Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Теплоемкость еди%ницы массы вещества называется удельной теплоемкостью и в дальнейшемобозначается как1Q1C22 C.(5.14)mdT m sНаиболее часто используется теплоемкость одного моля вещества (в даль%нейшем записывается без индексов):C21Q 12 C 2 MC,3dT 3 s(5.15)где m — масса вещества; n — число молей вещества; М — молярная масса.Зависимость теплоемкости от температуры — это уникальная ха%рактеристика каждого индивидуального вещества.
На основании этой зави%симости можно сделать выводы о строении молекул (числе их степеней сво%боды), их взаимодействии и энергии взаимодействия атомов в молекулах.С ростом температуры постепенно возбуждаются новые степени свободы мо%лекул (колебательные и вращательные), на которые также идет теплота, по%этому теплоемкость возрастает.К термическим коэффициентам относятся коэффициент теплового рас%ширения, коэффициент сжимаемости и коэффициент упругости.Коэффициент теплового расширения:121 dV.V dTВ частности, изобарический коэффициент теплового расширения 4 p 53V 4 3T 5 3p1 3V5с учетом равенства6 71 (5.4) можно записать3T p 8 3p 9V 3V TV 3T p1 21 21 2в виде:4p3p131 3V1 T25 1 2 56V 3TV 3p1 3V 2V.(5.16)pTДля веществ, находящихся в конденсированном состоянии (твердых ижидких), коэффициент теплового расширения:1 dV1 1.V dTКоэффициент теплового расширения человеческого тела очень мал и непревосходит ap £ 10–4K–1.Коэффициент сжимаемости:1 dV.123V dpВ частности, коэффициент изотермической сжимаемости:124T 5 61 2 1V 3,V 79 1p 8TГЛАВА 5.
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ(5.17)127адиабатической сжимаемости:4S 5 6Коэффициент упругости:4V 51 2 1V 3.V 79 1p 8S(5.18)1 2.1 3pp 3TVИз%за наличия равенства (5.4) коэффициенты изобарического расшире%ния, изотермической сжимаемости и упругости связаны друг с другом соот%ношением1p2 p.(5.19)3T 4V5.4. ТЕПЛОЕМКОСТЬ И СОСТАВЛЯЮЩИЕЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА В ПРОЦЕССАХС ИДЕАЛЬНЫМ ГАЗОМВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯВ самом общем случае энергия сложной молекулы включает в себя кине%тическую энергию поступательного движения (число степеней свободы iп = 3),кинетическую энергию вращательного движения (полное число вращатель%ных степеней свободы iвр) и суммарную энергию: кинетическую и потенци%альную, приходящуюся на каждую колебательную степень свободы (полноечисло колебательных степеней свободы iкол). При гармонических колебани%ях для каждой колебательной степени свободы средняя потенциальная энер%гия áeпотñ равна средней кинетической энергии áeкинñ.
Поэтому на основаниитеоремы о распределении кинетической энергии по степеням свободы можносчитать, что на каждую колебательную степень свободы в среднем приходит%ся энергия, равная áeколñ = 2(kВT/2) = kВT. Если обозначить полное число сте%пеней свободы молекулы i = iп + iвр + 2iкол, то средняя энергия, приходящая%ся на одну молекулу идеального газа, равнаi123 4 kBT.(5.20)2Так как в модели идеального газа энергия взаимодействия молекул другс другом отсутствует, внутренняя энергия U(T) равна сумме средних энергийвсех N молекул:iU 1 N 234 1 U(T ) 1 NkВT.2(5.21)Из (5.21) следует, во%первых, что внутренняя энергия U(T) идеальногогаза зависит только от температуры, так как не зависит от взаимодейст%вия молекул друг с другом, т.
е. от расстояния между молекулами, и какследствие — не зависит от занимаемого газом объема и от давления.Независимость внутренней энергии от объема и уравнение состояния вформе уравнения Клапейрона — Менделеева (3.54) служат основными при%знаками идеальности газов. Во%вторых, знак изменения внутренней энергии128МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХDU идеального газа в каком!либо процессе однозначно определяется знакомизменения температуры DT: при нагревании (DT > 0) внутренняя энергияувеличивается (DU > 0), при охлаждении (DT < 0) — уменьшается (DU < 0),а в изотермическом процессе (DT = 0) — не изменяется (DU = 0).РАБОТАТак как всегда давление p > 0, знак работы1A12 2 4 3A 2V24 pdVV1определяется знаком DV: при расширении (DV > 0) работа положительна(DA > 0, газ совершает работу), при сжатии (DV < 0) работа отрицательна(DA < 0, работа совершается над газом), в изохорическом процессе DA = 0.ТЕПЛОТАКак будет показано ниже, знак теплоты в равновесных процессах такжеможно связать со знаком изменения одного из параметров состояния (энтро!пией).
Кроме того, знак теплоты можно определять графически, изображаяна p–V диаграмме наряду с заданным процессом несколько адиабатическихпроцессов (см., например, рис. 6.11, где два изображенных адиабатическихпроцесса обозначены буквами S1 и S2). На участках исследуемого процесса,где в ходе процесса происходит переход с нижней на верхнюю адиабату (с S1на S2), газ получает теплоту (DQ12 > 0). На тех участках процесса, где проис!ходит переход с верхней на нижнюю адиабату, газ отдает теплоту (DQ23 < 0).Для адиабатических участков процесса DQ31 = 0.ТЕПЛОЕМКОСТЬПо определению молярной теплоемкости газа C = dQ/dT c учетом I нача!ла термодинамики имеем:2Q dU 1 pdVC33.(5.22)dTdTТеплоемкость идеального газа в изохорическом (V = const) процессеCV 43Q1 dT2V4dU(T )dT(5.23)является одной из важнейших характеристик газа, так как связана с числомвозбужденных (действующих при данной температуре) степеней свободымолекул, поскольку для одного моля U 1 i NA kBT 1 i RT (5.21):22dU i .(5.24)CV 11 RdT 2Используя (5.23) и (5.22) для теплоемкости идеального газа в произвольном процессе, получаем:C21Q dU pdVdV232 CV 3 p.dT dT dTdTГЛАВА 5.
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ(5.25)129Задача 5.3. Сравните теплоемкости идеального газа CV (в изохорическомпроцессе) и Cp (в изобарическом процессе).Решение. Из уравнения (5.25) для молярной теплоемкости в изобариче3ском процессе имеем3V.(5.26)Cp 4 CV 5 p3T p3VR4 .Из уравнения состояния идеального газа3T p pОтсюда получаем связь молярных теплоемкостей CV и Cp:1 21 2Cp = CV + R(5.27)— уравнение Майера.Поскольку для веществ, находящихся в конденсированном состоянии1 3V(твердых и жидких), коэффициент термического расширения 4 51 1,V 3T pдля них при небольших давлениях можно считать Cp » CV.1 2Задача. 5.4.
Соотношение (5.25) удобно использовать для вычислениятеплоемкости идеального газа в процессе, заданном в V–T3параметрах, таккак в уравнение входит производная dV/dt вдоль кривой процесса. Получи3те выражение для вычисления теплоемкости идеального газа в процессе,заданном в р–Т3переменных.Решение.
Полный дифференциал давления, записанный через (V, Т) пе3ременные,3p3p(5.28)dp 4dT 5dV .3T V3V TДля моля идеального газа из уравнения состояния имеем1 21 33Tp 2V4RиV1 21 33Vp 2T45pRT45 .VV2(5.29)С учетом (5.29) из (5.28) находим dV/dT для данного процесса:dV dp / dT 1 (dp / dT )V (dp / dT ) 1 R / V221 p/VdT(dp / dV )Tи получаем выражение для теплоемкости:C 1 CV 2 pdpdpdVRT dp1 CV 3 V2 R 1 Cp 3 V1 Cp 3,dTdTdTp dT(5.30)где dp/dT берется вдоль линии процесса.dpRT dp.Ответ: C 1 Cp 2 V1 Cp 2dTp dTЗадача 5.5. Теплоемкость политропического процесса.
Из определениятеплоемкости как дифференциальной характеристики процесса следует, чтов ходе процесса теплоемкость в общем случае изменяется. В идеальном газемогут протекать процессы, называемые политропическими, в ходе которых130МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХтеплоемкость не изменяется. В частности, к политропическим процессамотносятся изохорический и изобарический процессы, рассмотренные выше.Получите уравнение политропического процесса в p–V*, T–V* и p–T*пара*метрах, считая известными теплоемкости газа в изохорическом CV, изобари*ческом Cp и заданном политропическом С процессах.Решение. Используем для теплоемкости идеального газа в произвольномdV .
Второе слагаемое, связанное спроцессе соотношение (5.25) C 1 CV 2 pdTуравнением процесса, в общем случае содержит три изменяющихся парамет*ра: p, V и T. Оставим два параметра: V и T. Используя уравнение состояния иуравнение Майера (5.27), выражаем давление через V и T:p 1 p(V , T ) 1RTT1 (Cp 2 CV ) .VVТогда уравнение (5.25) принимает вид:C 1 CV 2 (Cp 1 CV )T dVV dTи решается методом разделения переменных:(C 1 CV ) dT 2 (Cp 1 CV ) dV .TVВведем для константы (Cp – CV)/(C – CV) обозначение11n 2Cp 1 CV,C 1 CV(5.31)где n называется показателем политропического процесса (показателемполитропы):C 1 Cp.n2C 1 CVИнтегрируем:ln T = (1 – n)ln V + constи получаем уравнение политропического процесса в T–V*параметрах:TVn–1 = const.(5.32)Используя уравнение состояния, можно записать уравнение политропычерез другие пары переменных:pV n 1 const;(5.33)pT(n–1)/n = const.(5.34)Показатель политропы может изменяться в широких пределах –¥ < n < + ¥.Зависимость теплоемкости от показателя политропы n находим из (5.31):n12,(5.35)C 3 CVn 11ГЛАВА 5.
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ1311 2 3 4 5 6 2 7 89712345267893355868595587818182812396789712754578973312336789712581234567897Рис. 5.1Молярная теплоемкость С, де'ленная на R, идеального одно'атомного газа в политропиче'ских процессах в зависимостиот показателя политропы n1где g = Cp/CV. Зависимость C(n) представлена на рис. 5.1, а в табл. 5.1 приве'дены значения показателей и теплоемкостей для некоторых политропиче'ских процессов.Показатель адиабатического (dQ = 0) политропического процесса, проте'кающего с теплоемкостью C = dQ/dT = 0, равен n = g = Cp/CV.Отметим некоторые особенности рассмотренных политропических про'цессов.1. При изотермическом процессе система и среда обмениваются теплотойdQ ¹ 0 при постоянной температуре Т = const.2.
В адиабатическом процессе система изолирована от окружающей сре'ды (dQ = 0), при этом dT ¹ 0.Таким образом, подчеркнем, что нагревание (или охлаждение) являетсяпроцессом изменения температуры (dT ¹ 0). Этот процесс не отождествляется с получением (или отводом) теплоты системой (dQ ¹ 0).3. Теплоемкость изобарического процесса, при котором dA ¹ 0, всегда боль'ше, чем изохорического, для которого dА = 0.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
