Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Обозначим значе+ния случайной величины ui.Поскольку благоприятным, т. е. интересующим нас исходом являетсявыпадение решки, определим случайную величину следующим образом:2u 1 1 при выпадении решки;ui 1 3 14u2 1 0 при выпадении орла.(1.18)Учитывая условие нормировки вероятности2 P(ui ) 1 1,(1.19)iполучаем для вероятности выпадения решки p = 1/2, орла — q =1 – p = 1/2.В табл. 1.4 отражено полное описание случайной величины.18МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ123425627894856934265388461 2 3 4 5 6 2 7 89725692924861629745692924869342653884645485693426538846216122324567821229212223245222921222921252429692924869342653884632161Воспользуемся следующей схемой статистического описания макроскопической случайной величины.1. Анализ доступных микросостояний системы.2. Подсчет полного числа доступных микросостояний G0.3.
Использование основного постулата статистической физики и опреде6ление вероятности любого доступного микросостояния системы — Ps.Основной постулат статистической физики — постулат равной апри6орной вероятности: если изолированная система находится в равно6весии, то ее можно обнаружить с равной вероятностью в любом издоступных микросостояний:Ps 1 1/ 20 .(1.20)4. Описание возможных макросостояний системы и определение их тер6модинамической G(n, m) и математической P(n, m) вероятности.Термодинамическая вероятность макросостояния G(n, m) — число мик6росостояний, которыми оно осуществляется.Математическая вероятность макросостояния P(n, m) равна отношениютермодинамической вероятности G(n, m) к полному числу G0 доступных мик6росостояний системы:P(n, m) = G(n, m)/G0 = G(n, m) × Ps.(1.21)В данной задаче система случайных величин состоит из n = 4 монет.Рассмотрим N ® ¥ одинаковых статистических систем — ансамбль статистических систем (одинаковых, т.
е. удовлетворяющих тем же условиям,что и рассматриваемая система). Запишем весь спектр доступных микросо6стояний ансамбля систем (два левых столбца в табл. 1.5).Так как случайная величина может принимать только два значения —или 0 (орел), или 1 (r — решка), полное число доступных состояний G0 систе6мы равноG0 = 2n = 24 = 16.(1.22)Действительно,для n = 1 G0 = (0 + r) = 2;для n = 2 G0 = (0 + r) × (0 + r) = (00) + (0r) + (r0) + (rr) = 22 = 4;для n = 3 G0 = (0 + r) × (0 + r) × (0 + r) = 23 = 8;...для любого n G0 = (0 + r)n = 2n.ГЛАВА 1.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ВЕРОЯТНОСТЬ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ191 2 3 4 5 6 2 7 89712345637849496385645843478394923749789234563788394949638189426783949496381232323232273232322327323242323273223232327927732322732732273232723277321323273271123232771277732127732714273277123277719277771234563785949496386576378592557582883458778 8 79694!859494963813"828#549658 79694!859494963843"828321546 37 2 43 2 1 21819223639212154617 2 41 2 4 248192236221546 7 2 4 2 9 298192236221546 7 2 4 2 4 2481922362421546 47 2 44 2 1 2181922363921Вероятность каждого i$го микросостояния (табл. 1.5) определяется наосновании постулата (1.20), удовлетворяющего условию нормировки:2 Ps 1 1.(1.23)Таким образом, с учетом равной вероятности всех доступных микросо$стоянийPs = 1/G0 = 1/16.(1.24)Число различных микросостояний с одним и тем же числом решек — m,т.
е. термодинамическая вероятность G(n, m) в нашем случае равна Cnm —числу сочетаний из n (числа частиц в системе) по m:1(n, m) 2 Cnm .(1.25а)Закон распределения для числа решек (частотная вероятность выпаде$ния m решек) имеет вид:1(n, m) Cnmn!.(1.25б)P(n, m) 22 n 2 n1022 m !(n 3 m)!Для данной задачи4!P(4, m) 1 C4m 14 12 1.(1.26)m !(4 3 m)! 162Гистограмма зависимости частотной вероятности P(n, m) (1.26) от значе$ния макропараметра m приведена на рис. 1.4 для n = 4 и n = 10 в двух вари$антах изображения.20МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЗакон распределения числа решек (1.25б)является биномиальным законом, принимаю4щим конкретный вид (1.25б) для данной задачи.Общая форма записи биномиального закона распределения:P(n, m) 2 Cnm pm q n 1m ,а(1.27)где (n, m) — вероятность состояния, в которомиз n частиц системы m частиц находятся в бла4бгоприятных микросостояниях; p — вероят4ность, с которой каждая частица находится вблагоприятном состоянии; q = 1 – p — вероят4ность, с которой каждая частица находится внеблагоприятном состоянии (с которой части4ца не находится в благоприятном состоянии);pmqn–m — вероятность одного состояния систе4мы (m, (n – m)), в котором m частиц находятсяв благоприятном состоянии, а (n – m) частиц —в неблагоприятном.
Например, первые m слу4Рис. 1.4Гистограмма зависимостичайных величин имеют благоприятное значе4частотной вероятностиние с вероятностью р, а оставшиеся (n – m) —P(n, m) от значения макропа4раметра m:неблагоприятное значение с вероятностьюа — для n = 4; б — для n = 10.q = 1 – p. Заметим, что в общем случае pmqn–m —вероятность состояния, а не микросостояния,в чем легко убедиться на примере следующей задачи 1.13. Cnm — число соче4таний из n по m, равное числу различных состояний (m, (n – m)), вероят4ность каждого из которых равна pmqn–m.Биномиальный закон применим для следующих систем случайных ве4личин:§ идентичных;§ независимых;§ не влияющих на энергию системы;§ принимающих дискретный ряд значений, которые относительно m4мак4ропараметра могут быть разделены на две категории значений: условноназываемых благоприятными (интересующими нас) или неблагоприят4ными (не интересующими нас) значениями.1.5.
НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНОЕ И СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЯ.ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ,ПОДЧИНЯЮЩЕЙСЯ БИНОМИАЛЬНОМУ ЗАКОНУНаивероятнейшее значение случайной величины xmp, принимающей дис4кретный ряд значений xi, соответствует условию максимального значениявероятности при x = xmp:P(xi ) x 1 xmp1 Pmax .(1.28)ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ВЕРОЯТНОСТЬ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ21Среднее значение любой функции j(xi) от дискретной случайной величиных, принимающей значения хi с вероятностью P(xi), вычисляется по формуле12(x)3 4 5 2(xi ) P(xi ).(1.29)iДисперсия случайной величины — это среднее значение квадрата откло6нения случайной величины х от ее среднего значения:12x 2 3(4x)2 5 2 3(x 6 3x5)2 5 2 3x2 5 6 3x52 ,(1.30)где среднее значение случайной величины и среднее значение квадрата слу6чайной величины определяются согласно (1.29):1x2 2 3 4 xi2 P(xi );(1.31)1x2 3 4 xi P(xi ).(1.32)iiСтандартное отклонение случайной величины от ее среднего значенияравно квадратному корню из дисперсии:1x 2 34x2 5 2( x 6 3 x 5 ) 2 2 3 x 2 5 6 3 x5 2 .(1.33)Рассмотрим два способа (I и II) вычислений среднего значения числа ре6шек ámñ и стандартного отклонения sm, основанных на использовании функ6ции распределения для макропараметра P(m) (в данной задаче числа решекm) или функции распределения для отдельной случайной величины P(u).I способ.
Использование расчетных значений для функции распределения макропараметра P(n, m) (табл. 1.5) и гистограммы.Из гистограммы зависимости P(4, m) наивероятнейшее значение равноmmp = 2.Используя (1.29), для среднего числа решек ámñ при бросании четырехмонет получаем:2 m3 14146415145245345441 2.6 m 4 P(m) 1 0 4 1616161616(1.34)m 10Следует отметить, что совпадение наивероятнейшего и среднего значенийmmp = ámñ = 2характерно не только для данной задачи, но и для любых систем, содержа6щих большое число частиц и подчиняющихся биномиальному закону рас6пределения.Вычисляя ám2ñ по стандартной формуле (1.31)2m2 3 14146415 145 445 945 16 4156 m2 P(m) 1 0 4 1616161616m 10и используя (1.34), получаем1m 2 5 3 22 2 1.22(1.35)МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХII способ. Расчет с использованием функции распределения P(ui) микроскопической случайной величины ui (см.
табл. 1.4) на основании идентичности и независимости частиц системы.Определим в самом общем случае среднее значение ámñ и дисперсию 12mмакроскопической величины:nm 1 2 uij ,j 11где j — индекс частицы системы; i — индекс значения случайной величины.Величины ámñ и ám2ñ можно выразить через áuiñ и 1ui2 2:nnj 11j 114 uij 1 4 2uij 3;2 m3 125 n67m2 8 2 uij j2 1 2n uij29j 21(1.36)n uijuik.(1.37)j 3k1122232224n (n 41) членовВторое слагаемое в (1.37) содержит n(n – 1) членов, так как каждый из nnчленов суммы2 uijумножается на каждый из оставшихся, т.
е. на (n – 1).j 11Учитывая идентичность и независимость случайных величин, преобразуем(1.36) и (1.37):n2m3 1 5 2uij 3 1 n 4 2ui 3;(1.38)j 11nnj 11k2 j3m2 4 1 7 3uij2 4 5 7 3uij ujk 4 1 n3ui2 4 5 n(n 6 1)3ui 4 2 .(1.39)С учетом (1.38) и (1.39) для 12m имеем:12m 2 3m2 4 5 3m4 2 2 n{3ui2 4 5 3ui 4 2 }.(1.40)Вычисления средних значенийи áuiñ для отдельной случайной велиCчины, функция распределения которой известна, проводим по формулам(1.31) и (1.32):1ui2 21ui 2 3 6 ui 4 P(ui ) 3 1 4 p 5 0 4 q 3 p;i1ui2 2 3 6 ui2 4 P(ui ) 3 12 4 p 5 02 4 q 3 p.iПодставляя полученные значения в (1.38) и (1.40), находим среднее знаCчение и дисперсию макропараметра m:1m2 3 np;(1.41)12m 2 34m2 5 2 npq.(1.42)ГЛАВА 1.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. ВЕРОЯТНОСТЬ. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ23В частном случае для числа решек в системе при n = 4, p = q = 1/2 имеемámñ = np = 4 × (1/2) = 2;1m 2 4 3 (1/2) 3 (1/2) 2 1.Замечание. Функция распределения P(n, m) для m-макропараметра(см. рис.
1.4) показывает, что, в отличие от микросостояний, макросостояния не равновероятны.Cm1(n, m) Cnm4!12 n , P(4, m) 2 44 23 , ámñ = np = 2,Ответ: P(n, m) 210m !(4 4 m)! 16221m 2 npq 2 1.Вопрос для самопроверки. Чему равно полное число доступных состояний системы из n идентичных случайных величин, если каждая случайнаявеличина может принимать k равновероятных значений?Ответ: G0 = kn. Например, бросаем два раза n = 2 шестигранный кубик,на каждой стороне которого изображены цифры от 1 до 6.
Тогда k = 6 и возможны следующие варианты (микросостояния):(a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6) ´´ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6),где 1 £ ai £ 6 — цифра на верхней грани кубика. Все доступные микросостояния для кубика отображены в первом сомножителе, для второго — во втором. Раскрывая скобки, получаем G0 = 62 слагаемых — число различныхмикросостояний. Для n бросаний G0 = 6n.Задача 1.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
