Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕМОЛЕКУЛЯРНОКИНЕТИЧЕСКОЙТЕОРИИ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ.УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯИДЕАЛЬНОГО ГАЗАЗадача 3.8. Определить давление идеального газа при температуре Т иконцентрации молекул n0.Решение. Давление — это отношение нормальной составляющей силы Fn,действующей на площадку, к величине ее площади S. Импульс силы возни"кает из"за передачи молекулами газа импульса площадке при упругих уда"рах молекул о площадку (pиc. 3.7).Направим ось ОХ перпендикулярно площадке с площадью S и рассмот"рим только те молекулы, которые имеют х"компоненту скорости в интервале(vx, vx + dvx). Одна молекула, имеющая х"компоненту скорости (vx, vx + dvx),при абсолютно упругом ударе о площадку изменяет свой импульс на величи"ну 2mvx. Поскольку частота таких ударов dw(vx) = vxn0f(vx)dvx (3.49), давле"ние, оказываемое на стенку молекулами со скоростями (vx, vx + dvx) и равноепередаваемому импульсу площадке S = 1 м2 за время dt = 1 c, записывается ввидеdp(vx ) 1 2mvx 2 dw(vx ) 1 2mvx 2 n0vx f (vx )dvx 1 2mvx2n0 f (vx )dvx .Учитывая весь спектр х"компоненты скоростей (vx > 0), имеем121031p 4 5 2mvx2 {n0dP(vx )} 4 2n05mvx2mvx2dP(vx ) 4 2n0.22(3.52)Посколькуmvy2mvx2mvz211,222ГЛАВА 3.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА87а следовательно,mvx2mv2,1322(3.52) принимает вид2mv22p 1 n01 n0 23пост 4.323Полученное уравнение связывает макроскопический параметр — давле1ние — со средней кинетической энергией поступательного движения моле1кул и называется основным уравнением молекулярнокинетической теории.Используя связь кинетической энергии поступательного движения мо1лекул идеального газа с температурой ámv2/2ñ = 3k BT/2, получаем уравнение состояния идеального газа — уравнение Клапейрона — Менделеева(в дальнейшем индекс 0 при концентрации не ставится):p 1 nkBT.(3.53)Уравнение состояния (3.53) может быть записано также в одном из сле1дующих видов:pV 1 NkВ или pV 1 2RT,(3.54)где N = nV — число всех молекул газа; n = N/NА — число молей газа в объе1ме V; R = NАkB — универсальная газовая постоянная; NА — число Авогадро.Ответ: p = nkBT.Выводы.1.
При заданных р и T в равных объемах любого газа содержится одина1ковое число молекул N = p/(kBT)V, т. е. концентрация молекул любого газаn = p/(kBT) одинаковая — закон Авогадро.2. При нормальных условиях (p = 1 атм = 101,325 кПа, T = 273,15 К) зна1чение концентрации молекул называется постоянной Лошмидта:nL = 2,6867×1025 м–3.(3.55)3. При заданных р и T моль любого газа занимает один и тот же объем.RTПри нормальных условиях Vm 22 22,41 3 1013 м3 /моль.pРис. 3.8В правой стенке сосуда,содержащего идеальныйгаз при температуре Т,имеется небольшое отвер1стие площадью å88Задача 3.9. Применение распределения Максвелла.
В сосуде, содержащем одноатомный идеальныйгаз при температуре Т, имеется небольшое отверстие(рис. 3.8), площадь которого S такова, что 1 значи1тельно меньше длины свободного пробега молекул.Поэтому можно считать, что при вылете молекул изсосуда не возникает гидродинамических газовых по1токов и распределение оставшихся в сосуде молекулостается изотропным и максвелловским.
Как меня1ется температура газа в сосуде по мере вылета моле1кул? Снаружи сосуда поддерживается вакуум.МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРешение. По мере вылета молекул энергия газа в сосуде уменьшается навеличину, равную энергии вылетевших молекул. А температура газа изме)няется так, как изменяется средняя энергия áeñin, приходящаяся на однучастицу в сосуде. Для одноатомного газа, находящегося в равновесии,3123 in 4 kBT. Поэтому следует вычислить среднюю энергию áeñex, приходя)2щуюся на одну вылетающую частицу, и сравнить ее с áeñin. Если áeñex = áeñin, тотемпература в сосуде не меняется, если áeñex > áeñin — температура понижает)ся, а если áeñex < áeñin — температура возрастает.За единицу времени вылетает (3.51)dNex 3 dw4 31 n4 v2dP(v)4 3 1 n4 v2f(v)dv4(3.56)молекул (поток молекул со скоростями (v, v + dv)), каждая из которых име)ет скорость (v, v + dv) и энергию mv2/2 (в соответствующем интервале значе)ний).
Поэтому уносимая этими молекулами за единицу времени энергия равнаdEex 31 mv2 2 4 51 n4 v2f(v)dv.2(3.57)В формулах (3.56) и (3.57) n — средняя концентрация молекул в сосуде вмомент времени, когда рассматривается вылет dNex молекул.Учитывая всевозможный спектр скоростей у вылетающих молекул, по)лучаем полное число молекул, вылетающих за одну секунду (полный потокмолекул):33nn1(3.58)Nex 4 8 dNex 4 8 5 v f (v)dv 4 5 8 vf (v)dv 4 n6v75;444001 2уносимую ими энергию (полный поток энергии):3Eex 4 7 dEex 4 701 2 1 23mv2nmn5 6 5 v f (v)dv 4 65 v3 f (v)dv248 7(3.59)0и среднюю энергию, приходящуюся на одну вылетающую молекулу (см.
табли)цу интегралов):3465 ex 7EexNex2k Tmm 1 m 277722 4v52 1 2k T8 vf (v)dv21 m 28 v3f (v)dvm0334v3 5B27 2kBT.(3.60)B0Таким образом, по мере вылета молекул температура газа в сосуде пони)жается.Уравнение энергетического баланса имеет вид:33k TN 1 kB (T 2 dT )( N 2 dN ) 3 2kBTdN,2 B2(3.61)где N — число молекул в сосуде в момент времени t.ГЛАВА 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА89Используя уравнение энергетического баланса (3.61), получим зависи0мость температуры от числа молекул в сосуде. Разделяя переменныеdT dN31a(3.62)TNи интегрируя, получаемT = T0(N/N0)1/3,где T0, N0 — температура и число молекул в сосуде в момент времени t = 0.Из соотношения (3.62) можно получить зависимость температуры от вре0мени.
Учитывая, что число молекул, покидающих сосуд за время dt:8kBTndN 1 2 Nex dt, а Nex 1 3 4v5 (3.47), где n 1 N / V и 4v5 1,46mполучаемdN1 263 Tdt,N(3.63)1 kBSR3— не изменяющаяся со временем величина.V 24m V 24MПодставляя (3.63) в (3.62), получаем уравнение:где 62 33dT1 263 Tdt,Tрешение которого имеет вид:T (t) 1T0.(1 2 3 T0 4 t)2(3.64)Количественную оценку проведем для азота, находящегося в сосуде объ0емом один литр при Т0 = 300 К.
Пусть S = 0,01 мкм2. Тогда T(t) = 300/(1 ++ 5,25×10–10t)2, то есть приблизительно через 25 лет температура уменьшит0ся в два раза.Ответ: температура газа в сосуде по мере вылета молекул понижается.3.5. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕБроуновское движение — это хаотическое (беспорядочное) тепловое дви0жение взвешенной в жидкости или газе броуновской частицы под действиемударов молекул окружающей среды. Броуновская частица имеет размеры, зна0чительно превосходящие размеры частиц среды (жидкости или газа), в кото0рой она находится.Причина броуновского движения — флуктуации силы, действующей наброуновскую частицу со стороны молекул среды, которые возникают в ре0зультате флуктуаций суммарного импульса, передаваемого молекулами сре0ды, ударяющимися о броуновскую частицу.
Вместе с молекулами среды бро0уновская частица образует единую термодинамическую систему.Броуновская частица совершает как поступательное, так и вращатель0ное движение. Рассмотрим только поступательное движение, фиксируя по090МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХложение центра масс частицы через рав ные промежутки времени Dt. ИнтервалDt выберем малым, но в то же время до статочно большим, чтобы движение ча стицы в каждом интервале Dti не зави село бы от ее движения в предыдущеминтервале Dti–1.Смещение частицы за i й отрезоквремени Dt характеризуется векторомDri (рис. 3.9). Через N измерений, т. е.через время t = N × Dt, броуновская ча стица удалится от своего первоначаль ного положения на расстояние, равноедлине вектораNrN 1 3 2ri .i11Рис.
3.9«Траектория» броуновской частицы изо бражена в виде ломаной линии, образо ванной векторами смещений Dri части цы за равные промежутки времени Dt(сплошная линия) и Dt/2 (пунктирнаялиния)Векторы Dri образуют ломаную ли нию, но эта линия не является траекто рией броуновской частицы. Если бы фиксация центра масс частицы прово дилась через интервалы времени Dt/2, то «траектория» получилась бы иной(пунктирная линия на рис.
3.9).Вопрос для самопроверки. Является ли движение какой либо выделен ной молекулы газа броуновским?Ответ: хотя движение молекулы газа, как и движение броуновской ча стицы, описывается ломаной линией, форма ломаной линии молекулы независит от длины интервалов наблюдения, в отличие от линии движенияброуновской частицы. Ломаная линия является траекторией движения мо лекулы газа, на каждом прямолинейном отрезке линии молекула движетсяравномерно и прямолинейно. Узлы ломаной — это точки, в которых выде ленная молекула испытывает соударения с другими молекулами газа.
Из лом линии у молекулы не связан с флуктуациями, а описывается законамисоударений (в частности, упругих соударений). Кроме того, и по своим раз мерам молекула газа не является броуновской частицей. Поэтому движениемолекулы газа является хаотическим, но не броуновским.Задача 3.10. Покажите, что средний квадрат расстояния 12rt2 3, прой денного броуновской частицей за время t, пропорционален t. Используйтеметод разбиения времени наблюдения t на независимые интервалы движе ния Dt.Решение.
Так как движение частицы вдоль оси ОХ одинаково вероятно вобоих направлениях, то áDxiñ = 0, и среднее смещение частицы вдоль оси ОХв течение N интервалов Dt также равно нулю:23xN 4 1ГЛАВА 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛАNNi 11i 115 3xi 1 5 23xi 4 1 0.91Средний квадрат смещения частицы вдоль оси ОХ:2N32 6145xN7 5xi 89 i 1121N N 5xi 5xji 11 j 11N N1 45xi 5xj 6.i 11 j 11Поскольку движения в разные интервалы времени независимые, при i ¹ jáDxiDxjñ = áDxiñáDxjñ = 0.ПоэтомуN2 4123xN7 23xi2 4 1 N 5 62 ,i 11где учтено, что на всех интервалах времени 12xi2 3 4 52 .Учитывая, что N = t/Dt, получаем:22 4 5 23x2 4 5 1 6 t.23xNt3tФормула (3.65) аналогична формуле, полученной Эйнштейном:12xt2 3 4 2Dt,(3.65)(3.66)где D — коэффициент диффузии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
