Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 16
Текст из файла (страница 16)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА(3.41)81средний квадрат скорости:12v2 3 4 5 v2dP(v) 403kBT 3RT4,mMсреднеквадратичная скорость:1v2 2 33RTRT3 1,733 1930 м/с.MM(3.42)Соотношение скоростей представлено на вставке рис. 3.2.Из условия независимости vx, vy, vz получаемmvy2mvx2mvz21 mv211111 kBT .2223 22Этот результат является частным случаем, подтверждающим теорему оравномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы:в состоянии термодинамического равновесия средняя кинетическая энергияв расчете на каждую степень свободы равна kBT /2.Для сравнения значений скоростей различных газов в воздухе вычислимсредние значения скоростей азота и кислорода:1v2 N2 3 1v2 H2 4MH2MH25 470 м/с, 1v2 O2 3 1v2 H2 45 440 м/с.MN2MO2На рис.
3.3 изображены плотности распределения Максвелла по скороCстям для кислорода при двух температурах Т1 = 0°С (сплошная линия) иТ2 = 100°С (пунктирная линия). Отмечены наивероятнейшие скорости молеCкул кислорода при этих температурах.Дисперсия скорости:(31 2 8)RT32v 4 5(v 2 5v6)2 6 4 5v2 6 2 5v6 2 44 0,185v6 2 .1MСтандартное отклонение для скорости:1v 2 12v 3 0,424v5 3 750 м/с.Относительное стандартное отклонение для скорости:1v2 0,42 3 42%.4v5Рис. 3.3Зависимость плотности распределениямолекул кислорода от скорости при двухтемпературах: Т1 = 0°С (сплошная криCвая) и Т2 = 100°С (пунктирная кривая).Отмечены наивероятнейшие скоростиvнв молекул кислорода при этих темпеCратурах82МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХСреднее значение энергии молекулы водорода.Характерные температуры, при которых возбуждаются вращательная и колебательная степени свободы, находятся изусловия kBT » E, где E — энергия, приходящаяся на данную степень свободы. Дляводорода Tвр = 85,5 К, Tкол = 6410 К.
Прикомнатной температуре возбуждаются степени свободы, соответствующие поступаРис. 3.4тельному и вращательному движению мо Модели двухатомной молекулы Н2лекул водорода. При этом колебательная с «вымороженной» и возбужденнойколебательной степенью свободыстепень свободы еще «заморожена», не возбуждается (рис. 3.4).С учетом этого энергия молекулы водорода может быть записана в видесуммы кинетических энергий поступательного движения центра масс и вращательного движения относительно центра масс, причем момент инерциимолекулы относительно оси 3, соединяющей атомы водорода, можно считать пренебрежимо малым (J3 » 0):23mvx2 mvy2 mvz2 J1112 J2 1224444,22222где m — масса молекулы водорода; vx, vy, vz — компоненты скорости центрамасс; J1, J2, w1, w2 — моменты инерции и угловые скорости вращения молекулы водорода относительно ее главных центральных осей 1 и 2, перпендикулярных оси 3 (рис.
3.4).Применяя теорему о равномерном распределении кинетической энергиипо степеням свободы, имеем:k T 523H2 4 5 i B 5 kBT 6 1,04 7 10120 Дж.22Температуры возбуждения вращательных и колебательных степеней свободы для молекул азота и кислорода:N2: Tвр = 2,86 К, Tкол = 3340 К;O2: Tвр = 2,09 К, Tкол = 2290 К.Следовательно, при комнатной температуре у молекул кислорода и азота, так же как и у молекул водорода, возбуждены только поступательные ивращательные степени свободы, поэтому123 H2 4 123 N2 4 123 O2 .Ответ: vнв 1 2kBT / m 1 1570 м/с, 2v3 13v2 4 5 3kBT / m 5 1930 м/с, 6v 5(3.43)8kBT1 1780 м/с,4m(31 2 8)kBT5 0,423v4,1m23H2 4 5 ikBT /2 5 (5/2)kBT 6 1,04 7 10120 Дж.ГЛАВА 3.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА83Рис. 3.5Плотность вероятностираспределения молекулкислорода и водорода поскоростям при темпера;туре 120 КВопросы для самопроверки.1. Какой порядок величин имеют скорости молекул в воздухе?2. Одинаковы ли скорости молекул разных газов в воздухе?3. Отличаются ли средние и наивероятнейшие скорости одной молекулы?4. Постройте на одном рисунке графики функции плотности вероятностидля скорости молекул с различными массами f1(v, m1) и f2(v, m2) при одной итой же температуре.5.
Означает ли равенство (3.43), что среднеквадратичные скорости моле;кул водорода, азота и кислорода также равны?Ответы: 1–4. см. рис. 3.5.5. Так как 1v2 2 3 3RT / M , где M — молярная масса, получаемдля H2: 1v2 2 3 1930 м/с;для N2: 1v2 2 3 515 м/с;для O2: 1v2 2 3 480 м/с.Задача 3.6. Применение теоремы о равномерном распределении кинетической энергии и закона Дальтона.
Два теплоизолированных баллона со;единены короткой трубкой с краном (рис. 3.6). Вначале кран закрыт. В бал;лоне объемом V1 при температуре T1 находится n1 молей идеального газа,обладающего числом степеней свободы i1, а в баллоне объемом V2 при темпе;ратуре T2 — n2 молей идеального газа с числом степеней свободы i2.
Краноткрывают, и газы перемешиваются. Найти значения температуры и давле;ния для смеси газов после установления равновесия.Решение. В основу решения задачи положим:1) закон сохранения полной энергии газов до и после смешения: Eн = Eк;2) теорему о равнораспределении энергии по степеням свободы.До перемешивания энергия газов11Eн 3 N1 i1kВT1 4 N2 i2kВT2 ,22а после перемешивания11Eк 3 N1 i1kВT 4 N2 i2kВT .228412 1212 12МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХИз закона сохранения энергии, с учетом Nj == njNА, получаемT2(i1v1T1 1 i2v2T2 ).(i1v1 1 i2v2 )После смешения и установления равновесиядавление смеси газов равно сумме парциальныхдавлений смешанных идеальных газов (по закону Дальтона):p3Рис.
3.6Два сосуда, соединенные труб/кой с краном, находятся в адиа/батической оболочке. Сосудызаполнены идеальными газамиN1N21 2 12(1 2 12 )(i111T1 2 i2 12T2 )k T2k T3 1RT 3 R 1.V1 2 V2 BV1 2 V2 BV1 2 V2(V1 2 V2 )(i111 2 i2 12 )Ответ: T 3(i111T1 2 i2 12T2 )(1 2 12 )(i111T1 2 i2 12T2 ), p3R 1.(i111 2 i2 12 )(V1 2 V2 )(i111 2 i2 12 )Задача 3.7. Применение распределения Максвелла. Определить частотуударов w молекул азота о стенку сосуда при температуре T и концентрациимолекул n0. Азот считать идеальным газом.Решение. Распределение Максвелла определяет отношение среднего чис/ла молекул, обладающих определенными значениями скоростей, к полномучислу молекул. Поэтому при заданной концентрации n0 молекул идеальногогаза, используя различные записи распределения Максвелла, можно опре/делить концентрацию молекул, скорости которых лежат в определенноминтервале значений (табл.
3.3).123454647849747388964699389964889923454647798743649747897436934964691 2 3 4 5 6 2 7 898734574497478497473889869646994587849 4 93893!"9649923454647798743649747899112322324152112322324152112322324162728962822425211232232415211232232416282278227828962822422222212521123223241521123223241228224222327822896282242521425262524245272527252462822782278289628262278262896282242528626242652725272524621ГЛАВА 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА85Пусть ось ОХ декартовой системы коорди&нат перпендикулярна одной из стенок сосуда(рис. 3.7). Выделим на ней площадку площа&дью S. Рассмотрим молекулы, обладающие опре&деленной компонентой скорости (vx, vx + dvx) приvx > 0, которые испытывают соударение с этойплощадкой.
За время dt площадки S достигнутвсе молекулы, находящиеся в объеме dV = vxdt × S.Заметим, что часть молекул из объема dVРис. 3.7покидает его, не испытав соударения за времяМолекула, ударяющаяся о пло&щадку, летит слева направо. Ее dt с площадкой, из&за наличия компонент ско&скорость до соударения v и по& рости vy и vz. Однако на основании принципасле соударения v¢ лежит в пло& детального равновесия (согласно которому дляскости xyизолированных систем вероятность прямого пе&рехода между состояниями, возникающего при соударениях частиц, равнавероятности обратного перехода) из других частей сосуда в объем dV перехо&дят и сталкиваются с площадкой S в среднем столько же молекул, сколькоипокинуло этот объем. Поэтому можно считать, что все молекулы из объемаdV = vxSdt ударятся о площадку S.Концентрация молекул, имеющих скорость vx в интервале (vx, vx + dvx),определяется распределением Максвелла по компоненте скорости vx и равна(3.45) dn(vx) = n0f(vx)dvx.
Таким образом, о площадку S за время dt ударяет&ся dN(vx) = dn(vx) × (vxdtS) = (n0f(vx)dvx) × (vxdtS) молекул, имеющих скоростив интервале (vx, vx + dvx).Частота ударов (число ударов о единичную площадку за единицу време&ни) молекул, скорости которых лежат в интервале (vx, vx + dvx):dN (vx )(3.49)dw(vx ) 11 vx 2 dn(vx ) 1 vx n0 f (vx )dvx .dt 2 3Частота ударов о единичную площадку всех молекул с x&компонентамискорости в интервале 0 £ vx £ + ¥:1w 4 dw(vx ) 4 n0012 mvx2 3kBTmexpvx6 5 2k T 7dvx 4 n0 28m .28kBT 9B 0Полученный результат можно записать, используя значение средней ско&рости:k T n 1 v2w 3 n0 B 3 0 .(3.50)24m4Выражение (3.50) можно интерпретировать иначе:w2111000n0nn3v4 2 0 6 vf (v)dv 2 6 0 v 5 dP(v) 2 6 dw,444гдеdw 31 n4 v2dP(v) 3 1 n4 v2f(v)dv 3 14 vn(v)00(3.51)— частота ударов молекул, имеющих скорость в интервале (v, v+dv).86МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХИнтересно отметить, что если бы все молекулы имели одну и ту же ско"рость v, т.
е. dP(v) = 1, то частота ударов была бы w = n0v/4, а не w = n0v/6,как можно было бы предположить, основываясь на равноправности шестивзаимно перпендикулярных направлений движения молекул.Количественная оценка. Оценим среднее число молекул азота (как ос"новного компонента воздуха), ударяющихся о площадку S = 1 см2 при нор"мальных условиях. Средняя скорость молекул азота:3vN2 4 58 2 8,31 2 2738RT56 450 м/с.7M3,14 2 28 2 1013Число ударов молекул азота о площадку S = 1 см2 за одну секунду:11w 2 3 4 nL 5v63 4 2,68 2 1025 2 450 21014 7 3,0 21023 с 11 .44Ответ: w 3n0 1v2k T3 n0 B .424m3.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
