Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 27
Текст из файла (страница 27)
5.3.В процессе расширения, т. е. приV2 > V1, температура газа понижается иT2 ® 0 при V2 ® ¥, а следовательно, U2–0и DU12 = U2 – U1 ® –U1. Аналогично раEбота DA12 также стремится к предельноEму значению — максимальному значеEнию работы, которую газ должен соверEшить при расширении до бесконечнобольшого объема V2 ® ¥.Ответ: газ нагревается, C = C V –Рис. 5.32Изменение внутренней энергии DU геE – R = R/2, 1U 2 3a 2 1350 Дж, DA =1212лия, совершаемая им работа DA и подE2V1веденная теплота DQ в процессе V =22= ap–1/2 сжатия газа от объема V1 = 10 л = –a /V 1 = –900 Дж, DQ 12 = a /(2V 1 ) =до объема V2 =5 л= 450 Дж.Задача 5.12.
Кислород в количестве m = 24 г участвует в процессе p == p0 + aV2, где p0 = 0,2 атм и а — положительная постоянная. В начальномсостоянии газ имеет объем V1 = 5 л и температуру T1 = 290 К, в конечном —V2 = 2V1. В рамках модели идеального газа определите теплоемкость С(V) вэтом процессе и все составляющие энергетичеEского баланса (5.8): DU12, DA12, DQ12.Решение. 1.
Определение знаков составляюEщих энергетического баланса. Так как DV > 0,то DA12 > 0 — газ совершает работу. Графическоеизображение процесса (рис. 5.4) и сравнение егос изотермическими процессами T1 = const и T2 == const позволяют заключить, что газ нагреваEется, т. е. DU12 > 0. Следовательно, DQ12 = DU12 +Рис. 5.4+ DA12 > 0 — газ получает теплоту.Процесс p = p0 + aV2 расширеEПараметры любой точки процесса удовлетвоEния кислорода от объема V1 дообъема V2 и изотермы Т1 и Т2 ряют двум уравнениям:(пунктирные кривые) для наEчального 1 и конечного 2 состояEний. Затемненная площадь равEна работе газа DА12138уравнению процесса: p 1 p0 2 aV 2 3.уравнению состояния: pV 1 5RT 46(5.55)МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХПоэтому значение константы а в уравнении процесса может быть най'дено подстановкой в систему (5.55) параметров начального состояния:p1 1 p0 2 aV12 ;34p1V1 1 5RT1 .
6(5.56)Решая систему (5.56), получаем:T34 1 1RT1 2 p0 V1a 5 6 1R 1 2 p0 7 2 5.(5.57)V1V1389 V1По известному процессу можно (аналогично решению предыдущей зада'чи 2'м способом) определить теплоемкость. Решая систему (5.55), найдемсначала уравнение процесса в виде T = T(V):1T (V ) 1( p 2 aV 2 )V ,3R 0а затем производную (дифференциальную характеристику этого процесса):dT11( p 2 3aV 2 ).dV 3R 0(5.58)Подставляя (5.58) в (5.25), для молярной теплоемкости (при n = 1) полу'чаем:31p 4 aV 22aV 2 6dT5.
(5.59)C(V ) 7 CV 4 p7 CV 4 R 07 CV 4 R 81 32dVp0 4 3aVp0 4 3aV 2 91 2Так как C(V) ¹ const, в общем случае процесс не является политропиче'ским, за исключением частных случаев, представленных в табл. 5.2.При a > 0 теплоемкость всегда положительна, так как2aV 2011 1.p0 2 3aV 2Параметры начального состояния:121(5.60)4RT1, V1, T1 .V1Параметры конечного состояния определяются также с помощью систе'мы (5.55):p2 1 p0 2 aV22 34.(5.61)p2 V2 1 5RT2 6p1 3Решая систему (5.61), с учетом (5.57) получаем:41RT1p2 2 p0 3 aV22 2 43 p0 3;V1V6p VT2 2 2 ( p0 3 aV22 ) 2 8T1 – 0 1 .1R1R1234567839281881882387338(5.62)1 2 3 4 5 6 2 7 8978397825757873328224798946879734812324232242522426522422728925224232242322423224221ГЛАВА 5.
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ139Составляющие энергетического баланса:5351U12 2 3CV 1T12 2 3R (T2 4 T1 ) 2 –15 p0 V1 53RT1;22V21A12 26V1V2pdV 27ma46 ( p0 5 aV 2 ) dV 2 p0 (V2 4 V1 ) 5 3 (V23 4 V13 ) 2 3M RT1 4 3 p0 V1;V11Q12 2 1U12 5 1A12 2119 m49RT 4p V.6 M 1 3 0 1Подставляя (5.60) и (5.62), а также данные из условия задачи: M = 32×10–3кг/моль, n = m/M = 0,75 моль, 1 атм = 1,013×105 Па, p0 = 0,2 атм » 0,2×105 Паи значение константы а:T12 1a 3 8 4R 1 5 p0 9 2 6 1,4 7 1010 Н/м8 ,V1 V1окончательно получаем:35 m1U12 2 –15 p0 V1 3RT 4 30,1кДж;2 M 17m4RT 5 p V 4 4,1кДж;1A12 23M 1 3 0 1119 m491Q12 2RT 5p V 4 34,2 кДж.6 M 1 3 0 1Ответ:2aV 2 21C(V ) 3 CV 4 R 61 5;p0 4 3aV 2 79835 mRT 30,1кДж;U12 3 –15 p0 V1 42 M 1119 m49RT 5p V 34,2 кДж;Q12 36 M 1 3 0 17m4RT 5 p V 4,1кДж.A12 33M 1 3 0 1Задача 5.13.
Идеальный газ в количестве n молей расширяется от объемаV1 до объема V2 по политропическому процессу с заданным показателем поDлитропы n. Температура газа в начальном состоянии Т1. Теплоемкость СV == const. Определите составляющие энергетического баланса (5.8) DU12, DA12,DQ12 в этом процессе.Рис. 5.5Адиабатический (n = g), изобарический (n = 0), изохориDческий (n ® ¥) и изотермический процессы, проведенныеиз одной точки на р–VDдиаграмме. Для определения измеDнения температуры в указанных процессах приведены ещедве изотермы: T3 > T2 и T1 < T2140МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРешение. Параметры начального состояния находятся из уравнения со(стояния:{p1 = nRT1/V1, V1, T1}.Константу в уравнении процесса TVn–1 = const в параметрах V–T выража(ем через параметры начального состояния.
Тогда уравнение процесса прини(мает видTV n 11 2 T1V1n 11.Параметры конечного состояния удовлетворяют уравнению состояния иуравнению процесса:уравнение процесса T2 V2n 11 2 T1V1n 11 34.уравнение состояния p2 V2 2 5RT2 6Из записанной системы уравнений получаем параметры конечного со(стояния:n 11n 1124RT1 5 V1 65 V1 6 3,V,TT78 p2 7221 V 9.V2 V2 2 Изменение внутренней энергии:24 V 56U12 7 8CV (T2 1 T1 ) 7 8CV T1 9 1 V2 n 1131 1 .(5.63)Изменения внутренней энергии для некоторых политропических про(цессов приведены в табл.
5.3.1 2 3 4 5 6 2 7 8971234545678954554854668785486646849848248681234545648954554854668123435678961234512356789645123856789646678966456Подчеркнем еще раз, что внутренняя энергия идеального газа в состоя(нии равновесия зависит только от температуры, а в любом равновесномпроцессе изменяется так же, как меняется в этом процессе температура, ипропорционально температуре. Сравнивая характерные политропические про(цессы с изотермами на р–V(диаграмме (рис. 5.5), заключаем, что при увеличе(нии объема в изобарическом процессе внутренняя энергия растет (так как приэтом происходит переход с нижней изотермы Т2 на верхнюю Т3, имеющуюболее высокую температуру), а в адиабатическом — уменьшается (переход сверхней Т2 на нижнюю изотерму Т1). С увеличением давления внутренняяэнергия растет как в адиабатическом, так и в изохорическом процессе, но впоследнем быстрее.Для вычисления работы, совершаемой газом при расширении, требуетсязнание уравнения процесса в параметрах p–V:pV n 1 p1V1n .ГЛАВА 5.
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ141Для работы получаем:V27A12 8 pdV 8V1v2p1V1n4RT 25V 6n 11 3 V 1n dV 8 n 1 11 91 1 V12 V1.(5.64)Формулы расчета работы для некоторых политропических процессовпредставлены в табл. 5.4:1 2 3 4 5 6 2 7 8971234567839983927868223782632832283282996826327892989981234356789612341235678961238567896454 6 5 66789674 65 8 7 8 7 811 На p–V/диаграмме работа DA12 численно равна площади под кривой про/цесса (рис. 5.6).
Поэтому легко графически сравнить DA12 для различныхполитропических процессов, если заданы, например, p1, V1 и V2 > V1:DAp > DAT > DAS; DAV = 0.Для вычисления теплоты, получаемой газом в политропическом процес/се, можно, во/первых, воспользоваться первым началом термодинамики, аво/вторых, использовать выражение для теплоемкости (5.13).В первом случае (5.63) и (5.64):DQ12 = DU12 + DA12 == nT1[(V1/V2)n–1 – 1](CV – R/(n – 1)),во втором:T22Q12 3 5 4CdT 3 4C(T2 1 T1 ) 3 4T1 [(V1 / V2 )n 11 1 1](CV 1 R /(n 1 1)).T12RT1[1 1 (V1 / V2 )n 11 ],n 11DQ12 = nT1[(V1/V2)n–1 – 1](CV – R/(n – 1)).Ответ: DU12 = nCVT1[(V1/V2)n–1 – 1], 3A12 4Рис.
5.6Работа газа при расширении от объема V1 до объемаV2 равна площади, заштрихованной вертикальнойштриховкой — для изобарического процесса, гори/зонтальной штриховкой — для изотермического про/цесса и косой штриховкой — для адиабатическогопроцесса142МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЗадача 5.14.
Идеальный газ с известной теплоемкостью CV = const нахо(дится в цилиндре под поршнем. Поршень вдвигается в цилиндр настолькомедленно, что вследствие потери теплоты сквозь стенки изменение темпера(туры газа при продвижении поршня в течение всего процесса вдвое меньше,чем было бы при быстром перемещении поршня на такие же расстояния(рис. 5.7а). Процесс при быстром перемещении можно считать адиабатиче(ским. Найти уравнение исследуемого процесса и выяснить, является ли онполитропическим.
Определить молярную теплоемкость газа в этом процес(се. Параметры начального состояния известны: V0, Т0.Решение. Обозначим параметры быстрого процесса индексом 1, медленно(го — индексом 2, начальные состояния в обоих процессах — индексом 0 (рис. 5.7).Проведем качественный анализ. Изобразим оба процесса на T–V (a) ир–V(диаграммах (б) и сравним характеристики энергетического баланса дляобоих процессов.Для процесса 1 имеем:DQ1 = DU1 + DA1 = 0;DU1 = CVDT1 > 0;DA1 = –DU1 < 0 (вертикально заштрихованная площадь на рис.
5.7б);а для медленного процесса 2:DU2 = DU1/2 > 0;DA2 < 0 (горизонтально заштрихованная площадь на рис. 5.7б); | DA1 | >> | DA2 | > | DA |1/2. Отсюда для теплоты в процессе 2 получаем:DQ2 = DA2 + DU2 < DA1 + DU1 = 0.Таким образом, в медленном процессе газ нагревается, отдавая теплоту.Это означает, что теплоемкость в процессе 2 отрицательная.Уравнение медленного процесса 2 легко получить, используя известноеуравнение быстрого процесса 1 и условие задачи по изменению температурыв обоих процессах:T0 V0121 4 T1V 121 317 5 T2 4 2 T0 [1 6 (V0 / V ) 121 ].T1 2 T0 4 2(T2 2 T0 )8(а)(5.65)(б)Рис. 5.7Рассматриваемыев задаче процессыи изотерма Т0 наТ–V (а) и на р–Vдиаграммах (б)ГЛАВА 5. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
