Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 84
Текст из файла (страница 84)
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА417Здесь 1 2 1 1 2 3v2 452 CV — коэффициент теплопроводности воздуха, D 1311 11 2v1 3 — коэффициент диффузии паров воды. Подставляя выражения для3коэффициентов переноса в (14.48) и учитывая условие задачи l1 = l2, имеем:4n 51v2 232 CV4T.1v1 2m1 L1При вычислении отношения средних скоростей молекул воздуха áv2ñ и па<ров воды áv1ñ можно положить температуры одинаковыми: 1v2 2 /1v1 2 3 M1 / M2 .Воздух можно считать двухатомным газом с числом степеней свободы, рав<5Rкг, плотностью 12 2 1,29 3 .ным пяти, удельной теплоемкостью CV 12M2мОкончательно получаем:3n 55R22 NA 3T5 4 8,31 4 1,29 4 6 4 1023 4 466 4,04 4 1022 м 13 .2L1 M2 M1 M2 2 4 2,4 4 106 4 29 4 1013 18 4 29 4 1016Ответ: 3n 45R22 NA 3T5 4,04 6 1022 м 13 .2L1 M2 M1 M2ВЯЗКОСТЬ В ГАЗАХ И ЖИДКОСТЯХЗадача 14.11.
Пространство между двумя коаксиальными цилиндрамизаполнено водородом (рис. 14.11). Высота внутреннего цилиндра h = 20 см,его радиус R1 = 4 см, высота внешнего цилиндра h2 ? h1 и радиус R2 = 4,1 см.Внешний цилиндр вращается с угловой скоростью w0 = 30 рад/c. Чтобы внут<ренний цилиндр оставался неподвижным, к нему прикладывается моментмеханических сил, равный М0 = 2,22×10–5 Н×м. Пренебрегая краевыми эф<фектами, определить коэффициент внутреннего трения водорода и найтираспределение скорости упорядоченного движения молекул газа в простран<стве между цилиндрами в зависимости от расстояния до оси цилиндров. Этотметод определения коэффициента вязкости называ<ется ротационным.
Ротационный метод использует<ся для определения вязкости жидкостей, смазочныхмасел, высоковязких лаков, клеев и т. п.Решение. Сила внутреннего трения, которая во<влекает во вращение концентрические слои газа, свя<зана с различием угловых скоростей соседних слоев,т. е. с зависимостью w(r). При отсутствии вязкого тре<ния угловые скорости всех слоев газа были бы одина<ковые, а различались бы только линейные скоростиРис. 14.11u(r) = wr.Пространство между дву<Рассмотрим поперечное сечение цилиндров и дви<мя коаксиальными ци<линдрами заполнено во< жение слоев, отстоящих друг от друга на расстояниидородом (вид сверху, состороны торцов цилинд< Dr (рис.
14.11). За время Dt частицы в соседних сло<ров)ях 1 и 2 проходят по дугам расстояния Ds1 = rw(r)Dt и418МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХDs2 = (w + Dw)(r + Dr)Dt соответственно. Относительное смещение частиц равно (рис. 14.11):2sотн 3 2s211 4 2s2 5 2s21 4 [(6 7 26)(r 7 2r ) 5 6(r 7 2r )]2t 8 r 262t.Таким образом, с изменением радиуса слоя газа (радиальный градиентскорости) изменение относительной скорости имеет вид:1sотн / 1t 1uотн1233r .1r1r1rГрадиент относительной скорости приводит к появлению потока импульса(14.5), который определяет силу f вязкого трения в жидкости (формула Ньютона) (14.7):1u12(28rh).(14.49)f 3 Jmu 3 j 4 5 3 67 отн 5 3 67r1r1drУсловие стационарности вращения слоя жидкости можно записать вследующем виде:| M(r) | = | M(r + dr) | = constили, используя (14.49):| M(r )|3 rf 3 45r 212(26rh) 3 const.1r(14.50)Это условие остается справедливым и для слоя, прилегающего к внутреннему цилиндру, для которого момент механических сил М0:| M(r) | = M0.(14.51)Подставляя в (14.50) значение константы (14.51), получаем уравнение:M0123.1r 24h5r 3(14.52)Полагая, что скорости прилегающих к цилиндрам слоев совпадают соскоростями цилиндров, получаем граничные условия для угловой скорости:w(R1) = 0 и w(R2) = w0.(14.53)Решая уравнение (14.52) с первым граничным условием (14.53), находим:3(r ) 4M0 1 115 2.48h9 6 R12 r 2 7(14.54)Используя второе граничное условие, получаем:34M0 1 11 25.48h90 6 R12 R22 7(14.55)Подставляя (14.55) в (14.54), окончательно получаем:2(r ) 3 20ГЛАВА 14.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА1/ R12 1 1/ r 21/ R12 1 1/ R22(14.56)419иu(r ) 2 r 3(r ) 2 r 301/ R12 1 1/ r 2.1/ R12 1 1/ R22(14.57)Графики полученных зависимостей (14.56) и (14.57) представлены нарис. 14.12. Поскольку расстояние между цилиндрами мало, зависимостиимеют приблизительно линейный характер.Используя данные задачи, получаем численное значение коэффициентавязкости:56M0 3 12,22 2 1015 3 11 41 417174h0 8 R12 R22 9 4 2 3,14 2 0,2 2 30 8 0,042 0,0412 97 8,9 2 10 16 Н 2 с/м2 6 8,9 2 1015.Замечания.1. При решении задачи предполагалось, что движение слоев газа являетFся ламинарным, т. е. перемешивание между соседними слоями отсутствует.Условие, при котором может происходить устойчивое ламинарное течение,связано с безразмерным числом Рейнольдса Re = rud/h, где r — плотность,u — характерная скорость потока, d — характерный линейный размер (наFпример, диаметр трубы) и h коэффициент динамической вязкости.
ЧислоРейнольдса характеризует каждый вид течения и определяется обычно эксFпериментально.Для каждого вида течения существует критическое число РейнольдсаReкр. Ламинарному течению соответствует Re < Reкр, а турбулентное течеFние возможно при Re > Reкр. Например, для течения вязкой несжимаемойжидкости по цилиндрической трубе с круглым сечением Reкр = 2300.Для проверки ламинарности течения газа в данной задаче положимu = umax = R2w0 и r = rmax = R2. Тогда число Рейнольдса равно1u RRe 2 max 2 .(14.58)3Критическое значение для данной геометрии течения газа Reкр = 1000.Условие ламинарности потокаRe < 1000Рис.
14.12Радиальное распределение угловой (а) и линейной (б) скоростеймолекул газа между цилиндрами, изображенными на рис. 14.11420МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХнакладывает ограничение на плотность газа:1.2 3 2c 4 103u 5rПодставляя данные задачи, получаем:4c 5 10328,4 3 1016кг356 0,17 3 .1070 R2230 3 (4,1 3 1012 )2мПри атмосферном давлении и температуре T » 300 К плотность водородаравнаp 2 MH2 2 2 1013 2 105кг3455 0,080 3 6 3c ,8,31 2 300RTмт.
е. условие ламинарности соблюдается.2. Число Рейнольдса является критерием подобия при моделированиитечения жидкостей и газов, например, при моделировании полетов воздуш/ных кораблей, в медицине — при моделировании движения крови по крове/носной системе или течения вдыхаемого воздуха. Модель должна иметь та/кое же число Рейнольдса, как и изучаемый объект.Ответ: 4 51/ R12 1 1/ r 2M0 2 11.1 2 38 , 6(r ) 5 607249h60 R1 R2 1/ R12 1 1/ R22Задача 14.12. Движение вязкой жидкости по трубе.
Вязкая жидкость дви/жется вдоль длинной цилиндрической трубы с круглым сечением, радиускоторой R. Перепад давления на длине трубы h составляет Dр (рис. 14.13).Коэффициент вязкости жидкости h. Определите среднюю скорость потокажидкости и объем жидкости, протекающий через выделенное сечение трубыв единицу времени.Решение. Для течения жидкости в условиях данной геометрии задачикритическое значение числа Рейнольдса Reкр » 2300 (замечание 1 к зада/че 14.11).
При Re = ru(2r)/h < Reкр течение жидкости — ламинарное, приRe = ru(2r)/h > Rec — турбулентное. Таким образом, ламинарное течениежидкости наблюдается при малых скоростях течения u и больших коэф/фициентах вязкости жидкости или в тонких капиллярных трубках. Дляводы при Т = 20°С коэффициент вязкостиh = 10 –3 Н×с/м2, и ламинарное течение сосредней скоростью u = 1 м/с возможно лишьв трубках с радиусом меньше r < 1,1 мм.Полагая, что скорость жидкости на по/верхности трубы равна нулю (жидкость какбы «прилипает» к стенкам трубы), найдемраспределение скоростей молекул жидко/сти вдоль радиуса трубы.
Для этого выде/Рис. 14.13лим произвольную трубку тока, которой в Ламинарное течение вязкой жидко/данной задаче является цилиндр с внутрен/ сти (или газа) по трубе за счет пере/пада давления Dр на длине h. Затем/ним радиусом r, внешним — r + dr и длиной нена трубка тока, имеющая радиусh (рис. 14.13). Запишем уравнение движения r и толщину drГЛАВА 14. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА421(II закон Ньютона) для массы жидкости, заключенной в трубке тока длиной h.Учитывая, что движение жидкости равномерное и ускорение равно нулю,имеем:0 = Dp × (2prdr) + fr – fr+dr,(14.59)где fr — сила вязкого трения, действующая на внутреннюю боковую поверх?ность цилиндрической трубки; fr+dr — на внешнюю боковую поверхность;Dр — разность давлений на торцевых поверхностях трубки, а 2prdr — пло?щадь торцевой поверхности.На основании уравнения Ньютона (14.7):fr 5 61 44ur 27rh2 , frr 3 dr561 44ur 27rh2.r 3 drДля разности сил вязкого трения имеем:1 21 24 6u6u 56u7 r8 29h d 4r 5 .fr 3 dr 7 fr 8 29h r6r r 6r 6r r 3 drПодставляя полученное соотношение в (14.59), получаем уравнение1 23p4urdr 5 d r,6h4rинтегрируя которое находим:1p 22ur 3r4 C1 .25h2rКонстанта интегрирования С1 = 0, так как 2u1 0.2r r 10Таким образом, приходим к уравнению1p2ur3 ,24h2rинтегрируя которое при условии u |r=R = 0 получаем:u(r ) 21p(R 2 3 r 2 ).4 4hR 2 1pобладает поток при r = 0.43hЗа время dt через сечение данной трубки тока проходит объем жидкости,равныйdV = u(r)dt(2prdr).Суммарный объем жидкости, протекающей через выделенное сечениецилиндрической трубы:Максимальной скоростью u0 2R1p2R 4 1p( R 2 4 r 2 )dt 5 22rdr 3 dt,46h8 6h01V 3 7 dV 3 7а объемный поток жидкости:1V 2R 4 1p— формула Пуазейля.JV 3384 hdt422(14.60)МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХСреднее значение скорости потока:R2u3 41pR 2 1p u014 .(R 2 5 r 2 )26rdr 48287h26R 0 47hФормула Пуазейля (14.60) по форме аналогична закону Ома, где вместосилы тока — поток объема жидкости JV (объем жидкости, протекающей че/рез сечение трубы за единицу времени — «расход жидкости»), а вместо на/пряжения — разность давлений Dр на концах трубы.
Роль электрическогосопротивления играет величина81hZ2,(14.61)3R 4называемая гидравлическим сопротивлением.Используя аналогию с последовательно и параллельно соединенными со/противлениями в электричестве, можно определять гидравлическое сопро/тивление последовательно или параллельно соединенных трубок.Замечание. Измерение расхода жидкости, протекающей через капилляр,при известной разности давлений используется как один из методов экспе/риментального определения коэффициента вязкости (капиллярный метод).R 2 1p2R 4 1p, JV 5.Ответ: 3u4 586h86 hЗадача 14.13.
Система кровообращения человека (и высших млекопи/тающих) по своей структуре похожа на водопроводную систему. Движениекрови по сосудам происходит также за счет создания разности давлений Dр.В отличие от водопроводной системы, система кровообращения являетсязамкнутой (кровотечения бывают только из/за повреждений).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
