Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Получить формулу дифференциального эффекта Джоуля —Томсона для газа Ван+дер+Ваальса, пренебрегая квадратами и более высоки+ми степенями постоянных a и b уравнения Ван+дер+Ваальса.Решение. Используя для коэффициента Джоуля — Томсона формулу4 3T 5 6 V T7 8 1 (13.14) и выражение для коэффициента изобарического1 p 29 3p H Cpрасширения газа Ван+дер+Ваальса (9.17), имеем:2a(1 1 b / V )2 1 b3 2T 4 5RT(13.16).6 2p 7 H C 81 1 2a (1 1 b / V )2 9p RTVЗнак изменения температуры в процессе Джоуля — Томсона (в отличиеот процесса Гей+Люссака и детандирования) зависит от соотношения сил от+талкивания и притяжения в газе, т.
е. для конкретного газа (а и b заданы) —от его объема (плотности) и температуры.Из (13.16) (или (13.15)) находим температуру инверсии, при которой эф+фект Джоуля — Томсона для газа Ван+дер+Ваальса равен нулю:Ti 22a(V 1 b)2.RbV 2(13.17)Для достаточно высоких температур можно получить зависимость давле+ния от температуры инверсии для газа Ван+дер+Ваальса (сплошная линия нарис. 13.3а):21p 1 RTi 2RT 2 .3b3a iГЛАВА 13.
ЭНТАЛЬПИЯ И ЭФФЕКТ ДЖОУЛЯ — ТОМСОНА391(а)(б)PРис. 13.3Кривая инверсии (зависимость давления от температуры) в приведенных коор+динатах: p/pc, и RT/(pc Vc) (а). Инверсионная кривая для воздуха, рассчитаннаяпо уравнению Ван+дер+Ваальса (б)Кривая инверсии (зависимость давления от температуры инверсии), пред+ставленная на рис. 13.3а в приведенных координатах: p/pc, и RT/(pcVc), гдерс — критическое давление, Vc — молярный критический объем, совпадаетдля большинства газов. Она отклоняется от изображенной на рис.
13.3а толь+ко для легких газов: гелия и водорода. На рис. 13.3б изображена инверсион+ная кривая для воздуха, рассчитанная по уравнению Ван+дер+Ваальса.Пренебрежение квадратичными членами по а и b означает выполнениеусловий:b2a(13.18)11 и1 1.VRTV78Это возможно при не очень больших давлениях, до (10 –10 ) Па. Приуказанных приближениях (13.18) уравнение (13.16) приобретает вид:124 3T 5 6 1 2a 7 b .(13.19)8 3p 9 H Cp RTИз (13.19) находим температуру инверсии, при которой дифференциаль+ный эффект Джоуля — Томсона для газа Ван+дер+Ваальса при указанныхприближениях равен нулю:2a(13.20)Ti 1.RbПри температуре опыта T < Ti дифференциальный эффект положитель+ный (¶T/¶p)H > 0, т. е.
при просачивании в область с меньшим давлениемтемпература понижается — положительный эффект Джоуля — Томсона.И наоборот, при температуре опыта T > Ti эффект Джоуля — Томсона отрицательный, (¶T/¶p)H < 0, т. е. в процессе дросселирования температура газаповышается.Замечание. При приближениях (13.18) зависимость температуры инвер+сии от объема отсутствует. Другими словами, температура инверсии в виде(13.20) — предельное значение при V ® ¥.123T 51 2aОтвет: 487b .9 6 3p H Cp RT392МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХЗадача 13.5.
Определить, при каких температурах гелий в опыте Джо*уля — Томсона охлаждается при дросселировании, если критическая темпе*ратура гелия Тс = 5,2 К, а состояние гелия описывается уравнением Ван*дер*Ваальса.Решение. Критическая температура и температура инверсии газа связа*ны с постоянными Ван*дер*Ваальса соотношениями:8a2aTc 1, Ti 1.27 RbRbПоделив почленно, получаем:Ti = 6,75Tc = 6,75 × 5,2 » 35 К.Следовательно, если Т < 35 К, то гелий при дросселировании охлаждается.Замечание. Формула (13.19) для изменения температуры в опыте Джо*уля — Томсона получена в грубом приближении, но довольно хорошо согла*суется с опытом.
Опыт дает Ti = 52 К; более точные расчеты — 50,5 К.В реальных условиях дросселирование гелия проводится при Dp » 3×106 Па(интегральный эффект). Температура инверсии в этом опыте »14 К.Ответ: T < Ti = 6,75Tc » 35 К.13.4. ИНТЕГРАЛЬНЫЙЭФФЕКТ ДЖОУЛЯ — ТОМСОНАЗадача 13.6. Интегральный эффект Джоуля — Томсона для газа Ван2дер2Ваальса. Найти понижение температуры воздуха при его дросселиро*вании, если разность давлений Dp = 105 Па. Опыт проводится при Т = 300 К.Постоянные Ван*дер*Ваальса для воздуха: а = 0,139 м 6 Па/моль 2, b == 3,9×10–5°м3/моль.
Теплоемкость воздуха Ср = 29,4 Дж/(моль×К).Решение. Поскольку давления по разные стороны перегородки отлича*ются на конечное значение, процесс Джоуля — Томсона можно представитьв виде последовательности квазистатических процессов, в каждом из кото*рых давление меняется на бесконечно малое значение dp. В результате ин*тегрирования (13.19) получаем интегральный эффект:3T 4123p 2a5b .Cp RT(13.21)Воспользовавшись (13.21), находим изменение температуры воздуха придросселировании:105 3 2 2 0,1395T 6 11 3,9 2 1015 48 6 10,24 К.29,4 79 8,31 2 300Ответ: DT = –0,24 К.Задача 13.7.
Температура инверсии интегрального эффекта у газа Ван2дер2Ваальса. Предполагая, что газ подчиняется уравнению Ван*дер*Вааль*са, найти уравнение кривой инверсии Ti(V) — зависимость температуры ин*версии от начального объема для интегрального эффекта Джоуля — Томсо*на, т. е. уравнение такой кривой в координатной плоскости Ti–V, при переходечерез которую эффект Джоуля — Томсона меняет знак.ГЛАВА 13.
ЭНТАЛЬПИЯ И ЭФФЕКТ ДЖОУЛЯ — ТОМСОНА393Решение. Для вычисления интегрального эффекта Джоуля — Томсона вслучае газа Ван-дер-Ваальса удобнее исходить непосредственно из условияпостоянства энтальпии (13.12). Предположим, что в конечном состоянии газдостаточно разрежен и ведет себя как идеальный газ. Для внутренней энергии газа в начальном состоянии используем известное выражение (9.8). Тогда уравнение (13.12) для моля газа запишется в следующем виде:a2 p1V1 3 CV T2 2 p2 V2 .V1RT1aУчитывая, что для газа Ван-дер-Ваальса p1 12, а для идеальноV1 2 b V12го газа p2V2 = RT2, получаем:CV T1 1CV T1 1a RT1V1 a213 (CV 2 R )T2 .V1 V1 1 b V1Отсюда легко найти интегральное изменениетемпературы:(T2 1 T1 )(CV 2 R ) 3RT1b 2a1 ,V1 1 b V1или в приближении CV + R = Cp:1 RT ba23T 4 1 6 1 5 2 7 .Cp 8 V1 5 b V1 9Рис.
13.4Кривая инверсииинтегрального эффектаДжоуля — ТомсонаУравнение кривой инверсии получим, положив DT = 0:Ti 32a 1b1 4 2.Rb 57 V1 68(13.22)График зависимости (13.22) Ti от начального объема V1 представлен нарис. 13.4.Если перед дросселированием состояние газа (Т1, V1) соответствует точке,лежащей на кривой инверсии, то в процессе дросселирования DT = 0, еслиточка находится в области затемнения, то температура газа понижается(DT < 0), если в светлой области — газ нагревается (DT > 0). Чтобы газ, имеющий объем V1, охлаждался в процессе Джоуля — Томсона, его температура ТРис. 13.5Область насыщенного пара ограничена пограничными кривыми для степени сухости х = 0 (штрихпунктирная кривая) и х = 1 (пунктирная полужирнаякривая, пересекающаяся с х = 0 в критической точке K).
Изотермы — штриховые линии, изобары —пунктирные линии, совпадающие с изотермами вобласти двухфазных состояний (в области насыщенного пара)394МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХдолжна быть меньше Тi (рис. 13.4). Для достаточно разреженного газа температура инверсии равна 2a/Rb, т. е. совпадает с температурой инверсии(13.15) дифференциального эффекта Джоуля — Томсона.2a 1b1 4 2.Ответ: Ti 3Rb 57 V1 68Примечание о дросселировании насыщенного пара. Рассмотрим процессдросселирования водяного пара на H–S-диаграмме, где он изображается ввиде отрезка горизонтальной прямой (рис.
13.5).Ненасыщенный (перегретый) пар при дросселировании остается перегретым (a ® b). Насыщенный пар, в зависимости от его начальной степени сухости и разности давлений, может остаться насыщенным (m ® n) или статьсухим (c ® d), или ненасыщенным (k ® o).ЗАДАЧИДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯЗадача D13.1. Покажите, что разность теплоемкостей Ср – СV при темпе3p.ратуре инверсии Тi равна Cp 4 CV 5 V3T V3p3VОтвет: используя соотношение (8.73) Cp 4 CV 5 Tв точке ин3T V 3T p3V4 V (13.15), получаем искомое равенство.версии, для которой T3T p1 21 21 21 2Задача D13.2.
Сравните понижение температуры газа при дросселировании (dT)H и адиабатическом расширении (dT)S, определив их разность приодном и том же понижении давления dp.Ответ: используя выражение dS(T, p) (8.71) для адиабатического про3T 5T 3VTV67 p . Для процесса дросселицесса (при dS = 0), имеем 489 6 3p S Cp 3T p Cp3T 5Vрования 94 6 C 1T7 p 8 12 (13.14). Таким образом, для разности темпераp3Hpтурных эффектов получаем:1 24 3T 5 6 4 3T 5 7 TV 8 6 V T8 6 1 7 V .1 p 2 Cp9 3p 9 3p CpS H CppПолученный результат показывает, что для понижения температуры целесообразнее использовать адиабатическое расширение, а не дросселирование.
Однако процесс дросселирования может регулироваться степенью открытости дроссельного вентиля. Поэтому в холодильных установках используется дросселирование, а не детандирование.Задача D13.3. Вычислите коэффициент дифференциального эффектаДжоуля — Томсона для газа Ван-дер-Ваальса. Константы уравнения Вандер-Ваальса равны:1) a = 0, b ¹ 0;2) a ¹ 0, b = 0.ГЛАВА 13. ЭНТАЛЬПИЯ И ЭФФЕКТ ДЖОУЛЯ — ТОМСОНА395Ответ: подставляя значения констант в уравнение (13.16), находим,что в первом случае, когда действуют только силы отталкивания, газ при1T 42b 0, а во втором случае 2 1T 36дросселировании нагревается: 378 55 1p 6 49 1p H Cp89H2a / V2a / Vпри p > a/V2, когда внешнее давление р33Cp [RT / V 6 2a / V 2 ] Cp [ p 6 a / V 2 ]превосходит дополнительное a/V2, газ охлаждается.Задача D13.4.
Водяной пар дросселируется при прохождении через кла<пан от давления р1 = 3,5 МПа до давления р2 = 2,5 МПа, имея исходную тем<пературу Т1 = 350°С. Определить температуру пара Т2 за клапаном. Изобари<ческая теплоемкость пара при температуре T1 Cp = 19,06 Дж/моль.Ответ: в приближении (13.19):4T 8T2 8 T1 396124p 2a(2,5 3 3,5) 5 106 6 2 5 0,54573b 9 8,31 5 623 3 30,4 5 1036 9 39,5C иCp RT19,06124p 2a3 b 9 340,5C.Cp RTМОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХГЛАВАЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСАВ мире нет ничего постоянного, кроме непостоянства.Джонатан СвифтВсякий существующий порядок приходится постоян$но наводить.Владислав ГжегорчикТермодинамический поток — поток вещества, энергии, им$пульса, заряда и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
