Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 83
Текст из файла (страница 83)
14.8):T (r ) 2T2 ln(r / R1 ) 1 T1 ln(r / R2 )ln(r / R1 )2 T1 1 (T1 1 T2 );ln(R2 / R1 )ln(R2 / R1 )(14.39)T2 1 T1dT123 4 0.dr ln(R2 / R1 ) rЗаметим, что распределение температуры вдоль радиуса (14.39) не зави$сит от коэффициента теплопроводности газа, т. е. одинаково для всех газов.Скорость изменения энтропииdS 3S1 1 3S24dtdtсвязана с ростом энтропии dS+ за счет подвода теплоты dQ1 к газу от внутрен$него цилиндра и понижением энтропии dS– за счет отвода теплоты dQ2 отвнешнего цилиндра за время dt. На основании термодинамического опреде$ления энтропии dS+ = dQ1/T1 и dS– = –dQ2/T2.Для стационарного процесса dQ1 = dQ2 = JQdt, где JQ описывается форму$лой (14.38). Таким образом,212(T1 3 T2 )2dS1 16 JQ 4 3 5 6 3.79 T1 T2 8dtT1T2 ln(R2 / R1 )Энтропия газа со временем уменьшается, так как газ по$лучает и отдает одно и то же количество теплоты, но отдаетпри меньшей температуре, а получает при большей темпе$ратуре.
Это означает, что «входит» энтропии меньше, чем«выходит».Ответ:ln(r / R1 ) dTT2 1 T11T (r ) 2 T1 1 (T1 1 T2 ),23 ,ln(R2 / R1 ) dr ln(R2 / R1 ) r245(T1 1 T2 )2dS245JQ 221(T1 1 T2 ),.dtT1T2 ln(R2 / R1 )ln( R2 / R1 )ГЛАВА 14. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСАРис. 14.8Пространствен$ное распределе$ние температу$ры в системе,изображенной нарис. 14.7413ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬВ ЖИДКОСТЯХ И ТВЕРДЫХ ТЕЛАХЗадача 14.8. Ледяной шар, имеющий температуру Т0 = 0°С и радиусR0 = 5 см, помещается в большой бассейн с водой при температуре Tв = 20°С.Коэффициент теплопроводности воды l = 0,584 Вт/(м×К), удельная тепло:та плавления льда L 1 332,4 Дж/г. Один килограмм льда занимает объем1090 см3.
Считать, что температура в объеме льда неизменна, лед плавится споверхности, а теплопередача в воде осуществляется только путем теплопро:водности. Определить, за какое время ледяной шарик расплавится.Решение. Чем меньше радиус шарика, тем быстрее происходит выравни:вание температур. Запас тепловой энергии пропорционален объему ~R3, атепловые потери происходят с поверхности, площадь которой ~R2. Поэтомуэнергетически экономичными являются более крупные объекты. Так и уживых организмов: чем мельче живой организм, тем больше он нуждается взащите от тепловых потерь.То обстоятельство, что температура льда неизменна, а бассейн воды боль:шой, позволяет считать процесс теплопроводности в воде стационарным.Аналогично задаче 14.7 записываем уравнение стационарной теплопро:водности JQ = –l(dT/dr)4pr2, где JQ = const, а r — расстояние от центра ледя:ного шара.
Решая уравнение (проделайте самостоятельно, по аналогии с ре:шением уравнения теплопроводности в задаче 14.7) при следующих гранич:ных условиях: температура Т1 при r1 и температура Т2 при r2, получаемраспределение температуры в воде:T (r ) 2 T1 3(T2 1 T1 )(1/ r 1 1/ r1 ).(1/ r2 1 1/ r1 )Пусть r1 = R(t) — изменяющийся со временем радиус ледяного шара, тем:пература которого Т1 = Т0.
При r2 ® ¥ температура воды равна исходной тем:пературе воды в бассейне: Т2 = Тв. Тогда распределение температуры прини:мает вид:T(r) = Tв – (Tв – T0)R/r.Приток теплоты к шарику за время dt равенdQ = jQ4pR2dt,где плотность потока теплоты jQ пропорциональна градиенту температурывблизи поверхности шарика:jQ 1 342T11 34 (Tв 3 T0 ).2r r 1 RRТаким образом, для теплоты получаем:dQ = –4plR(Tв – T0)dt.(14.40)Эта теплота идет на плавление поверхностного слоя льда толщиной dR иобъемом 4pR2dR:1Q 2 3L(44R 2dR ).414МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХПриравнивая полученное выражение для dQ и (14.40), получаем уравнениеdt 31tинтегрируя которое6 dt 40012LRdR,4(Tв 1 T0 )23L6 5(Tв 2 T0 ) RdR находимR01t6 dt 40023L6 5(Tв 2 T0 ) RdR.R0Замечание.
Рассмотренный процесс, строго говоря, не является стацио&нарным, так как распределение температуры Т(r) изменяется со временемпри уменьшении радиуса ледяного шарика.1LR 2 4 9 ч.Ответ: 2t 325(Tв 6 T0 ) 0Задача 14.9. Плоская стена туннельной печи для обжига глиняного кир&пича состоит из трех слоев кирпича (рис. 14.9): шамотного (толщинаh1 = 23 см, коэффициент теплопроводности l1 = 1,1 Вт/(м×К)); изоляционно&го (h2 = 23 см, l2 = 0,28 Вт/(м×К)) и красного (h3 = 25 см, l3 = 0,56 Вт/(м×К)).Температура газов внутри печи Тin = 1000°С, снаружи — Tex = 30°С.
Коэф&фициент теплоотдачи внутренней поверхности печи a1 = 15 Вт/(м2×К), наруж&ной поверхности a2 = 8 Вт/(м2×К). Определить потери теплоты с одного 1 м2поверхности стены печи и температуры на поверхностях раздела слоев.Решение. Процесс теплообмена между движущимся газом (или жидко&стью) и твердой стенкой называется конвективным теплообменом. Кон&вективный теплообмен — сложный процесс, включающий как конвекцию,так и теплопроводность. На этот процесс влияют многие факторы: причинадвижения газа (движение может быть как свободным, так и вынужден&ным); тип движения (ламинарное или турбулентное); физические свойствагаза (плотность, коэффициент теплопроводности, теплоемкость, коэффи&циент вязкости); форма, размеры и состояние поверхности омываемой га&зом стенки.Для расчета плотности потока в случае конвективного теплообмена при&меняется уравнение Ньютона:jQ = aDT,в котором коэффициент теплоотдачи a, определяемыйчаще всего экспериментально, учитывает все вышеука&занные факторы, DT = Tст – Tг — разность температурповерхности стенки Tст и движущегося газа Tг.Поскольку процесс передачи тепла является стацио&нарным, количество теплоты, поглощенное внутреннейстенкой за счет конвективного теплообмена, равно теп&лоте, передаваемой многослойной стенкой путем теп&лопроводности, и также равно теплоте, передаваемойГЛАВА 14.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСАРис. 14.9Плоская стенкатуннельной печи(к задаче 14.9)415наружной поверхностью печи окружающей среде путем конвективного теплообмена:1Т 2 3 ( 4(14.41)jQ 2 31 (Tin 4 T1 ) 22 T2 Tex ),RTгде T1 — температура внутренней поверхности печи; Т2 — температура наружной поверхности печи; DТ = Т1 – Т2, RT — тепловое сопротивление единицы поверхности многослойной стенки, по аналогии с законом Ома (задача 14.7). Так как тепловые сопротивления hi/li отдельных слоев соединеныпоследовательно, суммарное сопротивление многослойной стенки равноhi 0,23 0,23 0,25м2 2 К1334 1,48.51,1 0,28 0,56Втi 11 i3RT 1 6Из (14.41) имеем систему из двух уравнений:11 (Tin 2 T1 ) 3 12 (T2 2 Tex ) 4511 (Tin 2 T1 ) 3 (T1 2 T2 )/ RT 6решая которую получаем:11Tin (12 RT 2 1)/ 12 2 Tex4 1230 К 4 9605C;1 2 RT 11 2 11 / 12(1 2 RT 11 )(Tex 2 Tin 11 / 12 ) 6 Tin 112 RT / 12(T 6 T )14 375 К 3 1025С;T2 3 in 1 1 2 Tex 3121 2 RT 11 2 11 / 12(T 6 T )ВтjQ 3 2 1 4 580 2 .RTмT1 3Температуры на поверхности разделов слоев могут быть найдены, например, по следующим формулам теплопроводности для отдельных слоев:h13 1110 К 3 8404C;51hT4 1 T2 6 jQ 3 3 630 К 3 3604C.53T3 1 T1 2 jQОтвет: jQ = (T2 – T1)/RT » 580 Вт/м2, T3 = T1 – jQh1/l1 » 840°C, T4 = T2 ++ jQh3/l3 » 360°C.ДИФФУЗИЯ В ГАЗАХЗадача 14.10.
Открытый сосуд с теплоизолированными стенками частично заполнен водой, которая понемногу испаряется. Температура водыпостоянна и на DТ = 4° ниже температуры окружающего воздуха. Оценить разность концентраций Dn пара над поверхностью воды и на уровневерхней границы сосуда, считая, что разность концентраций определяется только диффузией. Среднюю длину свободного пробега молекул водяного пара и воздуха считать одинаковой. Удельная теплота парообразованияL1 1 2,4 2 106 Дж/кг.416МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХРешение.
Пусть индекс 1 относится к пару H2O, 2 — к воздуху.Непрерывное испарение воды и диффузия испарившихся молекул воды(рис. 14.10, правая сторона) должныбыли бы приводить к непрерывномупадению температуры воды. Но она, поусловию задачи, постоянна. Подвод теплоты осуществляется воздухом в процессе теплопроводности (рис. 14.10, леРис. 14.10вая сторона). Отсюда вытекают дваСхематическое изображение процессовследствия.теплопроводности воздуха (слева)и диффузии паров воды (справа)1.
Число молекул водяных пароввблизи поверхности воды должно бытьпостоянным n1 = const, т. е. число молекул Dn1D, уносимых в процессе диффузии, должно быть равно числу молекул воды Dn1L, испарившихся с поверхности воды за то же время Dt:Dn1D = Dn1L.(14.42)2. Теплота q1L, необходимая для выпаривания Dn1L молекул, равная1q1L 2 m11n1L 3 L,(14.43)где m1 — масса одной молекулы воды, должна компенсироваться теплотойDq2l, приносимой воздухом в процессе теплопроводности за то же время Dt:Dq1L = Dq2l.(14.44)Так как DT = const и Dn = const, рассматриваемые процессы переноса (диффузия молекул воды и теплопроводность воздуха) являются стационарными(не зависящими от времени) и к ним применимы уравнения Фурье (14.23) иФика (14.20).
Предположим, что градиенты концентрации и температурыпостоянны и равны соответственно dn/dz » Dn/h и dT/dz = DT/h, где h — расстояние от поверхности воды до края сосуда. Тогда уравнения диффузиимолекул воды и теплопроводности воздуха принимают вид:1n1n;(14.45)jn 2 1D 2 3 D1th2q2T.(14.46)jQ 3 21 3 412thИспользуя (14.42)–(14.44), запишем систему уравнений (14.45) и (14.46)относительно Dn1L:1n1L1n 23 4D51th(14.47)6.m1 1n1L 7 L11T 53 481th 9Деля одно уравнение системы (14.47) на другое, получаем:12T2n 3.(14.48)m1 L1 DГЛАВА 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
