Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В течениеодного периода случайная величина бывает в интервале (x, x + | dx |) дважды:время | dt1 | при прямом движении и | dt2 | = | dt1 | при обратном движении (здесь,как и раньше, по смыслу записи | dt | и | dx | — модули соответствующих диф7ференциалов).
Следовательно,1 (x)dx 7 lim 4 t(x, x 3 dx) 5 7 lim 4 k(| dt1 | 3 | dt2 |) 5 7 2 | dt | .699 k 12 8texpkT0T0texp 12 8(1.57)Из (1.57) вытекает, что1 (x) 2 2 | dt | ,1T0 | dx |а посколькуdx21212 A3 |sin(3t 4 5)|2A 2 6 [ A cos(3t 4 5)]2 2A 2 6 x2 ,dtT0T0окончательно получаем:1 ( x) 211.3 A 2 4 x2(1.58)Вывод.
Одинаковые результаты (1.54) и (1.58) решения задачи двумя спо7собами подтверждают справедливость эргодической гипотезы, согласно ко7торой частотное и временно´е определения вероятностей совпадают, а усред7нение случайной величины по времени за время наблюдения texp ® ¥ тож7дественно усреднению случайной величины по ансамблю, содержащемуNexp ® ¥ идентичных статистических систем:P(x, x 3 dx) 4 limNexp 12N (x, x 3 dx) 11 (x)dx 4 lim t(x, x 3 dx) .4 P(x, x 3 dx) 4 5Nexptexptexp 12Приведем в заключение четыре определения вероятности макросостояния.Эмпирическая вероятность m7макросостояния для дискретных случай7ных величин:1) предел частоты N(m)/Nexp появления m благоприятных исходов у од7ной системы случайных величин при числе опытов Nexp ® ¥N (m)4 P(m);lim 3(m) 4 limNexp 12Nexp 12 NexpГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.
ВЕРОЯТНОСТЬ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ292) предел отношения числа N(m) систем с m&макропараметром к полномучислу Nsis систем в ансамбле при Nsis ® ¥limNsis 12N (m)3 P(m).NsisЭмпирическая вероятность m&макросостояния для системы, состояниекоторой непрерывно изменяется со временем:3) предел отношения времени t(m) пребывания системы в m&макросостоя&нии ко времени наблюдения Texp при Texp ® ¥limTexp 12t(m)3 P(m).TexpСтатистическая вероятность:4) отношение числа N(m) благоприятных состояний к числу доступныхсостояний G0N (m)1 P(m).20Вероятности, соответствующие первому и второму определениям, с оче&видностью одинаковы.Вероятности, соответствующие первому и третьему определениям, рав&ны друг другу на основании эргодической гипотезы.Вероятности, соответствующие первому и четвертому определениям, рав&ны друг другу на основании основного постулата статистической физики.1.7.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМЫБИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА И ГАУССАБиномиальный закон P( N, m) 2N!pm q N 1m приводится к видуm !( N 1 m)!P(m) 42m3m 12m3e,m!(1.59)называемому распределением Пуассона, при следующих трех условиях:1) число частиц (случайных величин) N ? 1 (в пределе N ® ¥);2) вероятность р реализации благоприятного события для одной случай&ной величины очень мала: p = 1;3) Np = const.(1.60)Как и для биномиального распределения, для распределения Пуассонасреднее значение случайной величины ámñ = Np и дисперсия 12m 2 Npq.Характерной особенностью распределения Пуассона (1.59) является егозависимость только от среднего значения m&макропараметра ámñ = Np.
Рас&пределение Пуассона не зависит ни от числа опытов N, ни от вероятностипоявления искомой случайной величины р в каждом отдельном опыте, как вслучае биномиального распределения.Это распределение часто используется в тех случаях, когда нужно найтивероятность обнаружения небольшого числа объектов (ámñ = N) в N ? 1 про&30МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХизведенных опытах (случайных выборках) при условии, что вероятность по2явления этих объектов в каждом опыте мала (p = 1).Нормальное распределение Гаусса. Другим важным предельным случа2ем биномиального распределения является непрерывное распределение Га2усса, функция плотности вероятности которого имеет вид:PG (m) 511e4 26(m 12 m 3 )2242,(1.61)где ámñ = Np — среднее значение макропараметра m; 1 2 1m 2 Npq — сред2неквадратичное отклонение от среднего значения.
Распределение Гаусса ис2пользуется1) для систем с большим числом частиц N ? 1 (как и в случае распределе2ния Пуассона): N ® ¥;2) для значений m, близких к ámñ;3) при малом шаге изменения макропараметра Dm = s.Высокий и острый при N ? 1 максимум биномиального распределенияP(m) заменяется непрерывной (так как Dm = s) экспоненциальной функци2ей Гаусса:P(m) = PG(m)dm.При этом несколько отличаются крылья, соответствующие значениямm, для которых P(m) = P(ámñ).Заметим, что вычисления по формуле распределения Гаусса гораздо про2ще вычислений по формуле биномиального распределения, так как распре2деление Гаусса не содержит факториалов.Примером применения распределения Гаусса является расчет относитель2dN, попавших в площадку dS с координатами (x, y, 0) приного числа пульNстрельбе в мишень (параллельно оси OZ) с намерением попасть в центр(0, 0, 0).Функция плотности вероятности для х2координаты пули имеет стандарт2ный вид (1.61):1 exp 1 4 x2 2.fG (x) 35 272 67x 289x Плотность вероятности попадания в точку с координатой r 1 x2 2 y2 рав2на fG(r) = fG(x) × fG(y), так как случайные величины x и y являются независи2мыми.
Для s2 имеем12 2 3r 2 4 2 3x2 4 5 3 y2 4 2 23 x2 4 2 212x .Таким образом, вероятность отклонения r пули от центра (r = 0) описы2вается распределением Гаусса с плотностью вероятности221fG (r ) 3 2 e 1r / 2 .42Среднее относительное число пуль, попадающих в площадку dS = dxdy,равноdN (x, y)213 2 e 1(r / 2) dxdy,N42ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ВЕРОЯТНОСТЬ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ31а попадающих в кольцо с радиусом r и площадьюdS = 2prdr (рис.
1.8)dN(r )213 2 e 1(r / 2) 24rdr.N42Рис. 1.8Мишень с отметками отпуль (сверху). Гистограм7ма попадания N = 18 пульв кольца шириной Dr и ве7роятность попадания пулина расстоянии r от центрамишени(1.62)На рис. 1.8 изображена функция плотности ве7роятности fG(r) и гистограмма попадания N = 18пуль в кольца, имеющие одинаковую ширину Dr.Замечание. Распределению Гаусса (или нормаль7ному распределению), описывающему вероятностьмалых отклонений от среднего значения, подчиня7ется широкий круг случайных величин. Если слу7чайная величина зависит от большого числа (в пре7деле N ® ¥, а реально при N ³ (30/50)) независимыхслучайных факторов, каждый из которых не пре7валирует над остальными, то такая случайная ве7личина распределена по нормальному закону.Вернемся к задаче 1.14, где определялась сум7марная ошибка при измерении метровым брускомрасстояния 50 м. Распределение ошибки xi в каж7дом из N = 50 опытов в этой задаче прямоугольное,равновероятное, а суммарная ошибка y 1 2 xi , так7iже являющаяся случайной величиной, подчиняется распределению Гаусса сплотностью вероятностиfG (y) 3 Ce1y2222 ,(1.63)где константа С находится из условия нормировки:14 fG (y)dy 3 1.21Используя табличное значение интеграла15 e2x dx 42получаем03,21.2 23Дисперсия случайной величины y, полученная в задаче, равна 12y 2 n3x2 4 22 2/3 см2 .Таким образом, для плотности вероятности распределения ошибки, из7меряемой в сантиметрах, получаем формулу (рис.
1.9):C1fG (y) 23 1e2 33 y24 ,(1.64)с помощью которой можно определить, например, вероятность того, что ошиб7ка лежит в интервале –0,01 см < y < + 0,01 см. Поскольку ширина интерва732МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРис. 1.9График функции плотностивероятности fG(y) (1.64) дляслучайной величины у, яв'ляющейся суммарной ошиб'кой, при 50'кратной уклад'ке метровой линейки (зада'ча 1.14). Среднее значениеошибки áyñ = 0, дисперсияs2 = 2/3. Затемненная пло'щадь равна вероятности по'падания ошибки в интервал–sy < y < + syла мала: 1y 2 0,02 см 1 3 2 2/3 см 4 0,82 см, можно воспользоваться прибли'женным вычислением:3PG 2 fG (0)3y 40,02 2 9,8 5 1013 2 1%.2 6Задача 1.16.
В среднем на 1000 лотерейных билетов приходится одинвыигрышный. Какова вероятность хоть что'нибудь выиграть при покупке:1) 100 билетов; 2) 1000 билетов?Решение. Покупку одного билета можно рассматривать как один опыт(одно испытание).В первом случае проводятся N = 100 испытаний (N ? 1).
По условию за'дачи вероятность выигрыша в одном испытании равнаp111 1.1000(1.65)Среднее число выигрышных билетов ám1ñ при N = 100 испытанияхám1ñ = Np = 100/1000 = 0,1 = N.(1.66)При таких условиях для определения вероятности P(m) произвольногочисла m выигрышных билетов применимо распределение Пуассона (1.59),которое при ám1ñ = 0,1 принимает вид:P(m) = (0,1)mexp[(–0,1)/m!].Расчет по формуле (1.67) вероятностей:– отсутствия выигрышаm = 0:– выигрыша одного билетаm = 1:– выигрыша двух билетовm = 2:– выигрыша трех билетовm = 3:Вероятность хоть что'нибудь выиграть(1.67)P(0) = 0,9048;P(1) = 0,0905;P(2) = 0,0045;P(3) = 0,0002.P(m ³ 1) = 1 – P(0) = 1 – 0,9048 = 0,0952(1.68)немного больше, чем вероятность выигрыша одного билета, и составляет око'ло 10%.Поскольку во втором случае покупается в 10 раз больше билетов, можноли ожидать, что в 10 раз возрастет и вероятность хоть что'нибудь выиграть(1.68), т.
е. что вероятность будет близка к единице?ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ВЕРОЯТНОСТЬ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ33Проводя аналогичные расчеты, как и в первом случае, получаем:p111 1,1000среднее число выигрышных билетов ám2ñ при N = 1000 испытаниях: ám2ñ == Np = 1 = N; распределение Пуассона (1.59)P(m) = exp[–1/m!].(1.69)При этом вероятность хоть что>нибудь выигратьP(m ³ 1) = 1 – P(0) = 1 – 1/e = 0,63.Ответ: 1) 0,0952; 2) 0,63.Вопрос для самопроверки. Какова вероятность того, что среди 100 биле>тов не меньше двух выигрышных?Ответ: P(m ³ 2) = 1 – {P(0) + P(1)} = 0,0047.Задача 1.17.
Радиоактивный источник испускает a>частицы, которые ре>гистрируются со средней частотой n = 0,4 частиц в секунду. Какова вероят>ность зарегистрировать точно m частиц за время t = 10 c?Решение. Покажем сначала, что вероятность P(m) того, что за время tбудет зарегистрировано m частиц, определяется распределением Пуассона.Для этого разделим мысленно интервал времени эксперимента t = 10 c набольшое число малых интервалов Dt.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
