Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 21
Текст из файла (страница 21)
При низких температурах a 2 1 1 1, все молекулы находятся в нижkBT1V2 2 kBT6 0 (рис. 4.10) инем объеме, 34 пот 5 6 1 7 eV1133V 2 4 35 E6 7 N0 kBT 8 1 9 2 e kBT N0 kBT.V12 211 1, молекулы распределены рав2. При высоких температурах a 2kBTV2(рис. 4.10) иномерно по всему объему, 12 пот 3 4 5V1 6 V231 E2 3 N0 kBT 4 5 6 1n2 V2 ,2— средняя концентрация молекул.
Система стремится к рав-N0V1 4 V2номерному распределению частиц в объеме V1 + V2:где 1n2 3N1 ® ánñV1, N2 ® ánñV2.Число частиц в сосудах:0kBT V 3121N0 Ae kBT V2 .N1 3 N0dP(V1 ) 3 N0 AeN2 3 N0 dP(V2 ) 31N0 AV1 ,Отношение числа частиц в сосудах:1N2 V2 2 kBT3 e.N1 V1Отношение концентраций молекул в сосудах:12n23 e kBT .n1(4.31)Отношение давлений определяется отношением концентраций:p2 n2kBT n21 3444 exp 25.68 kBT 79p1 n1kBT n1Ответ:(4.32)112 32 41135 E6 7 N0kBT 8 N0 2 9 V2 e kBT V1 8 V2 e kBT ,22N2 V2 1 kBT p2 n22 4777 exp 31,.e kBT N1 V1p1 n1ГЛАВА 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА109Рис.
4.11(а)(б)(а) В квантовых генераторах заселенностьверхнего уровня Е2 выше, чем нижнего Е1:N2 > N1 (инверсная заселенность), что со*ответствует отрицательным значениям аб*солютной температуры Т < 0 К. (б) Энер*гетический спектр возможных значенийэнергий электронов в полупроводниках.При температуре Т = 0 К нижняя валент*ная зона разрешенных состояний полно*стью заполнена электронами (аналог объе*ма V1 в задаче), а верхняя зона проводимо*сти (аналог объема V2 в задаче), отделеннаяот валентной зоны энергетической щелью(интервалом запрещенных значений энер*гии), электронами не заселена.Замечания.1.
При любых температурах n1 ³ n2. Однако в квантовых генераторах реа*лизуется ситуация, когда заселенность верхнего уровня выше, чем нижнегоn2 > n1 (инверсная заселенность), что соответствует отрицательным значе*ниям абсолютной температуры (рис. 4.11а).2. Для газов комнатная температура является высокой (как показалиоценки в задаче 4.1: D/kВT = mgh/kВT » 10–4= 1).
Переход от низкотемпера*турной зависимости к высокотемпературной должен происходить уже приTk » 10–4 × 300 К = 0,03 К.3. В полупроводниках с собственной проводимостью при температуреТ = 0 К валентная энергетическая зона полностью заполнена и отделена отполностью свободной зоны проводимости энергетической щелью Eg — за*прещенными значениями энергии (рис. 4.11б). Электронный газ в полупро*водниках можно рассматривать аналогично идеальному газу в рассмотрен*ной выше задаче, где роль объемов V1 и V2 играют валентная зона и зонапроводимости.
Энергия D «активации» процесса переброса электрона из ва*лентной зоны в зону проводимости отсчитывается от химического потенциа*ла m электронной системы в полупроводнике D = E – m (подробнее о химиче*ском потенциале см. ниже п. 8.3). При отличных от нуля температурах веро*ятность появления электронов в зоне проводимости (и такого же количестванезаполненных состояний (дырок) в валентной зоне) описывается распреде*лением Больцмана:3 E124dP( E) 5 A exp 6 17.8 kBT 9(4.33)Химический потенциал равен изменению энергии системы при измене*нии числа частиц системы на единицу при неизменном объеме и энтропии:m = dE/dN. В случае полупроводника химический потенциал вычисляетсякак полусумма двух энергий:3 4 1 (56 1 1 | 56 2 |),2где De+ — увеличение энергии электронной системы полупроводника привнесении дополнительного электрона, а | De– | — энергия, уносимая из систе*мы при изъятии одного электрона.110МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХПри Т = 0 К, когда валентная зона полностью заполнена, вносимый из)вне электрон может занять наинизшее свободное энергетическое состояние,соответствующее дну зоны проводимости Ес.
Удалить электрон можно толь)ко из валентной зоны. При этом он уносит энергию Ev, соответствующуюпотолку валентной зоны. Таким образом, химический потенциал равен113 4 (56 1 1 | 56 2 |) 4 ( Ec 1 Ev ).22(4.34)Уровень химического потенциала в полупроводнике при Т = 0 К распо)ложен ровно посередине запрещенной зоны (штрихпунктирная линия нарис. 4.11б).Таким образом, энергия активации в полупроводниках равна D = Ec – m == (Ec – Ev)/2 = Eg/2. В обычно используемых полупроводниках ширина за)прещенной энергетической зоны составляет 10–1эВ < Eg < 1 эВ, и критиче)ская температура 103 К < Tk = Eg/(2kB) < 104 К. Таким образом, даже при ком)натной температуре полупроводники с энергетической щелью Eg > 100 мэВ »» 10–20 Дж находятся в низкотемпературной области, когда число электро)нов в нижней (валентной) энергетической зоне N1 » N0, а в верхней — экспо)1 E 2ненциально мало: N2 3 N0 exp 5 4 g 6.
Следовательно, собственная электро)7 2kBT 8проводность полупроводников при низких температурах очень мала, так какона определяется низкой концентрацией электронов в зоне проводимости инебольшим числом свободных мест («дырок») в валентной зоне.4. Отношение концентраций (4.31) характерно для всех систем, имею)щих два энергетических состояния Е1 и Е2, разделенных энергетическимбарьером D = E2 – E1. Переход из низкоэнергетического состояния E1 в вы)сокоэнергетическое E2 требует затрат энергии — энергии активации D. При)мерами таких активационных процессов являются: процесс переноса им)пульса (вязкость) в жидкости, процесс диффузии в жидкости, изменениеконформации сложных молекул и др.Примечание.
Один электронвольт 1 эВ = eU при U = 1 В, где е — зарядэлектрона. Таким образом 1 эВ = 1,6×10–19 Дж. Этой энергии соответствует1 эВабсолютная температура T 11 11600 К 2 104 К.kB3адача 4.5. Атмосфера Земли. Будем считать, чтотемпература воздуха не изменяется с высотой (изотермическая модель атмосферы), а воздух представ)ляет собой механическую смесь идеальных газов.1. Определить изменение состава воздуха с вы)сотой при постоянной температуре Т.2. Найти среднюю потенциальную энергию áeпотñмолекулы газа в изотермической земной атмосфе)ре при условии однородности поля силы тяжести.3. Оценить полное число молекул в изотерми)ческой атмосфере.ГЛАВА 4.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНАРис. 4.12Ось координат ОZ направ)лена перпендикулярно по)верхности Земли (RЗ — ра)диус Земли). Темной поло)ской толщиной dz выделенслой атмосферы1114. Оценить высоту изотермической атмосферы, т. е. толщину изотермического слоя атмосферы, при постоянной плотности воздуха, равной плотности воздуха n(0) у поверхности Земли.5.
Оценить время рассеяния атмосферы (время, за которое число частицубывает в е раз). Атмосферу считать бесконечно разреженной с максвелловским распределением скоростей.Решение. Направим ось OZ перпендикулярно поверхности Земли вверх,начало отсчета z = 0 находится на поверхности Земли.В рамках применимости модели идеальных газов распределение молекул, имеющих массу m, по высоте не зависит от наличия молекул другоймассы.
Вероятность нахождения молекулы на высоте z описывается распределением Больцмана:mgz 2dPm (z) 3 A 4 exp 1854 46(RЗ 7 z)2 dz, kBT 9(4.35)где 4p(RЗ + z)2dz — объем сферического слоя атмосферы на высоте z; RЗ —радиус Земли.Если полное число молекул с массой m обозначить N0m, то на высоте zнаходится Nm(z) » N0mdPm(z) молекул с концентрациейnm (z) 3Nm (z)mgz 2mgz 23 N0m A exp 1543 nm (0)exp 154.47(RЗ 8 z)2 dz9 kBT 69 kBT 6(4.36)Коэффициент перед экспонентой nm(0) равен концентрации молекул смассой m у поверхности Земли:nm(0) » N0m × A.(4.37)1. На рис.4.13 представлены зависимости от высоты концентрации молекул, имеющих разные массы m1 < m2 (см. (4.9) и (4.36)):1 m gz 21 m gz 2n1 (z) 3 n1 (0)exp 54 1 6 , n2 (z) 3 n2 (0)exp 54 2 6 .7 kBT 87 kBT 8Изменение отношения концентраций x(z) частиц с высотой связано сDm = m2 – m1:n (z)1mgz 3(4.38)4(z) 5 15 4(0) 6 exp 27.n2 (z)9 kBT 8Рис. 4.13Изменение с высотой z концентрации молекул, имеющих разные массы m1 < m2, при температуре Т112МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХПри постоянной Т с увеличением высоты происходит обеднение воздухатяжелыми молекулами.
Оценим высоту z*, на которой концентрации моле(кул азота N2 и гелия Не могли бы быть одинаковы, если у поверхности Землиn2(N2, 0) » 78%, n1(He, 0) » 5,2×10–4%:5(z1 ) 6 1 6где DM = NADm.Из (4.39) получаемz1 2n1 (He,0)3 2Mgz1 4,7 exp 8n2 (N2 ,0) RT 9(4.39)n (N ,0)RTln 2 23 124 км.4Mg n1 (He,0)Прежде чем определить значение константы А в распределении молекул,обратим внимание на степень экспоненты в распределении Больцмана (4.35):mgz 1 mgRЗ 2 z3.kBT 46 kBT 57 RЗДля средней молярной массы молекул воздуха M = 29 г/моль, и при тем(пературе Т = 273 К получаем:mgRЗ zMgRЗ z 29 2 1013 2 9,8 2 6400 2 103 zz344 800 .kBT RЗRT RЗ8,31 2 273RЗRЗЭто означает, что вероятность имеет существенные значения только дляz = RЗ, и в этом случае можно положить(RЗ 1 z)2 2 RЗ2 .Распределение (4.35) принимает вид:mgz 2dPm (z) 3 A 4 exp 1754 46RЗ2dz.9 kBT 8(4.40)1Константа А находится из условия нормировки 3 dPm (z) 2 1:A 3 44RЗ2A110kBT 2 xe dx 5 1;mg 60mg.kBT 42RЗ2(4.41)Окончательно получаем для вероятности:dPm (z) 3mgmgz 2exp 514dz,kBT7 kBT 68(4.42)а для концентрации:mgz 2nm (z) 3 n(0)exp 154.7 kBT 68ГЛАВА 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
