Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 22
Текст из файла (страница 22)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА1132. Среднюю потенциальную энергию одной молекулы можно вычислить,используя результаты задачи 4.1 (4.13) при условии H ® ¥, или по формуледля средних значений при известной функции распределения (4.42):110056пот 7 8 mgz 9 dPm (z) 8 mgz1mgmgz 4dz 8 kBT xe 2 x dx 8 kBT.exp 32kBT kBT 03. При вычислении полного числа молекул N0 в изотермической атмо9сфере будем считать все молекулы одинаковыми со средней молярной мас9сой М. Тогда можно воспользоваться полученным ранее соотношением (4.37)с учетом (4.41) или вычислить N0, используя распределение (4.36) для кон9центрации (опуская индекс массы m):11mgz 3N0 4 n(z)45(RЗ 6 z)2 dz 4 n(0) 7 exp 2845(RЗ 6 z)2 dz 9kBT 001mgz 3z9 n(0)45RЗ2 exp 286 ... dz 9 n(0)45RЗ2 z0 ,16 2kBT RЗ0(4.43)где n(0) — концентрация всех молекул воздуха у поверхности Земли.
Привычислении (4.43) использовалось разложение(RЗ 1 z)2 2 RЗ2 (1 1 2z / RЗ 1 ...),(4.44)справедливое при z/RЗ = 1, и было введено обозначениеkBT RT11 z0 .mg Mg4. Физический смысл z0 — это высота, на которой концентрация молекулn(z0) в е раз меньше n(0). Посколькуz0 38,3 2 273RT44 8,0 км 1 RЗ 4 6400 км,Mg 30 2 1013 2 9,8(4.45)сделанные упрощения (4.44) справедливы.Численная оценка полного числа молекул:N0 1 n(0)42RЗ2 3 z0 1 2,7 3 1025 3 42(6,4 3 106 )2 3 8 3 103 1 1044.Из (4.43) следует, что z0 — это толщина слоя воздуха, окружающего Зем лю, в котором собрались бы все молекулы при постоянной по высоте темпе9ратуре и постоянной концентрации молекул, равной концентрации у поверх9ности Земли.5.
Так как процесс рассеяния атмосферы очень медленный, можно счи9тать, что к изотермической атмосфере применимо распределение Максвел9ла — Больцмана.В этом случае концентрация молекул n(v), имеющих скорость v в интер9вале значений (v, v + dv):n(v) = n0f(v)dv,(4.46)где n0 — средняя концентрация молекул, которую можно оценить, исполь9зуя (4.43):114МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХn0 1N,2z0(4.47)1 2 43RЗ2 — площадь поверхности Земли; z0 — толщина изотермической ат*мосферы; N — полное число молекул в атмосфере в момент времени t.Среднюю скорость молекул можно записать в виде11234 5 6 vf (v)dv 506 vn(v)dv01.(4.48)6 n(v)dv0Используя (3.50), вычисляем скорость dN/dt изменения числа молекулN в атмосфере Земли:dN n1 0 1123v45,(4.49)dt4где S — площадь поверхности Земли; n1 0 — средняя суммарная концентрациямолекул воздуха, обладающих скоростями v1 1 vI ; vI 1 2gRЗ 2 11,2 км/с —первая космическая скорость; 1v1 2 — средняя скорость молекул из числа техмолекул, скорости которых v1 1 vI .По аналогии с (4.46) для концентрации молекул n1 (v1 ), имеющих скорость v1в интервале значений (v1, v1 1 dv1 ), имеем:n1 (v1 ) 1 n10 f (v1 )dv1,(4.50)для суммарной концентрации n1 0 молекул1n1 0 2 3 n(v)dv.(4.51)vIПо аналогии с (4.48) для средней скорости 1v12 записываем:12v13 45 vn(v)dvvI145 n(v)dv1n1015 vn(v)dv.(4.52)vIvIС учетом (4.52) уравнение (4.49) принимает вид:31dN 24vn(v)dv.dt 4 5(4.53)vIДля вычисления интеграла в правой части уравнения (4.53) сделаем за*mv2.
Первой космической скорости соответствует зна*мену переменной: 1 22kBTчение новой переменной:1I 2ГЛАВА 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНАmvI2 MgRЗ.22kBTRT(4.54)115Интегрирование дает:114 m 5 vn(v)dv 6 n0 vf (v)dv 6 n0 8 27kBT 9vIvI6 2n02kBT7m1 3e23d3 6 2n03I3/2 14 mv2 5 v exp 8 2 2kBT 9 47v2dv 6vI2kBT 23Ie (1 3 I ).7m(4.55)Среднюю концентрацию n0 всех молекул воздуха в (4.55) запишем, ис7k Tпользуя (4.47) и z0 1 B (4.45):mgmgN(4.56)n0 11N.2z02kBTС учетом (4.55) и (4.56) уравнение (4.53) принимает вид:dN 112 N,dt 3где t — не зависящая от времени постоянная:2 MgRЗ 3exp 4526kBT26RTe1I7 RT 8 .9m g (1 1I )MMgRЗ 32g 41 5RT 87Решение уравнения (4.57):N = N0e–t/t,(4.57)(4.58)(4.59)где N0 — число молекул в атмосфере Земли в момент времени t = 0.Из (4.59) следует, что t (4.58) — время рассеяния атмосферы (время, втечение которого число молекул уменьшается в е раз).
Следует отметить экс7поненциальную зависимость t от массы частиц, так как x I = xI(m) (4.54).Численные оценки.§ Для кислорода MO2 1 0,032 кг/моль, xI = MgRЗ/(RT) » 800, 21RT / M 2500e8002 500 м/с и 1(O2 ) 22 0,06e800 c 2 2 3 10340 лет;9,8(1 4 800)§ для гелия MHe = 0,004 кг/моль и xI = MgRЗ/(RT) » 50, 21RT / M 21400 e502 1400 м/с и 1(He) 22 2,8 3 e50 c 2 1015 лет.9,8(1 4 50)Сделанные оценки показывают, что с течением времени атмосфера зна7чительно быстрее теряет легкие молекулы, чем тяжелые.ЗАДАЧИДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯЗадача D4.1.
Используя модель изотермической атмосферы, определитедавление воздуха на высоте 1 км над поверхностью Земли и в шахте на глу7бине 1 км под поверхностью Земли. Изменением состава воздуха пренебречь.Давление и температура на поверхности Земли нормальные.Ответ:Mgh 52 exp(10,125) 2 0,88 атм, p(1h) 2 exp(30,125) 2 1,13 атм.p(3 h) 6 p0 exp 4719 RT 8116МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЗадача D4.2. Потенциальная энергия молекул идеального газа зависитот расстояния r как U(r) = ar, где а — положительная постоянная; r = 0 —центр поля.
Температура газа Т. Определить функцию плотности вероятно1сти нахождения молекулы на удалении r от центра поля, наиболее вероятноерасстояние rнв и среднее значение потенциальной энергии áUñ, приходящей1ся на одну молекулу газа.32k TОтвет: f (r ) 4 1 27 a 38 e 1 ar /(kBT ) r 2 , rнв 4 B , 5U6 4 3kВT.2 9 kBT aЗадача D4.3. Дисперсная система представляет собой коллоидные части1цы, находящиеся в растворителе. Коллоидные частицы обособлены и участ1вуют в тепловом броуновском движении.
Дисперсная коллоидная системанаходится в вертикальном цилиндрическом сосуде, вращающемся относи1тельно своей оси с угловой скоростью w. Радиус сосуда а. Плотность раство1рителя r0, плотность коллоидных частиц r. Температура системы Т. Отно1шение концентрации коллоидных частиц у стенок сосуда r1 = a и на расстоя1нии r2 = a/2 равно a. Вычислите молярную массу коллоидных частиц.Примечание.
Коллоидными частицами называются частицы, имеющиеразмер от 1 нм до 1 мкм.8RT1 ln 2.Ответ: M 33(24)2 (1 5 10 )Задача D4.4. Дисперсная коллоидная система находится в поле силы тя1жести при температуре Т. При подъеме на высоту Dh концентрация коллоид1ных частиц уменьшается в a раз. Плотность растворителя r0, плотность кол1лоидных частиц r. Определить радиус r0 коллоидных частиц.2 2kBT ln 1 3Ответ: r0 4 5 47(8 9 80 ) g h 61/3.Задача D4.5. Цилиндрический сосуд, имеющий длину l = 1 м, заполненуглекислым газом СО2 при температуре Т = 273 К и движется с ускорениема = 20 м/с вдоль своей оси.
Во сколько раз отличается давление газа на про1тивоположные торцы цилиндра?Ma1 2Ma14153 1,0004.Ответ: p2 / p1 3 exp 1RT86 RT 97Задача D4.6. В однородном поле при температуре Т находятся частицы,не взаимодействующие друг с другом (за исключением абсолютно упругихударов). Вдоль направления поля на расстоянии h концентрации молекулотличаются в a раз. Определить силу, действующую на частицы со стороныполя.k TОтвет: F 1 B ln 2.hГЛАВА 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА117ГЛАВАПЕРВОЕ НАЧАЛОТЕРМОДИНАМИКИ.ТЕПЛОЕМКОСТЬОтыщи всему начало, и ты многое поймешь!Козьма Прутков5.1.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА.РАВНОВЕСНЫЕ ПРОЦЕССЫТермодинамическая система — система, состоящая из стольбольшого числа частиц (структурных элементов), что ее состояние можноописывать усредненными макроскопическими параметрами (такими как дав8ление, концентрация и др.). Существуют два основных подхода к изучениютермодинамических систем.
Первый — это феноменологический подход,основанный на началах общей термодинамики, подход, при котором систе8ма рассматривается как сплошная среда и описывается экспериментальноопределяемыми параметрами. Второй — это статистический подход, рассмот8ренный в предыдущих главах.Термодинамическое равновесие — состояние системы, не изменяющеесяво времени и не сопровождающееся переносом через систему (или между ееотдельными частями — подсистемами) энергии, вещества, заряда, импульсаи т. п., т. е. состояние, при котором отсутствуют любые градиенты и связанныес ними потоки, и система не может совершать работу. Важным свойством рав8новесных состояний является их независимость от пути, по которому системапришла в это состояние (в химических процессах — от пути превращения).Условиями термодинамически равновесного состояния являются:1) равенство температур (термическое равновесие) во всех частях сис8темы (нулевое начало термодинамики);2) равенство давлений во всех частях объема системы (механическое рав8новесие);3) равенство химических потенциалов веществ во всей системе (в отсут8ствие силовых полей, явлений переноса (диффузии, направленного переносаимпульса), фазовых переходов и химических реакций).В состоянии равновесия все макроскопические характеристики системыравны своим средним значениям с большой точностью.Для химических реакций в состоянии равновесия скорости прямой и об8ратной реакций одинаковы (химическое равновесие).Локальное термодинамическое равновесие — это равновесие в каждомфизически бесконечно малом объеме (малом, но макроскопическом, т.
е. со8118МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХдержащем большое число частиц), когда температура, плотность и др. тер+модинамические параметры являются локальными и зависят от времени ипространственной координаты.Параметры состояния (функции состояния) — это параметры системы,находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Например, дляжидкости и газа с фиксированным числом частиц к параметрам состоянияотносятся р (давление), Т (температура), V (объем).
Для смеси газов или дляжидкого раствора к числу параметров еще следует добавить концентрацииотдельных компонентов. При описании электромагнитных явлений системухарактеризуют такими термодинамическими параметрами, как заряд, по+ляризация и намагниченность.Параметры состояния делятся на внешние и внутренние. Внешние параметры — величины, характеризующие внешние тела и силовые поля, кото+рые влияют на движение частиц рассматриваемой термодинамической сис+темы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
