Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Кроме того,изменение скорости потока в водопроводной системе достигается путем из/менения давления, а в системе кровообращения — благодаря изменениямсопротивления кровеносных сосудов. В системе кровообращения два замк/нутых круга. В большом круге кровь под давлением около 100 мм рт. ст. вы/ходит из левого желудочка сердца, проходит через аорту, артерии, попадаетв капилляры, где происходит переход кислорода в ткани, а углекислогогаза — из тканей в кровь. Далее поток возвращается по венам к правомупредсердию, где давление составляет приблизительно 5 мм рт.
ст.Средняя линейная скорость движения крови по аорте, радиус которойRA = 13 мм, равна áuAñ = 20 см/c, а средняя скорость потока крови в капилля/рах, радиус которых Rk = 5×10–3 мм, составляет áukñ = 0,3 мм/c. Коэффици/ент вязкости крови h = 5×10–3 Па×с.Оцените объемный поток крови JV, градиент давления в аорте Dp/h ичисло капилляров N в системе, полагая, что капилляры подключены к сис/теме обращения крови параллельно.Решение.
Поскольку средняя скорость движения по трубке составляетJ1u2 3 V2 ,4Rм3cм3JV 2 3R 2A 4u A 5 2 3(13 6 1013 )2 6 20 6 1012 2 1,06 6 10142 106. (14.62)ccГЛАВА 14. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА423Из формулы (14.60) находим градиент давления:5p 82JV 823u A 4 8 6 5 6 1013 6 0,2Па7778 47.мh9R 4А(13 6 1013 )2R 2AПри параллельном соединении через каждый капилляр проходит потокJV/Nk. Используя (14.62), получаем:2Nk 81JV6 R 7 4u A 5138 A 92Rk 4uk 5 Rk 4uk 55 1033Ответ: JV 5 6R A2 2u A 3 5 106 см3 /c,20 94,5 10 8 4,5 млрд.2 0,03294p 812uA 357 47 Па/м,hR A228 R 9 2u A 3Nk 5 A 7 4,5 109. Rk 2uk 3Задача 14.14. Движение шарообразного тела в вязкой среде.
Среднийразмер частичек пыли в воздухе варьируется от 0,2 мкм до 5 мкм. Полагая,что частицы пыли имеют плотность r = 2,5 г/см3 и сферическую форму с раCдиусом R » 1 мкм, оцените время оседания пыли в комнате высотой 3 м. СчиCтать, что воздух неподвижен. Броуновское движение пылинок в воздухе неучитывать.
Коэффициент вязкости воздуха h = 1,7×10–5 Па×с. Плотность возCдуха rc = 1 кг/м3.Решение. На падающий в вязкой среде шарик (рис. 14.14) действуют:сила тяжести, сила Архимеда fA = 4/3pR3rcg и сила сопротивления, равнаяпо закону Стоксаfтр = 6pRhu,(14.63)где u — скорость движения шарика.Уравнение движения шарика:11 1 mg 2 fA 2 fтр .mxПод действием силы тяжести скорость шарика растет и одновременнопоявляется возрастающая со скоростью сила трения (14.63). Через некотоC11 1 0), а движение —рое время ускорение шарика становится равным нулю (xравномерным: 0 = mg – fA – fтр, и уравнение движения принимает вид:0 = 4/3pR3g(r – rc) – 6pRhuу.Отсюда находим скорость uу установившегося движенияшарика:2R 2 g (2 1 2c ) 2 3 10112 3 10(2,5 3 103 1 1)мuy 455 3,3 3 1014 .96c9 3 1,7 3 1015Рис.
14.14Падениешарикав вязкойсреде424Оценим время падения шарика с высоты Н = 3 м:9H1H2334 9 5103 c 4 2,5 ч.uy 2R 2 g (6 7 6c )Для пылинок, имеющих диаметр 0,2 мкм, uу » 3,3×10–6 м/c,а t » 250 ч » 10,5 сут.МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЗамечание. Экспериментальный метод определения коэффициента вяз&кости по измерению времени, в течение которого при установившемсядвижении тело проходит определенное расстояние, называется методомСтокса.9 H1Ответ: 2 34 9 5 103 c 4 2,5 ч.22R g (6 7 6c )14.7. ОДНОМЕРНЫЕНЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫК нестационарным процессам переноса относятся такие процессы, прикоторых параметры состояния (Т, р и ni) в каждой точке вещества меняютсясо временем.
Это процессы установления равновесного состояния в системе,выравнивания температуры, давления и концентрации во всем объеме веще&ства. Будем рассматривать достаточно медленные процессы, чтобы в каждоммалом, но содержащем макроскопическое число молекул объеме веществауспевало устанавливаться равновесное состояние, характеризуемое темпе&ратурой, давлением, концентрацией и максвелловским распределением мо&лекул газа по скоростям.
В этом случае можно говорить о нестационарныхравновесных процессах переноса.Одной из основных характеристик релаксационных нестационарных про&цессов является время релаксации t — время, в течение которого начальноеотклонение физической величины от равновесного распределения уменьша&ется в е раз.Время релаксации в одной и той же термодинамической системе различ&но для разных параметров. Существует время релаксации для концентра&ции — время установления равновесного распределения концентрации, вре&мя термализации — время установления максвелловского распределения поскоростям и др.Чем больше система, тем больше времярелаксации — время выравнивания давле&ния р, температуры Т, концентраций ni.
Дляпроцессов, протекающих в земной коре, вре&мя релаксации может составлять несколькомиллионов лет. Релаксационные процессысвязаны с теплопередачей, диффузией и вяз&костной диссипацией энергии.Задача 14.15. Фагоцит попадает в растворнезаряженных частиц, коэффициент диффу&зии которых через мембрану фагоцита равенD = 4×10–10 см2/с. Фагоциты (phágos — пожи&ратель) — крупные клетки крови, способныепоглощать и перерабатывать чужеродные ве&щества, растворенные в крови. Рассматри&вая фагоцит как сферу с тонкой мембранойГЛАВА 14.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСАРис. 14.15Шарообразный фагоцит с радиу&сом R, обладающий тонкой мем&браной (затемнена), находится врастворе незаряженных частиц,которые диффундируют через мем&брану в тело фагоцита425(рис. 14.15), определите, за какое время внутри фагоцита устанавливаетсяконцентрация вещества, равная половине равновесной концентрации в рас2творе. Радиус фагоцита R = 4 мкм, толщина мембраны h = 10 нм.Решение. Благодаря наличию градиента концентрации частиц, черезdNмембрану начинается диффузионный поток частиц JD 1внутрь клет2dtки. Полагая градиент концентрации частиц на мембране фагоцита в моментn(t) 1 n0, согласно уравнению диффузии (14.30)времени t равным gradn(t) 2hдля потока частиц имеем:n(t) 1 n02N (t)3 1D4.h2tУчитывая, что площадь, через которую идет поток, равна S = 4pR2, а чис24ло частиц в объеме фагоцита N (t) 1 n(t) 2 3R 3 , получаем:3Rh 1n(t)2 3(n(t) 3 n0 ).3D 1tПроизводя замену переменной x(t) = n(t) – n0 и разделяя переменные, по2d1 3D2dt, решение которого:лучаем уравнение1 Rh1(t) t(14.64)ln2 ,1(0) 3Rhгде 1 2.
Из (14.64) находим зависимость концентрации частиц в объеме3Dфагоцита от времени (рис. 14.16):n(t) = n0(1 – e–t/t).(14.65)t = Rh/(3D) — время релаксации — время, через которое отклонение кон2центрации частиц n(t) в фагоците от их концентрации в растворе n0 стано2nвится в е раз меньше, чем n0: | n(1) 2 n0 |3 0 .eПолагая n(t0,5) = n0/2, находим время t0,5:30,5 4 3 ln2 4Rh ln2 4 2 1016 2 10 2 1019 2 0,69355 0,23 c.3D3 2 4 2 10114Ответ: t0,5 = Rhln 2/(3D) » 0,23 c.Рис. 14.16Зависимость концентра2ции частиц n в объеме фа2гоцита от времени.
Кон2центрация частиц в рас2творе n0426МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЗадача 14.16. Два сосуда одинакового объема V соединены длинной труб#кой с краном (рис. 14.17). Длина трубки h, площадь поперечного сечениямала и равна S. В первом сосуде находится смесь газов а и b с концентрация#ми na1 0 и nb1 0 соответственно. Во втором сосуде только газ b. Давление итемпература в обоих сосудах одинаковы. Коэффициенты взаимной диффу#зии газов одинаковы и равны D. Определить изменение со временем концен#трации газа а в первом сосуде na1 (t) после открытия крана и время релаксации.Решение.
После открытия крана давление остается неизменным и проис#ходит процесс взаимной диффузии газов. Благодаря тому, что трубка, соеди#няющая сосуды, имеет большую длину и малое сечение, нестационарныйпроцесс взаимной диффузии газов можно считать равновесным.Поток молекул газа а из первого сосудаво второй описывается уравнением диффу#зии (табл. 14.4):Ja = –D × grad na × S.(14.66)Поток Ja равен взятой с обратным знакомскорости изменения числа молекул dNa1 / dtв первом сосуде:Ja 3 42Na12n13 4V a .2t2t(14.67)Рис. 14.17Два сосуда одинакового объема со#единены трубкой (длиной h и сече#нием S).
Один сосуд заполнен раз#ными газами а и b, второй — газом bБудем обозначать концентрации газов во втором сосуде переменными сдвумя штрихами. Градиент концентрации молекул а в первом приближенииможно считать постоянным и равнымgradna 512na33 4 na3 [na3 0 4 na3 ] 4 na3 2 1n3 4 na3 .55hhh 2 a0(14.68)С учетом (14.68) и (14.66) уравнение (14.67) запишем в виде124na32D5 n3 1 n3677.Vh a 2 a 04t(14.69)Решая уравнение (14.69) путем замены переменной 2 3 na1 4 na1 0 /2, находим:lnгде1(t)t23 ,1(0)412Окончательно получаем:Vh.2D3(14.70)x(t) = x(0)e–t/tили (рис. 14.18)na3 4 1 na3 0 [1 5 e 1t / 2 ].2Переменная 2(t) 3 na1 4 na1 0 /2 характеризует отклонение концентрациигаза а от равновесного состояния, при котором концентрация молекул аустанавливается одинаковой в обоих сосудах и равной na1 0 /2.
Таким образом,ГЛАВА 14. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА427Рис. 14.18Зависимость от времени концентрации газа а в первом сосудеt = Vh/(2DS) — время релаксации для данного процесса диффузии. Поскольку коэффициент диффузии прямо пропорционален средней скорости теплового движения и средней длине свободного пробега, время релаксации возрастает с ростом давления и уменьшается с ростом температуры. Кроме того,время релаксации зависит от геометрических размеров системы и растет сувеличением объемов сосудов V, длины трубки h и при уменьшении площадиS сечения трубки.Вопрос для самопроверки.
Найдите зависимость от времени концентрации nb11(t) газа b во втором сосуде и время релаксации для этого процесса.tt3311Vh .Ответ: na5 6 na5 0 1 7 e 4 , nb55 6 nb50 7 na5 0 1 7 e 4 , 4 6222D81212Задача 14.17. Безграничное пространство заполнено однородным веществом, имеющим плотность r, удельную теплоемкость CV и коэффициенттеплопроводности l (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
