Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Компрессор всасывает за одну минуту c = 3 м3 воздуха притемпературе ТA = 27°С и атмосферном давлении, нагнетая его в резервуаробъемом V = 10 м3. За какое время компрессор наполнит резервуар до давле)ния p = 2 МПа, если температура воздуха в резервуаре T = 47°С. Перед на)полнением резервуар был соединен с атмосферой.p VОтвет: до начала процесса в сосуде находилось 10 2 A молей воздуха.RTApVПосле окончания процесса 2 1 3.
Число молей молекул nc = nS – n0 зани)RTRTAмают в атмосфере объем V1 2 3 1и нагнетаются компрессором за времяpAV1 V 3 p 2 TA45t 667 1 8 59 мин.1 1 9 T 2 pAГЛАВА 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА97БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕЗадача D3.16. Сравните среднеквадратичные скорости движения капель)2 2 , находящихся в воздухе прики воды 1vd2 2 и молекулы водяного пара 1vmтемпературе Т = 17°С. Радиус капельки r0 = 0,05 мкм, плотность r = 1 г/см3.Ответ:22 31vm3RT4 630 м/с,M1vd2 2 33 kBT4 0,15 м/с.2 56r03Задача D3.17. Коэффициенты диффузии молекул формамида (НСОNH2)при комнатной температуре в воде D1 и в сахарозе D2 равны соответственноD1 = 1,6×10–9м2/с и D2 = 0,3×10–9м2/с. Определите среднеквадратичное сме)щение árñ молекулы формамида за Dt = 10 мин.
Полагая форму молекулыформамида шарообразной, оцените ее радиус R. Коэффициент вязкости водыh1 = 1,0 мПа×с.Ответ:2r1 3 4 2D1 5t 4 2 61,6 6 1019 6 10 6 60 7 14 6 1014 м 7 1,4 мм;2r2 3 4 2D2 5t 4 2 6 0,3 6 1019 6 10 6 60 4 6,0 6 1014 м 4 0,6 мм;k T1,38 6 10123 6 300R7 B47 0,14 6 1019 м 4 1,4 1.6891 D1 6 6 3,14 6 1013 6 1,6 6 1019Задача D3.18. На вертикально подвешенной кварцевой нити укрепленозеркальце, повороты которого (броуновское движение) регистрируются. Мо)дуль кручения нити D = 9,4×10–16 Н×м. Температура окружающего воздуха300 К. Найти плотность вероятности, с которой зеркальце имеет угол пово)рота j и среднеквадратичное отклонение зеркальцаОтвет:f (2) 6122 3 .kBT 1,38 5 10123 5 3003 D22 4D29 4,4 5 1016 рад2 ;exp 1 ; 72 8 6 D 62kBT2kT9,4 5 10116B 722 8 9 2,1 5 1013 рад 9 0,12 град.98МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХГЛАВАРАСПРЕДЕЛЕНИЕБОЛЬЦМАНАВсе должно измениться, чтобы все осталось по&старому.Дж.
Т. ди ЛампедузаРаспределение Больцмана (задача 3.3 (3.20)):1 U(x, y, z) 2dPB (x, y, z) 3 Aexp 5 4dxdydzkBT 687для молекул идеального газа, находящихся при температуре Т в потенци&альном поле, определяет вероятность dPB(x, y, z), с которой молекула газа,обладающая потенциальной энергией U(x, y, z), имеет координаты в интер&вале значений (x, x + dx), (y, y + dy), (z, z + dz). Константа А находится изусловия нормировки распределения.(а)(б)Задача 4.1. N 0 молекул идеальногогаза находятся при температуре Т в за&крытом вертикально расположенном ци&линдре в поле силы тяжести (рис. 4.1).Высота цилиндра Н, площадь основанияS, масса одной молекулы m. Определить:1) зависимость концентрации молекулгаза от высоты;Рис.
4.12) изменение этой зависимости с изме&(а) N0 молекул идеального газа нахо&нением температуры;дятся в закрытом вертикальном ци&3) положение центра массы газа в за& линдрическом сосуде (термостате) притемпературе Т. Высота цилиндра Н,висимости от Т;площадь основания S. (б) Зависимость4) среднее значение потенциальной концентрации молекул n(z) от высоты zэнергии в расчете на одну молекулу газа.Решение. В декартовой системе координат, ось OZ которой направленавертикально вверх вдоль оси цилиндра (рис. 4.1), потенциальная энергиязависит только от координаты z.
В этом случае элемент объема, в котороммолекулы газа обладают одинаковой потенциальной энергией, можно запи&сать в видеdtr = Sdz.ГЛАВА 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА99Пусть потенциальная энергия нормирована на нуль на дне цилиндра (в точ,ке z = 0), тогда потенциальная энергия молекулы, имеющей координату z:U(z) = mgz,(4.1)где m — масса молекулы. Распределение Больцмана (3.20) для молекул иде,ального газа, находящихся в поле силы тяжести, принимает вид:mgz 2dPB (z) 3 A exp 15 46 Sdz,7 kBT 8(4.2)плотность вероятности:mgz 2fB (z) 3 AS exp 15 46.7 kBT 8Константу А определяем из условия нормировки:H(4.3)1 mgz 29 A exp 57 3 kBT 68 Sdz 4 1;024 Hmgz 7 34A 8 9S 5 exp 6 1 dz kBT 44 0118a /( H 5 S),1 1 exp(1a)(4.4)mgH MgH1— безразмерная константа; молярная масса M = NAm,kBTRTR — универсальная газовая постоянная; NA — число Авогадро.Используя распределение (4.2), можно определить число частиц dN(z),находящихся в слое (z, z + dz), т.
е. в объеме dtr = Sdz:где a 1dN(z) = N0dPB(z),(4.5)и концентрацию молекул в слое (z, z + dz):n(z) 3dN (z) N0dPB (z)1 U(z) 233 N0 A exp 5 46.SdzSdz7 kBT 8(4.6)Здесь N0 — полное число молекул в цилиндрическом сосуде. Зная n(z),можно определить среднее значение любой функции, связанной с z, напри,мер ámgzñ (см. ниже).Константу А можно связать с концентрацией молекул у дна сосуда изсоотношения (4.6):n(0) = A × N0(4.7)или с плотностью вероятности нахождения молекулы у дна сосуда из соотно,шения (4.3):fВ(0) = A × S.(4.8)Окончательно, с учетом (4.7), зависимость концентрации (4.6) молекулот высоты принимает вид (рис. 4.1б):mgz 2n(z) 3 n(0) 4 exp 16 57.8 kBT 9100(4.9)МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХКонцентрацию n(0) молекул у дна сосуда выразим через среднюю кон"Nцентрацию молекул 1n2 3 0 :SHan(0) 1 AN0 1 2n3.(4.10)1 4 exp(4a)Проанализируем изменение концентрации у дна сосуда при изменениитемпературы в двух предельных случаях.При низких температурахa1иmgH MgH11 1,kBTRTn(0) 1 2n3 4mgH5 6,kBTт.
е. все молекулы собираются на дне сосуда.При высоких температурахa1иmgH1 1,kBTmgH 2n(0) 3 4n5 a{1 6 [1 6 a 7 a2 /2 6 ...]}1 3 4n5(1 7 a /2) 8 4n5 191 7,2kBT т. е. плотность молекул на дне приближается к среднему значению. В случаевысоких температур плотность молекул на высоте z равняетсяmgH 41 mgH 23 mgz 41 mgH 2 1 mgz 2n 3 z, T 1 5 6n7 1 8 2k T exp 9 k T 5 6n7 1 8 2k T 1 9 k T .k B B B B B На рис. 4.2 представлены зависимости n(z, T) для трех температур:T1 < T2 < T3, причем T1 ® 0,T2 1mgHmgH, T3 1.kBkBПри T3 ® ¥ концентрация n3(z, T) ® ánñ, что соответствует равномерному рас"пределению частиц по высоте.
Заметим, что площадь под кривой n(z, T) естьконстанта, равнаяHN2 n(z)dz 1 S0 .0Рис. 4.2Зависимости концентрации мо"лекул n(z, T) при трех темпе"ратурах: T1 ® 0; T2 > mgH/kB;T3 ? mgH/kВГЛАВА 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА101Координата zc центра масс по определению равнаH5 z2(z)d3 4 50zc 45 2(z)d3z 1 mn(z) 1 SdzmN0H4 5z0n(z)Sdz 4N0H5 z2(z)d3 4 504 zc 45 2(z)d3z 1 mn(z) 1 SdzmN0H4 5z0n(z)Sdz,N0(4.11)amgz. Учитывая, что 4 y exp(1 y)dy 2 1 1 (1 3 a)exp(1a), и используя вы/kBT0ражение (4.10), для координаты центра масс получаем:где y 1zc 3e a 1 (1 2 a)aH4 2 [1 1 (1 2 a)exp( 1a)] 3 H 4.1 1 exp( 1a) aa(e a 1 1)(4.12)В предельных случаях:mgH1) при низких температурах (T 1 0, a 21 1):kBTzc 1H kBT23 0;a mg2) при высоких температурах:a2 / a3 /6H (1 1 a /3)32a(a 1 a2 /2) 2 (1 1 a /2)mgH 5HH2 (1 1 a /3)(1 6 a /2) 2 471 6.2296kBT 8Средняя потенциальная энергия в расчете на одну молекулу газа связанас координатой центра масс (4.11):zc 2 Háeпотñ = ámgzñ = mgázñ = mgázcñ.(а)(б)Рис.
4.3Зависимости áeпотñ от 1/ a 1102kBTmgH 1~ T (а) и от a 1~(б)mgHkBT TМОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХТаким образом,ea 5 (1 6 a) пот mgH kBTa(e a 5 1)expMgH 45 31 61 MgHRT 2 97RT 8 .MgH51exp 1RT 2(4.13)Зависимость средней потенциальной энергии молекулы от Т (рис. 4.3а) иот обратной температуры 1/T (рис. 4.3б) аналогична zc(T), т. е.mgH1 1):1) при низких температурах (T 1 0, a 2kBTáeпотñ » kBT;2) при высоких температурах (T 1 2, a 334 пот 5 6(4.14)mgH1 1):kBTmgH 1 mgH 2 mgH178.2 96kBT 2(4.15)Вопросы для самопроверки.1. Можно ли в данной задаче при вычислении средней энергии использо=вать закон равномерного распределения энергии по степеням свободы? По=чему?Ответ: нельзя, так как теорема о равномерном распределении энергиив том виде, как она сформулирована выше, не распространяется на потен=циальную энергию частиц.
Однако возможна вторая формулировка зако=на: «В состоянии термодинамического равновесия на каждый квадратич=ный член в выражении для энергии в среднем приходится энергия kBT/2».Но и с учетом второй формулировки использовать закон равномерногораспределения энергии не правомочно.Численная оценка для воздуха при комнатной температуре Т = 300 К,Н = 1 м, M = 30 г/моль дает (рис. 4.3):MgH2 1,2 3 1014 1 1,RTMgHMgH45 пот 6 7(1 1 2 3 1015 ) 7,22a2т. е. реализуется случай высоких температур.Следует отметить, что для различных молекулвоздуха (N2, O2, и др.) средняя потенциальная энер=гия неодинаковая в отличие от кинетической энер=гии (3.43).2.
При термодинамическом равновесии темпера=тура газа, находящегося в поле силы тяжести, по=стоянна по величине. С молекулярно=кинетическойточки зрения на первый взгляд кажется, что темпе=ратура газа (как параметр, связанный со средней ки=нетической энергией молекул) должна убывать с вы=сотой, так как летящая вверх молекула замедляетсяГЛАВА 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНАРис. 4.4Зависимость концентра=ции молекул, обладающихскоростями v, от величи=ны v на высоте над поверх=ностью Земли Н1 и на вы=соте Н2 > H1103полем тяжести, а летящая вниз — ускоряется. Дайте качественное объясне/ние постоянства температуры по высоте.Ответ: отношение числа быстрых и медленных молекул (определяемоераспределением Максвелла по скоростям) и средняя энергия (а значит, итемпература) не меняются по высоте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
