Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При 1 < n < g теплоемкость отрицательна, т. е. dQ и dT имеют противо'положные знаки. Это означает, что в таких политропических процессах ве'щество охлаждается, получая теплоту, и нагревается, отдавая теплоту.5. Политропические обратимые процессы, в особенности такие, при ко'торых один из параметров р, V, Т постоянен или dQ = 0, являются удобнымиабстрактными моделями и позволяют легко проводить расчеты. Этим и объ'ясняется повышенный интерес к политропическим процессам.6.
CV и Cp являются фундаментальными характеристиками вещества.C 1 Cp— по'Ответ: pVn = const, TVn–1 = const, pT(n–1)/n = const, где n 2C 1 CVказатель политропы.Задача 5.6. Распространение звука в газовых средах в первом приближе'нии можно считать адиабатическим термодинамическим процессом. Аку'132МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХстические сигналы, производимые с помощью речи, обладают двумя независимыми параметрами: высотой звука (частота) и фонемным (фонема — звукречи) составом.Высота звука контролируется колебаниями звуковых связок и формируется в гортани.Фонемная структура звука создается благодаря резонансу голосовоготракта (глоточной, ротовой и носовой полостей), обладающего способностьюзначительно изменять свою форму.
От конфигурации голосового тракта зависят собственные частоты звуковых колебаний воздуха, заполняющего этиполости. Диапазоны этих частот связаны только с конфигурацией голосового тракта и не зависят от голоса (создаваемого связками).Собственная частота, соответствующая звуку [a] в английском слове cart,равна приблизительно 900 Гц. Определите, какой она станет, если полостьголосового тракта заполнить гелием. Температура воздуха в полости 27°С,молярная масса воздуха Мвзд = 29 г/моль.Решение.
Скорость звука в газовых средах определяется скоростью ростадавления р при увеличении плотности r: c 1 2p 23. Определим ¶p/¶r дляслучая адиабатического распространения звука. Производя в уравненииадиабатического процесса pVg = const замену V = m/r, получаем уравнение процесса в p–r параметрах: pr–g = const. Дифференцируя, находим ¶p/¶r = g(p/r).1mИспользуем уравнение состояния pV 1RT в виде p 2RT, окончательMM1p1pRTRTи c22 3.23но получаем14M14MСобственная частота — это частота стоячих волн, длина волны которыхопределяется только конфигурацией и геометрическими размерами полости. В данной задаче голосовой тракт соответствует по конфигурации звуку[a], и длина стоячей волны при заполнении гелием не изменяется: la = const.Собственная частота звука1[a] 2c1RT23.4[a] 4[a]MИз отношения частоты звука для воздуха1[a] 21RT34[a] взд Mвзд2[1a] 31RT45[a] Не MНеи для гелияполучаем43[a] 5 4 [a]1 Не Mвзд5/3 2 295 9006 2600 Гц.1 взд MНе7/5 2 4Ответ: частота значительно возрастает 900 Гц ® 2600 Гц.ГЛАВА 5.
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ133ТЕПЛОЕМКОСТЬРЕАЛЬНОГО ВЕЩЕСТВАВнутренняя энергия реального газа, в отличие от внутренней энергииидеального газа, включает в себя также среднее значение потенциальнойэнергии взаимодействия молекул друг с другом, которое зависит от расстоя2ния между молекулами и, как следствие, от занимаемого газом объема:U = U(T, V). Таким образом, теплоемкость процесса, в котором участвует ре2альный газ, выражается соотношениемC71 2 8 51 44UV 23Q4U7dT4TVdV.8 p 6 9 dTT(5.36)Частные производные (¶U/¶T)V и (¶U/¶V)T зависят от структуры молекули сил взаимодействия между ними, а с процессом непосредственно связаныдавление р и производная dV/dT, которая является дифференциальной ха2рактеристикой процесса, т.
е. берется вдоль кривой V(T) данного процесса.В квадратных скобках (5.36) стоит сумма внешнего давления р и «дополни2тельного» (¶U/¶V)T, величина которого определяется взаимным притяжени2ем молекул (о дополнительном давлении см. (8.61), (8.63), (8.64) и п. 9.1).Поскольку теплоемкость (5.36) для изохорического (dV = 0) процесса равнаCV = (¶U/¶T)V,(5.37)теплоемкость (5.36) для произвольного процесса можно записать в виде1 23UC 6 CV 7 49 3VdV7 p 5 8. dTT(5.38)Задача 5.7. Получите выражение для теплоемкости вещества в процессе,заданном в (T, V) параметрах. Считать известными g и CV = const.Решение.
В соотношение (5.38) для теплоемкости в произвольном про2цессе входит производная (¶U/¶V)T, которую можно найти, используя выра2жение для известной теплоемкости Cp = gCV в изобарическом процессе:Из (5.39) имеем1 23UCp 6 CV 7 48 3V1 33UV 2TT1 2.3V7 p 59 3T4 CV ( 5 6 1)1 33VT 2p(5.39)p6 p.(5.40)С учетом (5.40) соотношение для теплоемкости в произвольном процессе(5.38) принимает вид:Cp 1 CV dV(5.41)C 2 CV 3(4V / 4T) p dTили5.1 2 1 dVdT 23TC 6 CV 41 7 ( 8 9 1)3V(5.42)pи представляет собой выражение для теплоемкости в (T, V) параметрах.Ответ: C = CV[1 + (g – 1)(¶T/¶V)p(dV/dT)].134МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЗадача 5.8. Получите выражение для вычисления теплоемкости вещест(ва в процессе, заданном в p–V параметрах.
Считать известными CV и g.Решение. Воспользуемся соотношением (5.41), полученным в задаче 5.7.Записывая выражение для полного дифференциала dTнаходим1 2 dV,3T 53TdT 6 489 dp 7 3V 3p Vp1 2.dT 4 3T 5 dp3T67dV 8 3p 9V dV3V(5.43)pПодставляя (5.43) в (5.41), получаемC 2 CV 3Cp 1 CV.1 3 (4V / 4T ) p (4T / 4p) V (dp / dV )(5.44)Из уравнения для частных производных3V 4 3T 5 3p6 713T p 8 3p 9V 3V Tследует, что1 21 21 33VT 2 49 33Tp 5pV3V 56 7 49 6 8T V .
3p T(5.45)Подставляя (5.45) в (5.44), получаем выражение для теплоемкости в (p, V)параметрах:1 2134.C 5 CV 71 6 1 2 (9V / 9p)T (dp / dV ) 8(5.46)1 2134Ответ: C 5 CV 71 6. 1 2 (9V / 9p)T (dp / dV ) 8Задача 5.9. Покажите, что отношение коэффициентов изотермической иадиабатической сжимаемости равно показателю адиабаты: cT/cS = g.Решение. Формула для теплоемкости (5.46) в случае адиабатического про(цесса с учетом (5.45) принимает вид0 3141 21.1 2 (5V / 5p)T (5p / 5V )S(5.47)Учтем также, что (¶p/¶V)S = –1/(cSV) и (¶V/¶p)T = –cTV. ПолучаемcT/cS = g,(5.48)что и требовалось показать.Задача 5.10. Какую работу нужно совершить, чтобы воду в жидкомсостоянии в количестве n = 10 молей (неполный стакан) сжать от давле(ния р1 =1 атм до давления р2 = 25 атм при постоянной температуре Т == 20°С? Среднее значение коэффициента изотермической сжимаемостиГЛАВА 5.
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ135cT = 48×10–6 атм–1. Во сколько раз возрастет работа, если конечное давлениебудет p21 2 100 атм?Решение. Изменение объема как функции температуры и давленияdV(T, p) = (¶V/¶T)pdT + (¶V/¶p)Tdp при dT = 0 принимает вид:dV = (¶V/¶p)Tdp = –áVñcTdp.(5.49)С учетом полученного для dV выражения (5.49) работа сил давления воды:p21A 2 7 pdV 2 3 7 p4 V 56T dp 2 3 1 4V 56T ( p22 3 p12 ).2p1Работа внешних сил:11Aex 2 31A 2 4 V 56T ( p22 3 p12 ),2где áVñ = Mn/árñ; M = 18 г/моль; árñ = 1 г/см3.Подставляя численные данные, получаем (в системе СИ):4Aex 5(5.50)M218 3 1013 3 106T ( p22 1 p12 ) 53 48 3 10111 (252 1 12 ) 3 1010 7 0,27 Дж.2892 3 103При увеличении конечного давления до 100 атм работа4 65AexM218 3 1013 3 107T ( p242 1 p12 ) 63 48 3 10111 (1002 1 12 ) 3 1010 8 4,32 Дж,292 3 103т.
е. возрастает в DA¢ex/DAex » 16 раз.M12 / 3Aex 7 16.5 ( p2 6 p12 ) 7 0,27 Дж, 3АexОтвет: 3Aex 4289 T 2ТЕПЛОЕМКОСТЬ В ПРОЦЕССАХС ИДЕАЛЬНЫМ ГАЗОМЗадача 5.11. Сжатие идеального газа (гелия, Не) происходит по законуV = ap–1/2, где а =3 м3Па1/2 = const, от объема V1 = 10 л до объема V2 = V1/2.Нагревается или охлаждается газ? Определить теплоемкость и все составGляющие энергетического баланса (DU12, DA12, DQ12)в этом процессе.Решение.
Изобразим на р–VGдиаграмме кривыезаданного процесса p = a2/V2 и изотермы, проходяGщие через начальное и конечное состояния (рис. 5.2).Как видно из рисунка, в данном процессе при сжатиигаз нагревается. Найдем аналитическую зависимостьизменения температуры Т = T(V) в процессе.Запишем систему уравнений:Рис. 5.2Процесс сжатия V = ap–1/2гелия от объема V1 до объGема V2 и изотермы Т1 и Т2для начального и конечGного состояний136уравнение процесса: p 1 a2 / V 2 2.уравнение состояния: pV 1 4RT 35(5.51)Решая систему (5.51), получаем уравнение проGцесса в параметрах T–V:МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХa2,(5.52)2RVкоторое подтверждает, что в процессе сжатия (уменьшения V) газ нагревается.Теплоемкость газа в данном процессе можно определить двумя способами.1.
Способ базируется на том, что процесс — политропический pV2 = constс показателем политропы n = 2.Из (5.35) получаем значение молярной теплоемкости:n12(5.53)C 3 CV3 CV (2 1 2) 3 CV 1 R.n 11Для одноатомного газа число степеней свободы одной молекулы i = 3 иCV = 3R/2, а C = R/2.2. Способ вычисления теплоемкости — более общий и применим для про8извольного процесса в идеальном газе (не только политропического).
Он ос8нован на определении теплоемкости (5.25) и полученном выше уравнениипроцесса в параметрах T–V (5.52).Из (5.52) находимdTa212.(5.54)dV3RV 2Для нахождения молярной теплоемкости в процессе подставляем (5.54)в (5.25) при n = 1 и получаем:T1C 6 CV 7 pdT1 dV2316 CV 7a2 4 V 2 R 5839 6 CV 3 R.V 2 a2 Составляющие энергетического баланса. Для удобства вычислений опре8делим сначала все параметры начального и конечного состояний, основыва8ясь на том, что каждое из состояний равновесного процесса удовлетворяеткак уравнению состояния, так и уравнению процесса.Из системы уравнений, записанных для начального состояния 1:уравнение процесса p1 1 a2 / V12 ;уравнение состояния p1V1 = nRT1,получаем значения всех параметров начального состояния:{ p1 1 a2 / V12 , V1 , T1 1 a2 /(2RV1 )}.Из системы уравнений для конечного состояния:уравнение процесса p2 1 a2 / V22 ;уравнение состояния p2V2 = nRT2получаем неизвестные параметры конечного состояния:{ p2 1 a2 / V22 , V2 , T2 1 a2 /(2RV2 )}.Изменение внутренней энергии (на основании (5.23)):3U12 4 dU 4 5CV (T2 6 T1 ) 4a2 CV 1 1 1 2 3a2644 1350 Дж 7 0;R 8 V2 V1 9 2V1работа газа (по определению):ГЛАВА 5.
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ137V23A12 4V1V2pdV 4a2111 2a2 V 2 dV 4 a2 79 V1 5 V2 8 4 5 V1 4 5900 Дж 6 0;V1теплота (из первого начала термодинамики):a21Q12 2 1U12 3 1A12 22 450 Дж 4 02V1или, используя полученное выше выражение для теплоемкости:T24Q12 5 6CdT 5 6(CV 1 R )(T2 1 T1 ) 5T1a2 (CV 1 R ) 2 1 1 3 a27 V 1 V 8 5 2V .R9 211Графически изменения внутренней энергии и совершенной газом работы впроцессе сжатия в зависимости от объема V (V2 < V < V1) представлены на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
