Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 5
Текст из файла (страница 5)
При бросании кубика выпадение любой цифры от 1 до 6равновероятно. Пусть благоприятным исходом является выпадение цифры 5,а неблагоприятным — выпадение любой другой цифры, тогда p = 1/6, q = 5/6.Какова вероятность P(ppq) при броске трех таких кубиков получить результат ppq: первые два кубика в благоприятном состоянии, а третий — в неблагоприятном? И какова вероятность P(n = 3, m = 2) при бросании трех кубиков получить два (любых) кубика с цифрой 5 наверху?Решение. Состояние ppq осуществляется в следующих пяти микросостояниях: 5, 5, 1; 5, 5, 2; 5, 5, 3; 5, 5, 4; 5, 5, 6, т. е.
термодинамическая вероятность G(ppq) = 5. Полное число доступных микросостояний для системы изтрех кубиков G0 = 63, вероятность любого из них P = 1/G0 = 1/63. Таким образом, вероятность состояния ppqP(ppq) = G(ppq)/G0 = 5/63.Используя биномиальное распределение, для P(3, 2) находим:P(n 1 3, m 1 2) 1 C32 p2 q1 1 15/63.Заметим, что P(ppq) = p2q, а P(n 1 3, m 1 2) 1 Cnm P( ppq), где Cnm 1 C32 1 3—число различных состояний из числа благоприятных: (ppq), (pqp), (qpp).Ответ: P(ppq) = 5/63, P(n = 3, m = 2) = 15/63.24МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ1.6. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ1. Вероятность того, что значение случайной величины х, принимающейнепрерывный ряд значений, находится в интервале (x, x + dx), пропорцио6нальна ширине dx этого интервала:P(x, x + dx) = f(x)dx.Функция f(x) описывает распределение случайной величины и называет6ся функцией плотности вероятности.
Она равна отношению вероятности P(x,x + dx) того, что значение случайной величины находится в бесконечно ма6лом интервале значений (x, x + dx), к величине этого интервала dx:f ( x) 2P(x, x 1 dx).dx(1.43)Вероятность P(x1, x2) того, что значение случайной величины х находит6ся в интервале от х1 до х2, равнаx2P(x1 , x2 ) 12 f (x)dx.x12. Условие нормировки для функции плотности вероятности (1.43):14 f (x)dx 3 1.(1.44)21Вычисление средних значений áj(x)ñ проводится по аналогии с (1.29):45(x)6 7128 5(x)f (x)dx.(1.45)323. Пусть две случайные величины x и y связаны друг с другом функционально y = y(x), причем связь между ними однозначная: каждому значению xсоответствует одно значение y и, наоборот, каждому y соответствует однозначение x.
В этом случае вероятность Px(x, x + dx) = f(x)dx того, что значе6ние случайной величины х находится в интервале (x, x + dx), и вероятностьPy(y, y + dy) = Y(y)dy того, что значение случайной величины y = y(x) нахо6дится в интервале (y, y + dy), одинаковы:P(y, y + dy) = P(y(x), y(x) + dy(x)) = P(x, x + dx) илиY(y) | dy | = f(x) | dx |.Действительно, рассмотрим N0 частиц (в пределе бесконечный ансамбльчастиц N0 ® ¥), каждая из которых характеризуется случайными величи6нами x и y. Число частиц N(y, y + dy), имеющих значение случайной вели6чины y в интервале (y, y + dy), при однозначной связи x = y(x) совпадает счислом частиц N(x, x + dx), имеющих значение случайной величины хГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.
ВЕРОЯТНОСТЬ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ25dxв интервале (x, x + dx), где dx 3 1 2 dy. Используя частотное определение46 dy 57вероятности:N (x, x 3 dx)4P(x, x 3 dx) 4 f (x) | dx | 4 limN0N0 12N ( y, y 3 dy)4 lim4 P(y, y 3 dy) 4 5 (y) | dy |,N0N0 12получаемf (x)dx 1 2 (y)dy.Дифференциалы dx и dy берутся по модулю, так как входящие в форму8лы вероятности положительны.Заметим, что плотности вероятности для функционально связанных слу8чайных величин не обязательно равны друг другу:f(x) ¹ Y(y(x)).Задача 1.14.
С помощью деревянного бруска длиной 1 м измеряется рас8стояние 50 м. При этом брусок последовательно укладывается 50 раз, при8чем каждый раз ставится метка, соответствующая концу бруска. Эта опера8ция сопряжена с ошибками, и расстояние между двумя соседними меткамина земле в точности не равно метру. Известно, что расстояния между двумяпоследовательными метками с равной вероятностью лежат в интервале от99,8 см до 100,2 см и не выходят за эти пределы. Среднее значение измерен8ного расстояния после 508кратной укладки бруска равно 50 м.
Найти пол8ную ошибку, вычислив стандартное отклонение измеренного расстояния.Решение. 1. Выбор статистической системы случайных величин. В дан8ной задаче статистическая система будет состоять из n = 50 случайных вели8чин. За случайную величину можно взять xi — отклонение расстояния меж8ду соседними (i + 1) и i метками от 1 м.2. Описание случайной величины. В задаче случайная величина xi при8нимает непрерывный ряд значений в интервале –0,02 £ x £ + 0,02.По условию задачи плотность вероятности f(x) = f0 = const при –0,2 £ x £ 0,2(рис. 1.5).
Величина f0 может быть определена из условия нормировки функ8ции плотности вероятности (1.44):0,23f0dx 2 1.(1.46)10,2Из (1.46) получаемf(x) = f0 = 2,5 см–1.Рис. 1.5Функция плотности вероят8ности отклонения расстоя8ния между соседнимиметками от 1 м26(1.47)3. Нахождение средних значений.Суммарная ошибка в результате 508кратнойукладки равна50y 1 2 xi .(1.48)i 11МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХПо аналогии с вычислением средних значений II способом (1.38) и (1.40)находимáyñ = náxñ;(1.49)12y 2 34y2 5 2 n12x 2 n{3x2 5 6 3x52 }.(1.50)Используя функцию плотности вероятности (1.47) для случайной вели@чины х, по формуле (1.45) имеем3 x4 510,28xf (x)dx 520,23 x2 4 510,28x2f (x)dx 520,210,282,5xdx 5 0 см;20,210,282,5x2dx 520,246 1022 см2 7 1,33 6 1022 см2 .3Подставив полученные значения в (1.49) и (1.50), получаемáyñ = náxñ = 0 см;12y 2 n3x2 4 2 2 см2 ; 1y 2 2 5 0,8 см.33Ответ: полная ошибка равна »0,8 см.Вопрос для самопроверки.
В условиях предыдущей задачи найдите функ@цию плотности вероятности Y(y) для случайной величины yi 1 xi2 и с ее помо@щью определите áyñ.Ответ: связь y = x2 не является однозначной, так как одному у соответ@ствуют два значения х: x1 1 2 y и x2 1 2 y. Поэтому1 (y)dy 2 f (x1 2 y )dx 3 f (x2 2 4 y )dx 2 2f (x)dxи2 (y) 3 2f (x)2,5dx13 2 4 2,5 43;dyy2 y0,045x2 6 3 5 у6 3700,04y2 (y)dy 3702,5 ydy 344 1012 см2 .3Задача 1.15. (Временна´я вероятность.) Смещение простого классиче@ского гармонического осциллятора изменяется во времени по законуx = Acos(wt + j), где w — угловая частота колебаний; А — их амплитуда; j —начальная фаза, которая с равной вероятностью может принимать любоезначение в интервале 0 £ j £ 2p. Найти плотность вероятности Y(x) (иливероятность P(x, x + dx) = Y(x)dx) того, что смещение данного осциллято@ра в фиксированный момент времени t находится в интервале значений(x, x + dx).Решение.
В данной задаче следует выделить две случайные величины:начальную фазу осциллятора j и смещение x осциллятора. Поэтому рассмот@рим два способа решения.ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ВЕРОЯТНОСТЬ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ271й способ основан на рассмотрении фазы j как случайной величины.Описание случайной величины. Случайная величина j принимает зна+чения в интервале 0 £ j £ 2p с равной вероятностью f(j) = f0 = const, котораянаходится из условия нормировки:2121004 f (2)d2 34 f0d2 3 1.Отсюдаf (1) 2 f0 21.23(1.51)Необходимо определить плотность вероятности Y(x) другой случайнойвеличины х, функционально связанной с j по закону x = Acos(wt + j).Изза неоднозначности связи х и j (рис.
1.6)в области определения случайной величины0 £ j £ 2p имеем:Y(x1)| dx | = f(j1)| dj | + f(j2)| dj |.(1.52)Учитывая, что1f (11 ) 2 f (12 ) 2 f (1) 2 ,23можем записать:Y(x)| dx | = 2f(j)| dj |.Рис. 1.6Смещения осцилляторов в зави+симости от их начальной фазы внекоторый фиксированный мо+мент времениа(1.53)В соответствии с (1.53)| d1| 2f (1)133,| dx |dx4 A 2 5 x2d1где учтено, что2(x) 3 2f (1)(1.54)dx d( A cos(1 t 2 3))44d3d34 A sin(1t 2 3) 4 A 2 5 x2 .бРис. 1.7Функция плотности вероятности(а) f(j), с которой осцилляторимеет заданную начальную фазу,и (б) Y(х), с которой осцилляторимеет заданное смещение в не+который момент времени28Таким образом, две случайные величиныx и j, связанные друг с другом функциональ+но x = Acos(wt + j), имеют разные плотностивероятности (рис.
1.7а, б).2й способ. Рассмотрим один осциллятор втечение длительного времени t ® ¥. Началь+ная фаза этого осциллятора j = const, но зна+чение ее неизвестно (и может быть равноверо+ятно любым из интервала 0 £ j £ 2p).Этот способ вычисления функции плотно+сти вероятности Y(x) основан на временно´´ мопределении вероятности: вероятность P1j , скоторой случайная величина находится в j+со+МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХстоянии, равна пределу отношения времени пребывания в этом состоянии tjко времени наблюдения texp при texp ® ¥:3 tj 4P1j 5 lim 6(1.55)7.texp 12 8 texp 9Вероятность того, что в данный момент времени осциллятор имеет коор7динату х в интервале x, x + dx, по определению (1.55) равна1 (x)dx 6 lim 4 t(x, x 3 dx) 5 .P1j 6 7(1.56)9texptexp 12 8Учитывая периодичность движения осциллятора, весь интервал време7ни наблюдения texp можно разбить на k периодов T0: texp = kT0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
