Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е. 12 карт из 36 (рис. 1.2). Таким образом,вероятность P(A + B) = 12/36 = 1/3.Ответ: 1/3.14МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЗадача 1.11. Определить вероятность того, что при n бросках игральнойкости выпадает одна и та же, наперед заданная цифра (событие А).Решение. Так как n бросаний кости являются независимыми,1P ( AA... A ) 1 [P( A )]n 1 n ,123246n членовгде P(A) = 1/6 — вероятность благоприятного исхода при однократном бро9сании.Ответ: P(An) = [P(A)]n = 1/6n.1.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА.МИКРО И МАКРОСОСТОЯНИЯ.БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕТот, кто видит рост вещей с начала, тот имеет самоелучшее представление о них.АристотельСтатистическая система — это совокупность большого числа частиц (ато9мов, молекул и т.
д.), изучаемых методами статистической физики.Простейшей системой, близкой к реальным молекулярным системам,является идеальный одноатомный газ. Но и эта система достаточно сложна,так как каждая частица из n ~ 1019 см–3 (n — число молекул идеального газа,находящихся в одном кубическом сантиметре, при нормальных условиях:давлении р = 1 атм и температуре T ~ 0°C) имеет шесть степеней свободы:три координаты и три компоненты импульса, например: x, y, z, px, py, pz.Значения импульсов и координат любой частицы в произвольный моментвремени невозможно предсказать точно. Поэтому все шесть параметров,определяющих состояние молекулы, являются случайными величинами, амолекулярная система — статистической системой.Целью анализа статистических систем является определение их макро9скопических характеристик (макропараметров).
Например, в случае идеаль9ного газа нас интересуют полная энергия системы и суммарное действие всехмолекул на стенки сосуда, т. е. давление и др. Суммарную характеристикузапишем в видеnA (t) 1 2 ai (t),i 11где A(t) — значение суммарной характеристики в момент времени t; ai(t) —значение этой характеристики для i9й частицы.Принципиально, что каждое слагаемое ai(t) можно было бы рассчитатьна основании законов механики (при известных начальных условиях). Од9нако практически это сделать невозможно.
Поскольку значения ai(t) зави9сят от большого числа факторов, характеристики A(t) и ai(t) рассматривают9ся как случайные величины и описываются статистически.Статистический метод описания базируется на знании «микроскопиче9ского строения» системы. Поэтому статистическая теория является микроскопической.ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ВЕРОЯТНОСТЬ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ15Микропараметры — характеристики одной частицы статистической сис&темы, определяющие ее состояние в этой системе случайных величин.Микросостояние статистической системы — это состояние, задаваемоезначениями всех случайных величин для всех частиц системы, что соответ&ствует наиболее подробному описанию системы.Макропараметр — величина, которая может быть определена с помощьюмакроскопических измерений, ее значение зависит от суммарного действиявсех частиц системы.Макросостояние — состояние системы, описанное с помощью макроско&пически измеряемых параметров — макропараметров.Функция (закон) распределения случайной величины — это функция,определяющая вероятность каждого состояния из числа доступных состоя&ний или плотность вероятности (см.
определение ниже) случайной вели&чины.Цель описания случайной величины — получение функции распределе&ния случайной величины, которая используется для вычисления среднихзначений макроскопических параметров и стандартных отклонений от сред&них значений:определениеописаниестатистическийслучайной 11 средних значенийзаконвеличинымакропараметров.Рассмотрим сначала системы, значения случайных величин в которыхне связаны с энергией системы. В частности, для идеального газа к такойсистеме случайных величин относятся координаты частиц при условии, чтогаз не находится в каком&либо потенциальном поле.Перед тем как перейти к рассмотрению идеального газа как статистиче&ской системы, рассмотрим простейшую модель статистической системы,определим основные характеристики статистических систем, введем поня&тие статистического метода описания систем случайных величин и рассмот&рим действие статистических законов на примере следующей задачи.Задача 1.12. Четыре n = 4 одинаковые монеты одновременно подбрасы&ваются и падают орлом (о) или решкой (r) вверх.
Какова вероятность P(n, m)выпадения m решек при одном броске? Число выпадающих решек при од&ном опыте в данной задаче является макропараметром. Каково среднее зна&чение ámñ числа выпадающих решек, если опыты продолжаются достаточнодолго (в пределе бесконечно долго)? Найти стандартное отклонение sm числаm выпадающих решек от среднего значения ámñ.Решение. Выпадение орла (о) или решки (r) для одной монеты являетсяслучайной величиной. Суммарное число m решек в системе (макропараметрсистемы), состоящей из четырех случайных величин, также является слу&чайной величиной.
При описании макроскопической случайной величины(числа решек в системе) используем два подхода: эмпирический и статисти&ческий.16МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЭМПИРИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕМАКРОСКОПИЧЕСКОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫВычисление вероятности выпадения m решек эмпирическим путем осно+вано на определении частоты появления случайного события.Частота появления случайного события — отношение числа благоприят+ных исходов опытов N(m) к полному числу N произведенных опытов: N(m)/N.Проделаем (мысленно) следующий эксперимент. Каждому из студентовпредлагается сделать один опыт: бросить монету четыре раза и подсчи+тать число выпавших решек и орлов. Результаты всех опытов записывают+ся на доске.
В табл. 1.1 представлены данные опытов Nexp = 20 студентов.В табл. 1.2 обобщены опыты Nexp = 10 первых студентов, в табл. 1.3 — опы+ты всех Nexp = 20 студентов.На рис. 1.3 представлены зависимости частот n(m) = N(m)/Nexp появленияm решек в Nexp опытах (у Nеxp студентов) в зависимости от m. Видим, что часто+та появления зависит от Nexp. Однако если увеличивать число экспериментов(студентов), то не монотонно, но с увеличением числа опытов Nexp разбросточек на графике будет уменьшаться и гистограмма будет приближаться кнекоторой окончательной форме, определяющей статистический закон:вероятность появления m решекпри бесконечном числе опытовlim 3(m) 4 limNexp 12Nexp 12N (m)4 P(m). (1.17)Nexp1 2 3 4 5 6 2 7 89871233456784976695397667849267655616767766784926765561676776123232112323232421213212424252621425262624212162526272124217232328232321821242923232192323223232121242242121232321526252352421211 2 3 4 5 6 2 7 8971 2 3 4 5 6 2 7 89712324566758397785885638123245667583977895788563881123888397328112388839731123128121123832138131123821312431123214562313124315272148125161246182921471271712471327214812613124317252141621ГЛАВА 1.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ВЕРОЯТНОСТЬ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ17Рис. 1.3N (m)появле+Nexpния m решек в Nexp опытах взависимости от m приNеxp = 10 и Nеxp = 20Частота 1(m) 2В механике, например, зная силы, действую+щие на материальную точку известной массы,можно «предсказать» движение точки, основы+ваясь на законах динамики. Аналогично, осно+вываясь на полученной зависимости P(n, m) —законе статистики, можно «предсказать», напри+мер, у какого числа студентов N(3) выпадет 3решки, если в эксперименте принимают участиеN студентов, каждый из которых подбрасываетмонету четыре раза:N(3) = N × P(n = 4, m = 3) = N × P(4, 3).«Предсказание» это будет не точным (в отли+чие от механики), а наиболее вероятным.Можно предсказать (и это главное!) наиболее вероятное значение мак+ропараметра m.
Не точное состояние системы (в отличие от механики), анаиболее вероятное ее состояние. Статистический закон распределениямакропараметра числа решек P(n, m) (вероятность из общего числа n опы+тов иметь m благоприятных) в данной задаче описывается биномиальнымзаконом. Напомним, что P(n, m) — это вероятность, с которой в системе изn частиц m частиц находятся в благоприятном состоянии. Вывод аналити+ческой формулы биномиального закона P(n, m) наиболее нагляден при ста+тистическом описании системы.СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНСтатистическое описание микроскопической случайной величины (од+ной частицы системы) включает в себя определение всех возможных (дос+тупных) состояний этой величины и вероятностей, с которыми она их при+нимает, т. е. определение закона распределения случайной величины.В нашем случае случайная величина может принимать только два значе+ния: орел или решка, выпадение которых равновероятно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
