Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Радиус*вектор частицы является случайной величиной, все зна*чения которой можно разделить на две категории.1. Радиус*вектор соответствует точкам в объеме w. Это благоприятныезначения координат, которые каждая молекула принимает с вероятностьюwp1 .(1.80)VЗаметим, что в модели идеального газа молекулы считаются материаль*ными точками, поэтому вероятность появления частицы в объеме w не зави*сит от наличия в нем других частиц.ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ВЕРОЯТНОСТЬ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ392. Радиусвектор соответствует точкам вне выделенного объема w. Этонеблагоприятные значения координат, которые молекула принимает с вероятностьюwq 112 p 112 .(1.81)VПри условиях задачи для определения макроскопических характеристиксистемы применимо биномиальное распределение:P(m) 2N!pm q N 1m ,m !( N 1 m)!1m2 3 Np 3Nw 3 nw,V(1.82)(1.83)где N — полное число молекул в объеме V; n = N/V — средняя концентрациямолекул.22m 3 Npq 3 nw V 1 w 4 nw 3 5m6.(1.84)V1.
Используя уравнение состояния идеального газа (будет получено ниже)pA = n0kВT (где постоянная Больцмана kВ = 1,38×10–23Дж/К), находим среднюю концентрацию молекул:pn0 2 A 3 2,7 4 1025 м 13 ;(1.85)kВTпо формуле (1.83) определяем среднее число молекул в объеме w = 1 см3:ámñ = n0w = 2,7×1019 частиц;(1.86)и по формуле (1.84) — стандартное отклонение от среднего ámñ:1m 2 3m4 5 5,2 6 109 частиц.2. По биномиальному распределению объем w окажется пустым (m = 0)с вероятностью122,73102515610255 expln[(1 4 1046 )2,7310 ] 6 exp[42,7 3 1019 ].P(0) 5 q N 5 1 4Для получения ответа на второй вопрос задачи можно было также воспользоваться распределением Пуассона, так как w = V, N — велико иwp 1 1 1,(1.87)V1m2 3 NПоэтомуP(0) 5 1m20 e3w1 N.V1m20!(1.88)5 e 32,7410 .19Как видим, вероятность отсутствия молекул газа в выбранном объеме wпренебрежимо мала.40МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ3.
Благодаря условиям (1.87)–(1.88) вычисление вероятности P(ámñ) зна+чительно проще выполнить, используя распределение Гаусса (1.61), чем би+номиальное распределение.Подставляя в распределение ГауссаPG (m) 511e4 26( m 12 m 3 )22 42значения 1m 2 3m4 5 5,2 6 109 и m = ámñ, получаем:PG (2m3) 415 7,7 6 10111.7 28(1.89)Заметим, что 7,7×10–11 — это максимальное значение вероятности, веро+ятность любого другого числа частиц m в объеме w будет меньше.
Такая ма+ленькая вероятность означает, что максимум распределения Гаусса для мо+лекул в объеме w должен быть достаточно широким, чтобы выполнялосьусловие нормировки.4. За полуширину распределения Гаусса принимается такое отклонениеd от среднего значения ámñ, для которого вероятность в e раз меньше макси+мальной (рис. 1.15):P(1m2)P(1m2 3 4) 5.eЭто означает, что показатель экспоненты для вероятности d+отклоненияот среднего значения равен единице:(m 1 2m3)2425 2 5122626и1 2 3 2 2 2Npq 4 5,2 5 109 2 4 7,3 5 109.Таким образом, если объем w покинут ~10 9 частиц, то вероятностьуменьшится только в е раз. Следовательно, возможны значительные флук+туации числа частиц в объеме w, хотя в то жевремя относительная флуктуация (доля мо+лекул, участвующих во флуктуации) оченьмала:2 2m342556 2,7 7 10110.2m32m32m3С увеличением числа частиц системы, с однойстороны, растет ширина 1 2 2Npq распреде+ления PG(m), а с другой — во столько же разуменьшается величина его максимума:P(1m2) 30,561134.56 27 5 7Рис.
1.15К определению шириныраспределения ГауссаГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ВЕРОЯТНОСТЬ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ41Вопрос для самопроверки.Во сколько раз вероятность состояния, когда в объеме w находится числомолекул, равное среднему числу частиц ámñ, больше вероятности состоянияпри наличии отклонения от среднего числа частиц на 2d?Ответ: PG (1m2 3 24) 5P(1m2) P(1m2)P(1m2)6и6 54,6.54,6PG (1m2 3 24)e4ЗАДАЧИДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯКОМБИНАТОРИКАЗадача D1.1. Доказать, что число способов появления 10 очков при трех;кратном бросании игральной кости равно коэффициенту при х10 в многочле;не (x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)3 и равно 27.Задача D1.2. В ящике n = 5 разноцветных шаров.
Определить вероятностьизъятия шаров в определенной, наперед заданной последовательности безвозвращений шаров.Ответ: P(A) = 1/Pn = 1/5! = 1/120.Задача D1.3. В колоде n = 36 карт. Карты вынимаются и в колоду не воз;вращаются. Найти вероятность изъятия подряд m = 3 карт одной масти, на;пример червей (событие А).9 8 712 21 .Ответ: P( AAA ) 1 P( A) 2 P( A / A ) 2 P( A / AA ) 136 35 34 85БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕЗадача D1.4. Сосуд, содержащий N молекул идеального газа, разделенмысленно на две равные по объему части А и В.1. Какова термодинамическая вероятность наиболее вероятного распре;деления N молекул по объемам А и В сосуда?2.
Чему равно полное число доступных состояний всей системы?3. Чему равна вероятность наиболее вероятного распределения N моле;кул по объемам А и В в случае N = 6?4. С какой вероятностью N1 молекул окажутся в объеме А? Найти чис;ленные значения для N = 6 и N1 = 0, 1, 2.Ответ:N!, 1 0 2 2N ;( N /2)!( N /2)!N!6!5P( N /2, N /2) 2 1 / 10 2222 0,312;N616( N /2)!( N /2)!23!3!2N!6!1P( N1, N ) 2, P(0,6) 223 0,016;( N1 )!( N 4 N1 )!2N0!6!26 646!36!15P(1,6) 222 0,094, P(2,6) 222 0,234.1!5!26 322!4!26 641( N /2, N /2) 2 CNN /2 242МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЗадача D1.5. Давление идеального газа при температуре Т = 300 К равнор = 1 атм.
В каком объеме газа w относительная флуктуация числа молекулравна a = 0,001? Чему равно среднее число молекул в этом объеме?k T11 B 2 1 0,04 мкм3 1 [0,34 мкм]3 , Nw = n0w = 1/a2 = 106.Ответ: w 12n0 2p2Задача D1.6. N = 100 молекул водорода находятся при температуре 300 Кв сосуде кубической формы.
Сторона куба а = 1 см. Какое вероятное времянаблюдения Тн требуется для появления события, при котором все молекуAлы соберутся в одной половинке сосуда? Можно считать, что минимальноевремя t существования данного события равно времени пролета одной молеAкулой расстояния, равного размеру сосуда 1 см.a2M4a4 5,6 5 1014 c, Tн = t × 2N =Ответ: так как P(0, N) = t/Tн, где 3 48RT6 v7= t × 10Nln2/ln10 » 5,6×1026c » 2×1019 лет.ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ВЕРОЯТНОСТЬ.
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ43ГЛАВАСТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.РАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЕ.ТЕМПЕРАТУРАЭто был только грубый набросок, болванка, воплоще*ние голого принципа, остров мечты.В. Набоков. «Король, дама, валет»Статистическая термодинамическая система содержитбольшое (порядка числа Лошмидта ~1019 в см3) число частиц, энергия кото*рых является случайной величиной. Задание только одной интегральной ве*личины в термодинамике — энергии — заменяет собой задание огромногоколичества начальных условий для уравнений движения всех отдельныхчастиц, составляющих макроскопическую систему, которое потребовалосьбы для ее описания в классической механике.Статистический метод в термодинамике был развит позднее, но он нетолько дает обоснование термодинамического подхода к молекулярной фи*зике, но и позволяет вычислять макроскопические характеристики систе*мы, которые могут быть определены экспериментально, раскрывает физиче*скую сущность термодинамических характеристик, таких как давление, тем*пература и энтропия.Статистическая термодинамика (равновесная) — раздел статистическойфизики, в котором находят обоснование законы общей феноменологическойтермодинамики равновесных состояний и равновесных процессов, выводят*ся уравнения состояний, вычисляются термодинамические характеристикимакроскопических систем на основании свойств частиц и взаимодействиймежду ними.2.1.
О ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОМСТАТИСТИЧЕСКОМ ЗАКОНЕПредположим, что у вас в руках кусок кинопленки, на которой заснятфильм, демонстрирующий абсолютно упругое соударение двух шариков(рис. 2.1). Можете ли вы определить, какие скорости были у шариков в нача*ле и каковы они стали после взаимодействия? Другими словами, как пра*вильно расположить ось времени (или в каком направлении рассматриватьэтот обрывок ленты), чтобы она соответствовала поставленному в демонстра*ции эксперименту?44МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРис. 2.1Обратимость во времениабсолютно упругого удара двухшариков (светлого и темного)Рис. 2.2Необратимость во времени процесса перемешивания молекул (темные кружки)из объема w и молекул (светлые кружки) из объема W.
В течение процесса происходит большое количество абсолютно упругих соударений молекул друг с другом и со стенками сосудовОказывается, это невозможно, так как абсолютно упругие удары обратимы во времени.Теперь предположим, что у нас имеется достаточно большой объем W сгазом, молекулы которого обозначены белыми шариками на рис. 2.2. В сосуд W помещен небольшой объем w с другим газом (темные шарики). Молекулы газов соударяются друг с другом, и эти удары можно считать абсолютно упругими. Удалим одну из стенок маленького сосуда w и снимем на видеопленку процесс распространения темных молекул по объему W.Молекулы в сосуде совершают тепловое хаотическое (случайное) движение. Система «забывает» о начальных условиях. Наблюдаемый процесс, каксмена состояний системы, описывается статистическими (вероятностными)законами.
Один из таких законов (II закон термодинамики) определяет направление («путь»), по которому система движется к своему наиболее вероятному равновесному макроскопическому состоянию.Хотя каждое отдельное взаимодействие молекул является обратимым,весь процесс необратим, так как трудно себе представить, что в каком-нибудь реально обозримом будущем все темные молекулы вновь соберутся вмаленьком объеме w, так как вероятность такого события мала.Понять рассматриваемые в молекулярной физике процессы невозможно, не используя статистические законы.2.2. ОПИСАНИЕ ИЗОЛИРОВАННОЙ СИСТЕМЫДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНОписание макроскопических термодинамических (энергетических) си'стем осуществляется на основе вероятностных представлений по той же схеме, что и в случае, например, опытов с монетами.1.
Перечисление доступных микросостояний системы.2. Подсчет числа микросостояний с заданным значением макропараметра (термодинамическая вероятность макропараметра).ГЛАВА 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ТЕМПЕРАТУРА453. Использование статистических постулатов.4. Вычисление вероятностей.Содержание вышеуказанных пунктов для энергетических систем сле2дующее.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
