Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В данном случаеD212.23t2 5 2y2 5 2z2 3 4 312x2 3,Поскольку 12rN2 3 4 12xNNNNN34rN2 5 1 37 34xi2 5 1 3N22 1 3i 11226 t 1 6 Dt.4t(3.67)Заметим, что формулы (3.65) и (3.67) справедливы для описания хаотиCческого (случайного) движения любой частицы при условии независимостиее движения на какомCлибо интервале Dti от движения на предыдущем инCтервале Dti–1. Например, она применима для описания движения одной измолекул жидкости.Задача 3.11. Броуновская частица находится в среде с коэффициентомсил вязкого трения b. Температура системы Т. Определите коэффициент дифCфузии D, входящий в формулу (3.66).
Хаотические силы, действующие наброуновскую частицу со стороны молекул среды, можно представить каксумму сил: силы вязкого трения и случайной силы f.Решение. Запишем уравнение движения броуновской частицы вдольоси ОХ:mx² = –bx¢ + fx,(3.68)где m — масса броуновской частицы; bx¢ — сила вязкого трения; fx — компоCнента случайной силы вдоль оси ОХ.Для нахождения 1 x2 2 3 14xt2 2 умножим уравнение (3.68) на х и усреднимпо ансамблю броуновских частиц. При этом учтем, чтоxx² = (x2/2)² – (x¢)2 и xx¢ = (x2/2)¢.92МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХПолучаем уравнение (3.68) в видеmá(x2/2)²ñ – má(x¢)2ñ = –bá(x2/2)¢ñ + áfxxñ.(3.69)áx2ñДляиспользуем формулу (3.66), а для среднего квадрата Х%компо%ненты скорости á(x¢)2ñ — теорему о равномерном распределении энергии:1mvx2 /22 3 kBT /2.
Поскольку координата х частицы и fx являются независи%мыми случайными величинами, áfxxñ = 0. В результате уравнение (3.69) при%нимает вид: 0 – kBT = –bD + 0. Таким образом,D1kBT.b(3.70)Для среднего квадрата смещения (3.67) броуновской частицы получаем1rt2 2 36kBTt.b(3.71)Замечания. 1. Если моделировать броуновскую частицу шариком с радиу%сом R, то коэффициент силы вязкого трения в жидкости может быть выражениз формулы Стокса f = 6phRv, где h — коэффициент вязкости жидкости:b = 6phR. В этом случае имеемk T1rt2 2 3 B t.(3.72)45RИз (3.72) следует, что перемещение шарообразной броуновской частицыв жидкости за время t зависит от вязких свойств и температуры жидкости, атакже от радиуса частицы и не зависит от ее массы.2.
Формулы (3.71) и (3.72) соответствуют наиболее вероятному смеще%нию для ансамбля частиц. Число частиц в ансамбле, имеющих заданное сред%неквадратичное смещение, описывается распределением Гаусса с максиму%мом, задаваемым формулами (3.71) и (3.72).Задача 3.12. Закон равномерного распределения кинетической энергиипо степеням свободы. На невесомой нерастяжимой нити подвешен малень%кий шарик (рис. 3.10). Длина нити 3 см, масса ша%рика 30 мг. Маятник может совершать колебанияв одной плоскости.
Найти среднее флуктуацион%ное отклонение маятника при температуре 27°С.Решение. Маятник можно рассматривать какстатистическую систему (броуновскую частицу),находящуюся в тепловом равновесии с окружаю%щей средой при температуре T. Система (броунов%ская частица) имеет одну степень свободы j — от%клонение маятника от положения равновесия. Сме%щение из положения равновесия j — величинаРис. 3.10случайная, так как является результатом действия В термостате при темпера%случайной силы, возникающей за счет беспорядоч% туре Т на невесомой нерас%тяжимой нити подвешен ша%ных случайных ударов молекул окружающей сре% рик.
Масса шарика m, дли%ды о маятник. В результате флуктуации этой силы на нити lГЛАВА 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА93возникает дрожание маятника — колебательные движения. В среднем ájñ = 0,а в каждый фиксированный момент времени j может отличаться от среднегозначения из1за флуктуации:221 3 4(1 5 416 )2 6 3 412 6 7 0.Для определения флуктуационного отклонения маятника 122 3 исполь1зуем теорему о равномерном распределении энергии в статистической систе1ме. Энергия статистической системы (броуновской частицы массы m) естьэнергия математического маятника:23J11 2ml2 11 24 Upot 34 mgl(1 5 cos 1).22При малых отклонениях (cos j ~ 1 – j2/2) колебания гармонические. Учи1тывая, что средние значения кинетической и потенциальной энергии гармо1нических колебаний равны, и применяя теорему о равнораспределении энер1гии по кинетическим степеням свободы, имеемk Tmgl12ml2 11 222 B222и окончательно получаем232 4 5kBT,mglkBT6 2,2 7 1018 рад 6 1,3 71015 град.mgl232 4 5232 4 5 kBT /(mgl) 6 1,3 7 1015 град.Ответ:ЗАДАЧИДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯЗадача D3.1.
Определите, с какой вероятностью скорость молекулы иде1ального газа1) имеет величину в интервале (v, v + dv) и направлена под углом (q, q ++ dq) к оси OZ, а ее проекция на плоскость XY составляет угол (j, j + dj)с осью ОХ;2) имеет величину в интервале (v, v + dv) и направлена под углом (q, q + dq)к оси OZ.Ответ:3/2m 21) dP(v, 3, 4) 5 1892 kB T 3/2m 25 189 2kBT 941 mv2 22exp 8 69 7 sin 3d3d4v dv, f (v, 3, 4) 5 2kB T 1 mv2 22exp 8 69 7 sin 3v ; 2kBT МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ3/2m 42) dP(v, 5) 6 391 28kBT 23/2m 46 39821 kBT 23 mv2 42exp 9 7 28 sin 5d5v dv, f (v, 5) 61 2kBT 23 mv2 4 28 sin 5v2 .exp 9 71 2kBT 2Задача D3.2. Идеальный газ имеет молярную массу М и находитсяпри температуре Т.
Найти среднее значение: 1) x&компоненты скоростиávxñ, 2) модуля x&компоненты скорости á| vx |ñ и 3) обратной скорости моле&кул á1/vñ.Ответ: ávxñ = 0,3| vx |4 501121008 (2vx )f (vx )dvx 6 8 vx f (vx )dvx 5 28 vx f (vx )dvx 52RT 12M5,.7Mv7RTЗадача D3.3. Запишите функцию плотности вероят&ности, с которой скорость молекулы идеального газавдоль выделенного направления (например, ОХ) имеетзначение vx, а модуль скорости в перпендикулярном на&правлении — v^.
Температура газа Т, масса молекул m.Чему равно относительное число молекул газа, у кото&рых скорости в перпендикулярном направлении лежатв интервале (v^, v^ ± dv^)?Ответ: (рис. D3.1)3/2m 8f (vx , v1 ) 9 7 2kBT Рис. D3.15 mvx2 4 mv12 6exp 32v1 ;2kBT 25 mv12 6N (v1 , v1 v1 )mexp 39 (f (vx , v1 )v1 ) dvx 9 v1 v1 .N0kBT 2kBT 32Задача D3.4. Найти относительное число молекул идеального газа, ско&рости которых отличаются от наиболее вероятной скорости не более чем наa = 1%.2N 0,08134 0,017.Ответ:N0e 5Задача D3.5.
При какой температуре плотности вероятности, с которы&ми молекулы кислорода имеют скорости v1 = 300 м/с и v2 = 600 м/с, одина&ковы?M(v22 1 v12 )3 380 К.Ответ: T 24R ln(v2 / v1 )Задача D3.6. Во сколько раз изменилась температура, если максимумфункции плотности распределения молекул идеального газа по скоростямуменьшился в a раз?Ответ: T2/T1 = a2.ГЛАВА 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА95Задача D3.7. Чему равно отношение числа молекул азота, x'компонентаскорости которых лежит в интервале (315±0,3) м/с, к числу молекул с x'ком'понентой скорости в интервале (515±0,5) м/с при температуре Т = 280 К?Ответ:2 M (vx21 1 vx22 ) 3 4vx14N15 exp 718 4v 6 0,22.4N22RT9x2ЧАСТОТА УДАРОВ О ПЛОЩАДКУЗадача D3.8.
В закрытом сосуде находится азот при температуре T = 27°Си давлении p = 1 атм. Какое число DN молекул азота, имеющих компонентускорости, перпендикулярную стенке, v^ ³ v0 = 1000 м/с, ударяется ежесекунд'но о выделенную площадку на этой стенке? Площадь выделенной площадкиS = 1 cм2.13 Mv02 4p5Ответ: 6N 7 5 p vx f (vx )dvx 727expkBT 8 2RT 92mkBTv07105 10263 28 1023106 4exp 82 4 107.3232 2 8,31 300 92 28 10 300/(6 10 )Задача D3.9.
Два сосуда имеют одну общую стенку. В обоих сосудах на'ходится идеальный газ при температуре Т. Давление в сосудах р1 и p2 < p1поддерживается постоянным. В стенке'перегородке имеется малое отверстие,площадь которого S. На какое число молекул DN за одну секунду возрастаетколичество газа в сосуде с меньшим давлением? Какая энергия DE перено'сится за секунду? Масса молекул m.Ответ:3N12 14 n1 5v1 6 4 p1 (27mkBT ) 11/2 , 3N 4 3N12 1 3N21 4 8 9 ( p1 1 p2 )(27mkВT ) 11/2 ;8423E122kBT1mv24 (n1f (v)dv)v 94 p1;4 287m03E 4 3E12 1 3E21 4 8 9 ( p1 1 p2 )2kBT 3E4 2kBT 3 kBT.,7m3N2УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯЗадача D3.10. Газообразное органическое вещество, имеющее формулуСnH2n+2, находится в объеме V = 1 л под давлением р = 0,35 МПа при темпе'ратуре Т = 800 К.
Масса вещества m = 0,842 г. Определить химическую фор'мулу газа.Ответ: n 3 1 15 mRT 4 2 26 3 1, CH4 .14 7 pV8Задача D3.11. В вертикальном теплоизолированном цилиндрическом со'суде, имеющем высоту Н и площадь торцевых поверхностей S, находитсяидеальный газ под давлением р.
Молярная масса газа М. Температура газа96МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХлинейно возрастает от значения Т1 у нижнего торца цилиндра до значения Т2у его верхнего торца. Определить изменение плотности газа с высотой и мас)су газа в сосуде.pM(SH)ln(T2 T1 )pMH, m2.Ответ: 1(z) 2R [T1 ( H 3 z) 4 T2 z]R(T2 3 T1 )Задача D3.12. В сосуде объемом V = 10 л находится смесь азота и кисло)рода, причем по числу молекул азот составляет a = 0,7 часть смеси. Темпера)тура смеси Т = 300 К, давление р = 1 атм. Определить среднюю молярнуюмассу и полную массу газа.pV1 M2 7 12 г.Ответ: 1 M2 3 4MN2 5 (1 6 4) MO2 3 29,2 г/моль, m 3RTЗадача D3.13.
Два горизонтально расположенных цилиндрических сосу)да соединены друг с другом так, как показано на рис. D3.2. В каждом изцилиндров под поршнем находится идеальный газ при температуре Т0. Чис)ло молей в широком цилиндре n1, в узком — n2. Система находится в равно)весии. Поршни обоих цилиндров жесткосвязаны друг с другом нетеплопроводящимстержнем и способны перемещаться без тре)ния. Площади поршней S1 и S2 < S1. Темпе)ратура газа в широком цилиндре повышает)ся до Т1 = 2Т0. Определите, во сколько разувеличится давление в узком цилиндре, еслиРис.
D3.2его температура не изменяется.21p1 2 T / T 3 22413.Ответ: 2 4 1 1 021 3 2221 3 22p2Задача D3.14. В объеме V = 10 л при температуре Т = 1500 К находитсяm = 2,8 г азота N2. Часть молекул a = 0,2 диссоциировала на атомы. Опреде)лить, насколько изменилось давление газа в результате диссоциации.m 3RT 2,8 0,2 2 8,31 2 15002526 0,25 атм.Ответ: 4p 5M V2810 2 1013Задача D3.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
