 45v .8 2kBT 9(3.33)Выражение (3.32) совпадает с полученным ранее распределением Максвелла по энергии (3.5), если сделать замену переменной e = mv2/2.Ответ: в табл. 3.2 представлены основные функции плотности распределения Максвелла.Замечание. Итак, что можно найти, зная функцию распределения слу чайной величины, например, f(vx):80МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ§ среднее значение числа частиц с компонентой скорости vx в узком интер#вале значений (vx, vx + dvx):dN (vx ) 3 N0 f (vx )dvx 3 N01 mvx2 2mexp 5 46 dvx ;27kBT8 2kBT 9(3.35)§ среднее значение числа частиц с компонентой скорости vx в интервале(vx1, vx2):vx 23N (vx1, vx2 ) 4 N0при Dvx = vx2 – vx1 = vx1vx 2f (vx )dvx 4 N0vx1vx13N 4 N0 f (vx1 )3vx 5 N01 mvx2 2mexp 6 57 dvx ,28kBT9 2kBT 1 mvx21 2mexp 7 68 3vx ;29kBT 2kBT § наиболее вероятное значение vxнв из условия§ среднее значение4vx2 5 6(3.36)(3.37)df (vx )1 0;dvx vнв127 vx2 f (vx )dvx ;(3.38)32§ среднее значение любой функции от vx:45(vx )6 7128 5(vx )f (vx )dvx .(3.39)32Задача 3.5.
Использование распределения Максвелла для определениясредних значений физических величин. Применение теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Считая водород идеальнымгазом, найти наивероятнейшее, среднее и среднеквадратичное значения ско#ростей, дисперсию скорости, а также среднюю энергию молекулы водородапри стандартных условиях: температуре 25°С и атмосферном давлении.Решение. Наивероятнейшее значение скорости, соответствующее мак#симуму f(v) (3.33), находится из условия df (v)1 0, т. е.dv vнвd 26 m 7dv 29kBT 3/234 mv2 510exp 849v2 2kBT v 1vнвиvнв 12kBT2RTRT12 1,411 1570 м/с,mMM(3.40)где R = NАkB = 8,31 Дж/(моль×К) — универсальная газовая постоянная,М = mNА — молярная масса.Средняя скорость:12v3 4 7 vdP(v) 408kBT8RTRT45 1,64 1780 м/с,6m6MMГЛАВА 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
