Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Казалось бы, ничего не должно изменить6ся, если рассмотреть движение в некотором объеме V маленького шарика,имеющего диаметр порядка 1 мм, и, непрерывно уменьшая его размер и мас6су, перейти к описанию движения молекулы. Однако такой подход оказыва6ется неправильным. Измерения показывают, что импульс шарика можетизменяться непрерывно, в то время как импульс молекулы может изменять6ся только дискретно, квантами. Переход в микромир — это переход к зако6нам квантовой физики.Представим, что за движением пешехода следят два наблюдателя: одиннаходится на вертолете, а другой — в нескольких шагах от пешехода. Пер6вый наблюдатель описывает движение пешехода как непрерывное переме6щение вдоль дороги, второй наблюдатель регистрирует, что движение явля6ется пошаговым, «квантованным».В микромире у микрочастиц «шаговое» изменение импульса частицысвязано с ограниченностью ее перемещения в координатном пространст6ве.
Из экспериментов известно, что микрочастица ведет себя как волна сволновым вектором k, связанным с импульсом частицы уравнением деБройля p = hk, где h = 1,07×10–34Дж×с — постоянная Планка. Максималь6но возможная длина волны l частицы, движущейся в объеме куба L3 внаправлении его граней (осей координат), равна L. Максимальной длинеаРис. 2.5Значения проекций им6пульса в одномерном (а),двумерном (б) и трехмер6ном (в) случаях (на осиOX, OY, OZ соответствен6но) у молекулы газа, за6ключенной в объеме V == L3, могут быть толькодискретными, кратными2ph/LвбГЛАВА 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
ТЕМПЕРАТУРА51волны l max соответствует минимально возможное значение импульсаpmin = hkmin = 2ph/lmax = 2ph/L, которое и представляет собой минималь0ный «шаг» при изменении проекций импульса р на оси ОХ, OY, OZ равенDpx = Dpy = Dpz = 2ph/L.Это означает, что при прямолинейном движении частицы вдоль оси ОХее импульс может принимать только значения, отмеченные точками нарис.
2.5а.Если частица движется в двумерном координатном пространстве, то раз0решенным значениям импульса pi на плоскости (px – py) соответствуют цен0тры квадратов со стороной 2ph/L (рис. 2.5б).При движении в трехмерном координатном пространстве разрешеннымзначениям импульсов соответствуют центры кубиков со сторонами 2ph/L(рис. 2.5в).Поскольку импульс характеризует состояние частицы в импульсном про0странстве, кубик со стороной 2ph/L представляет собой одно квантовое состояние частицы в импульсном пространстве, объем которого равен1 234px 5 4py 5 4pz 6231.L(2.19)Если известен импульс р = (px, py, pz) частицы массой m, то известна и еекинетическая энергия Е, т. е.
энергетический уровень, на котором находит0ся данная частица:py2p2p2p2E11 x 22 z .(2.20)2m 2m 2m 2mЕсли известно, что значение энергии частицы заключено в интервале(E, E + dE), то в импульсном пространстве существует множество кванто0вых состояний с такой энергией, отличающихся направлением импульса р.Эти состояния заключены в сферическом слое (рис.
2.6), радиус которого pEопределяется из (2.20):pE 1 2mE .(2.21)Дифференцируя уравнение (2.21), получаемсвязь интервала энергии dE с толщиной сфе0рического слоя dpE:dpE 1Рис. 2.6Шаровой слой, в котором находят0ся квантовые состояния молекулыидеального одноатомного газа, на0ходящейся в объеме V = L3 и имею0щей значение энергии в интервале(E, E + dE) и импульс pE 1 2mE52mdE.2E(2.22)Полное число состояний, имеющих однуи ту же энергию, называется степенью вырождения данного энергетического уровняg(E).Число G1 доступных состояний одной ча0стицы, находящейся в объеме V = L3 и обла0дающей энергией в интервале (E, E + dE),равно объему шарового слоя 41pE2 2 dpE , де0МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРис.
2.7При фиксированной ширине энергетическогоинтервала dE с ростом энергии частицы (E1 ®E2 ® E3) ширина сферического слоя dp ~ dE / E(2.22) в импульсном пространстве уменьшает+ся dp1 > dp2 > dp3, а степень вырождения (2.23)растет пропорционально Eленному на объем (2ph/L)3 одного квантового состояния в импульсном про+странстве:31 4 g ( E) 541pE2 2 dpE 21(2m)3/25V EdE.(211 / L)3(211)3(2.23)Число состояний G1 º g(E), соответствующих одному и тому же интерва+лу энергии (E, E + dE), с ростом энергии (E1 ® E2 ® E3) растет пропорцио+нально EdE (2.23), несмотря на то, что в импульсном пространстве шири+на dp ~ dE / E соответствующего сферического слоя уменьшается с ростомэнергии: dp1 > dp2 > dp3 (рис.
2.7).Рассмотрим систему, состоящую из N молекул, находящихся в кубиче+ском сосуде объемом V = L3, где L — длина грани куба. Определим числодоступных состояний этой системы со значением энергии меньше Е, гдеNE 1 2 Ei ,i 11а Ei — энергия i+й частицы. Состояния всех N частиц в импульсном про+странстве описывается 3N+параметрами: (p1x, p1y, p1z, p2x, p2y, p2z, ... pNx, pNy,pNz).
Поэтому искомые состояния находятся внутри 3N+мерной сферы, ради+ус рЕ которой в импульсном 3N+мерном пространстве также определяетсясоотношением (2.21): pE 1 2mE. Действительно, максимальное значение,которое может иметь, например, p1x, определяется условием, что все проек+ции импульсов всех других частиц равны нулю, а также p1y = p1z = 0.В одномерном случае число состояний W1, энергия которых £E, пропор+ционально длине интервала 2pE (удвоение происходит из+за учета как поло+жительных, так и отрицательных импульсов):11 22 pE~ L 3 pE ~ L E.241 / LВ двумерном случае W2 пропорционально площади круга с радиусом pE:22 31pE2~ L2 4 pE2 ~ L2 E.(211 / L)2В трехмерном случае W3 пропорционально объему шара с радиусом pE:4 1pE323 3~ L3 4 pE3 3 V 4 E3/2 .3 (211 / L)3ГЛАВА 2.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ТЕМПЕРАТУРА53Следовательно, по аналогии можно ожидать, что в 3Nмерном простран(стве для импульсов N молекул число состояний W3N пропорционально13 N ~ L3 N 2 pE3 N 3 V N 2 E3 N /2 .Определяя приращение dW3N при бесконечно малом возрастании энергииdE, получаем число состояний, энергия которых лежит в интервале (E, E + dE):G3N = dW3N~VNE3N/2–1dE.Поскольку число молекул в газах очень велико, в показателе у энергии Еможно пренебречь единицей.
Тогда окончательно получаем выражение дляполного числа доступных состояний G(E, V, N) изолированной системы из Nодноатомных молекул идеального газа, имеющего энергию в интервале зна(чений (E, E + dE):G(E, V, N) ~ VNE3N/2dE.(2.24)Выше был рассмотрен случай, когда вероятность, с которой частица име(ет энергию Е, не зависит от ее положения в объеме V. Если система находит(ся в некотором внешнем поле и энергия частиц различна в разных точкахобъема: E = E(ri), то для N частиц следует рассматривать не только 3N(мер(ное импульсное пространство {pi}, а 6N(мерное фазовое пространство {ri, pi} —пространство координат r и импульсов p.
В этом случае квантовое состоя(ние частицы в координатно(импульсном фазовом пространстве занимаетобъем Dpx × Dpy × Dpz × Dx × Dy × Dz = (2ph)3. Число состояний в фазовом объемеdpx × dpy × dpz × dx × dy × dz º dtpdtr равноdN 3dpx 1 dpy 1 dpz 1 dx 1 dy 1 dz d2 p d2r.4(251)3(251)3Вероятность нахождения частицы в элементе фазового пространстваdtpdtr = dpx × dpy × dpz × dx × dy × dz вблизи точки (px, py, pz, x, y, z) фазового про(странства можно рассматривать как вероятность, с которой частица имеетзаданную энергию E(p, r), соответствующую этому элементу фазового про(странства.2.4. НЕИЗОЛИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ.УСЛОВИЕ ТЕПЛОВОГО РАВНОВЕСИЯ.ТЕМПЕРАТУРАТеперь кратко рассмотрим взаимодействующие системы и определимусловия их равновесия.
Более подробно эта тема будет рассмотрена в главе 5.Существует два вида взаимодействий.1. Тепловое взаимодействие — взаимодействие с обменом энергией прификсированных внешних параметрах. При этом уровни энергии остаютсянеизменными. Энергия, приобретенная системой при фиксированных внеш(них параметрах, называется теплотой, поглощенной системой (рис. 2.8а):(DE)1 = DQ.2. Адиабатическое, или механическое, взаимодействие — обмен энерги(ей между взаимодействующими термически изолированными системами приизменении хотя бы одного из внешних параметров (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
