Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Причина заключается в том, что из/завыбывания медленных молекул с увеличением высоты концентрация моле/кул уменьшается. На рис. 4.4 качественно изображены распределения моле/кул по скоростям на разных высотах: H1 (сплошная линия) и H2 > H1 (пунк/тирная линия). Стрелками указаны возможные переходы частиц при их пе/ремещении вверх (с увеличением высоты), когда потенциальная энергияувеличивается за счет уменьшения кинетической энергии.
Максимумы кри/вых не смещены друг относительно друга, что означает áv1ñ = áv2ñ или T1 = T2.Задача 4.2. Идеальный газ, имеющий температуру Т, находится в ци/линдрическом сосуде, который вращается вокруг своей оси с угловой скоро/стью w (рис. 4.5). Радиус цилиндра R, высота H. Найти распределение давле/ния газа вдоль радиуса цилиндрического сосуда, а также давление газа набоковую стенку цилиндра. Число молекул газа в сосуде N0. Масса одной мо/лекулы m. Силой тяжести можно пренебречь.Решение.
В неинерциальной системе координат,связанной с вращающимся цилиндром, на молекулуидеального газа действует центробежная сила инер/ции, величина которой зависит от расстояния r мо/лекулы до оси вращения:fцб = mw2r.Рис. 4.5Закрытый цилиндриче/ский сосуд, заполненныйN0 молекулами идеаль/ного газа, вращается во/круг своей оси с угловойскоростью w при темпера/туре Т(4.16)Потенциальная энергия молекулы, находящей/ся на расстоянии r от оси цилиндра, равна (по опре/делению потенциальной энергии) работе центробеж/ных сил при перемещении молекулы из данной точ/ки r в точку r = 0, где ее потенциальная энергия равнанулю:0011пот 2 5 (fцб dr) 2 5 m32r ( 4dr )( 41) 2 4 m32 r 2 . (4.17)2rrВероятность обнаружить молекулу в элементарном объеме dtr = 2prHdr,представляющем собой тонкий цилиндрический слой с радиусами r и r + dr,определяется распределением Больцмана:2 1 32 m42r 2 3dP(r ) 5 A exp 9 6 пот d7r 5 A exp 9 28rHdr.
2kBT kBT (4.18)Константу А находим из условия нормировки:R235 m42r 2 6A 7 928H exp rdr 2kTB90104117a8HR 2 (ea1 1),МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХгдеm12 R 2.2kBTЧисло молекул, имеющих координаты в интервале (r, r + dr):a2(4.19)dN(r) = N0dP(r);концентрация молекул на расстоянии r от оси вращения:n(r ) 4dN (r )m12r 2 34 N0 A exp 256427rHdr8 2kBT 9m12r 2 3am12r 2 34 n0 ( H7R 2 A )exp 254 n0 aexp 2566,e 18 2kBT 98 2kBT 9(4.20)N0— средняя концентрация молекул в объеме цилиндра; давлеH2R 2ние на расстоянии r от оси вращения (рис.
4.6):где n0 12 m12r 2 3p(r ) 4 n(r )kBT 4 N0kBT 5 A exp 6748 2kBT 9m12 R 2 /22 m12r 2 3exp4 n06 2k T 7.2 m12 R 2 389Bexp 67 18 2kBT 9(4.21)Давление на боковую стенку:11p(R ) 7 n0m42 R 2 2m42 R 2 631 1 exp 589 .2 2kBT (4.22)В предельных случаях имеем (рис. 4.6):1) при малых скоростях вращения (или при высоких температурах)m12 R 2a1 21 1, и можно пренебречь влиянием центробежных сил:2kBTm12 R 2 kBTp(R ) 2 n034 n0 kBT;2m12 R2Рис.
4.6Изменение давления p(r)газа в сосуде с увеличе?нием расстояния r от осивращения при условии,что температура Т посто?янна и определяется изусловия n0kBT = 1 атм, гдеN0n0 1. Кривые рассчи?H2R 2таны при разных а, соот?ветствующих разным ско?ростям вращенияГЛАВА 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА1052) при высоких скоростях вращения (или при низких температурах), т. е.m12 R 21 1, когда разупорядочивающим действием темпера6в пределе a3 22kBTтуры можно пренебречь, давление на боковую стенку сосуда создается всемимолекулами, собирающимися у стенки сосуда:p(R ) 2 n0fN0 m12 R 2m12 R 2343 N0 цб ,222SH5Rгде S = 2pRH — площадь боковой стенки цилиндра.1115 m42r 2 6 25 m42 R 2 6 3exp 8Ответ: p(r ) 7 n0m42 R 2 exp 899 11 ,2 2kBT 2kBT 11215 m42 R 2 63p(R ) 7 n0m42 R 2 1 1 exp 89 .2 2kBT kBT.2Ответ: вычисление средней потенциальной энергии приводит к слож6ной зависимости от температуры:Задача 4.3.
Убедитесь, что в условиях предыдущей задачи 12пот 3 4R456пот 7 82 m12 r 2 31(m12r 2 /2)dN (r ) 8 (m12r 2 /2) A exp 29rHdr 8N0 2kBT 02 ae a3 m12 R 2 2 e a138 kBT a4 1 8 (e a 4 1) 4 a .24e(1)Полученная зависимость потенциальной энергии от параметрапредставлена на рис. 4.7.kBT11a m22 R 2 /2В предельном случае низких тем612m32 R 21 1 6:ператур 5 a 4kT278B23пот 4 5 6m12 R 2m12 R 27 kBT 8 6;22при высоких температурах (a = 1):Рис. 4.7Зависимость áeпотñ от температуры23 пот 4 5 6m12 R 2.43адача 4.4.
Система с двумя дискретными уровнями энергии. Два цилинд6рических сосуда находятся на разных высотах в поле силы тяжести и соеди6нены друг с другом тонкой трубкой, объемом которой можно пренебречь посравнению с объемами V1 и V2 сосудов (рис. 4.8). Оси цилиндров вертикальны.Высота цилиндров H = h, где h — длина трубки, соединяющей сосуды.
Пол6ное число молекул идеального одноатомного газа, заполняющего сосуды, рав6но N0; температура Т. Не производя точных вычислений, нарисуйте пример6ный график зависимости средней энергии áEñ системы от ее температуры Т.106МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРис. 4.8Два вертикальных цилиндрических сосуда расположены в поле силы тяжести один над другим на расстоянии h и соединены тонкой трубкой, объемом которой можно пренебречь. Сосуды заполнены идеальным газом и имеют объемы V1 и V2. Высота цилиндровH=h1.
Чему равна средняя полная энергия газа áEñ в пределах очень низкой иочень высокой температуры?2. Вблизи какой температуры Тк средняя энергия меняется от низкотемпературной до высокотемпературной предельной зависимости?3. Получите точное выражение для средней энергии áEñ системы.4. Определите отношение числа молекул N2/N1 в сосудах и отношениедавлений газа в них p2/p1.Решение.
Так как температура газа в обоих сосудах одинаковая средняякинетическая энергия молекул в обоих сосудах также одинакова и для одноатомного газа энергия, приходящаяся на одну молекулу, áeкинñ = 3kВT/2. Потенциальная энергия молекул в верхнем сосуде на mgh = D больше, чем внижнем. Таким образом, полная энергия системы áEñ зависит от распределения молекул по сосудам. На распределение молекул по сосудам оказываютвлияние два фактора: разупорядочивающее действие температуры и полесилы тяжести, стремящееся собрать все молекулы в нижнем сосуде. Поэтому можно ожидать, что характерным параметром в данной задаче являетсявеличинаmgh(4.23)a1.kBTmgh1 1, кинетическая энергия моПри низких температурах, когда a 1kBTлекулы недостаточна, чтобы преодолеть потенциальный барьер D = mgh иперейти в верхний сосуд.
Поэтому естественно ожидать, что энергия будетприблизительно линейно расти с температурой вплоть до характерной темmgh2 1:пературы, при которой a 1kBTmgh(4.24)Tk 1.kBmgh1 1 потенциальный барьерВ пределе очень высоких температур a 1kBTстановится «неощутимым» для молекул, поэтому они свободно и равновероятно занимают все доступное пространство. В этой области температур полнаяэнергия также приблизительно линейно растет с температурой, но имеет постоянное, не зависящее от температуры слагаемое, равное потенциальной энергии молекул, находящихся в верхнем объеме: mgh × N2 = mghánñV2 (рис. 4.9).Точный расчет средней полной энергии системы áEñ:áEñ = áEкинñ + áEпотñ,ГЛАВА 4.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА(4.25)107сводится к вычислению средней потенци)альной энергии áEпотñ, так как для среднейкинетической энергии áEкинñ молекул од)ноатомного идеального газа можно исполь)зовать известное выражение:31 Eкин 2 3 N0 kBT.2(4.26)Распределение молекул по высоте z (вероят)ность нахождения в объеме dV на высоте z)описывается распределением Больцмана:Рис. 4.9Качественная зависимость среднейполной энергии газа от температуры2 1 3dP(z) 4 A exp 6 5 пот 7 dV .(4.27)8 kBT 9Положим потенциальную энергию молекул, находящихся в нижнем со)суде, равной нулю.Константа А находится из условия нормировки, которое в данной задачепринимает вид:13 2 0421 5 dP(z) 5 A 7 e kBT dV 6 e kBT dV 8 5V1 , V279V18V221113434225 A 97V1 6 V2 e kBT 8 , A 5 97V1 6 V2 e kBT 8 .(4.28)Средняя потенциальная энергия одной молекулы определяется по фор)муле средних значений:0114522267пот 8 9 7пот dP(z) 9 A 0 e kBT dV 3 1 e kBT dV 9 1 AV2 e kBT .V1 3 V2V2V1Подставляя значение константы А (4.28), получаем:45 пот 6 71 3 V2 e2V1 8 V2e1kBT21kBT.(4.29)Рис.
4.10Средняя потенциальная энергияáeпотñ, приходящаяся на одну мо)лекулу в зависимости от темпе)ратуры при V2 = 2V1108МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЗависимость áeпотñ (4.29) от температуры представлена на рис. 4.10, гдедля численных расчетов принято V2 = 2V1.Окончательно средняя полная энергия системы равна1342kBTVe15367.2(4.30)8 E9 N0 [8кин 9 8пот 9] N0 kBT 1 76226V1 V2 e kBT 71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
